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Liste univariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Diese Liste univariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen gibt einen Überblick über die bekanntesten univariaten (eindimensionalen) Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschreiben, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Ergebnisse einer Zufallsvariable verteilen. Dabei unterscheidet man zwischen diskreten Verteilungen, die auf einer endlichen oder abzählbaren Menge definiert sind, und stetigen (kontinuierlichen) Verteilungen, die meist auf Intervallen definiert sind.

Diskrete Verteilungen lassen sich durch ihre Zähldichte beschreiben. Diese gibt für jeden der maximal abzählbar vielen Werte <math>x</math> einer Zufallsvariablen <math>X</math> die Wahrscheinlichkeit an, dass man genau diesen Wert erhält.

Bei stetigen Verteilungen lassen sich die Wahrscheinlichkeiten einzelner Werte nicht angeben, da diese stets die Wahrscheinlichkeit <math>0</math> besitzen. Es ist jedoch oft möglich, die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable <math>X</math> einen Wert in einem Intervall <math>[a,b]</math> annimmt, als Integral über eine Dichtefunktion (oder Wahrscheinlichkeitsdichte) <math>f(x)</math> darzustellen:

<math>P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx</math>

Bei den in dieser Liste aufgenommenen stetigen Verteilungen ist eine solche Darstellung über eine Dichtefunktion möglich.

Diskrete Verteilungen

Die unten stehenden Tabellen fassen die Kenngrößen Träger, Wahrscheinlichkeitsfunktion, Verteilungsfunktion, Erwartungswert und Varianz der folgenden diskreten Verteilungen zusammen:

Es bezeichne <math>\lceil . \rceil</math> die Aufrundungsfunktion, <math>\lfloor . \rfloor</math> die Abrundungsfunktion und <math>X</math> jeweils eine entsprechend verteilte Zufallsvariable.

Diskrete Gleichverteilung

Wertebereich der Parameter: <math>n \in \N</math>, <math>k_i \in \R \; (i=1, \dots, n)</math> Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion:
Auf <math>\{0,1,\dots,20\}</math>, d. h. <math>n=21</math>
Träger: <math>\{k_i:i = 1, \dots , n\}</math> Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten Gleichverteilung
Zähldichte: <math> f(k_i) = \frac 1n</math>
Verteilungsfunktion: \{i:k_i \le x\}|}{n}</math>
\{i:k_i < x\}|}{n}</math>
Erwartungswert: <math>\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n k_i </math>
Varianz: <math>\frac {1}{n} \left(\sum_{i=1}^n k_i^2 - \frac {1}{n} \left(\sum_{i=1}^n k_i\right)^2\right) </math>

Bernoulli-Verteilung (Null-Eins-Verteilung)

Wertebereich der Parameter: <math>p \in [0,1]</math> Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion:
<math>p=0{,}2</math> (blau), <math>p=0{,}5</math> (grün) und <math>p=0{,}8</math> (rot)
Träger: <math>\{0,1\}</math> Wahrscheinlichkeitsfunktion der Bernoulli-Verteilung
Zähldichte: <math> f(k) = \begin{cases}p & \text{für } k = 1\\1-p & \text{für } k=0\end{cases}</math>
Verteilungsfunktion: <math> P(\{X \le x\}) = \begin{cases}0 & \text{für } x < 0\\1-p & \text{für } 0 \le x<1 \\ 1 & \text{für } x\ge 1 \end{cases} </math>
<math> P(\{X < x\}) = \begin{cases}0 & \text{für } x \le 0\\1-p & \text{für } 0 < x \le 1 \\ 1 & \text{für } x> 1 \end{cases} </math>
Erwartungswert: <math>p</math>
Varianz: <math>p(1-p)</math>

Binomialverteilung

Wertebereich der Parameter: <math>n \in \N^+ </math>, <math>p \in [0,1]</math> Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion:
<math>n=20</math>; <math>p=0{,}1</math> (blau), <math>p=0{,}5</math> (grün) und <math>p=0{,}8</math> (rot)
Träger: <math>\{0,1,\dots,n\} </math> Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung
Zähldichte: <math> f(k) = {n \choose k}p^k (1-p)^{n-k} </math>
Verteilungsfunktion: <math> P(\{X \le x\}) = \sum_{i=0}^{\lfloor x \rfloor}\binom n i p^i (1-p)^{n-i} </math>
<math> P(\{X < x\}) = \sum_{i=0}^{\lceil x-1 \rceil}{n \choose i}p^i (1-p)^{n-i} </math>
Erwartungswert: <math>np</math>
Varianz: <math>np(1-p)</math>

Negative Binomialverteilung (Pascal-Verteilung)

Wertebereich der Parameter: <math>r \in \N^+ </math>, <math>p \in{]0,1]}</math> Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion:
<math>r=10</math>; <math>p=0{,}2</math> (blau), <math>p=0{,}5</math> (grün) und <math>p=0{,}8</math> (rot)
Träger: <math>\{x \in \N \colon x \ge r \}</math> Wahrscheinlichkeitsfunktion der Negativen Binomialverteilung
Zähldichte: <math> P(\{X = k\}) = {{k-1} \choose {r-1}} p^r(1-p)^{k-r}</math>
Verteilungsfunktion: <math> P(\{X \le x\}) = \sum_{i=r}^{\lfloor x \rfloor}{i-1 \choose r-1}p^r (1-p)^{i-r} </math>
<math> P(\{X < x\}) = \sum_{i=r}^{\lceil x-1 \rceil}{i-1 \choose r-1}p^r (1-p)^{i-r} </math>
Erwartungswert: <math>\frac{r}{p}</math>
Varianz: <math>\frac{r(1-p)}{p^2}</math>

Geometrische Verteilung

Variante A

Wertebereich der Parameter: <math>p \in{]0,1[}</math> Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion:
<math>p=0{,}2</math> (blau), <math>p=0{,}5</math> (grün) und <math>p=0{,}8</math> (rot)
Träger: <math>\N^+ </math> Wahrscheinlichkeitsfunktion der Geometrischen Verteilung
Zähldichte: <math> f(k) = p(1-p)^{k-1}</math>
Verteilungsfunktion: <math> P(\{X \le x\}) = 1 - (1-p)^{\lfloor x \rfloor}</math>
<math> P(\{X < x\}) = 1 - (1-p)^{\lceil x-1 \rceil}</math>
Erwartungswert: <math>\frac{1}{p}</math>
Varianz: <math>\frac{1}{p^{2}} - \frac{1}{p}</math>

Variante B

Wertebereich der Parameter: <math>p \in{]0,1[}</math> Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion:
<math>p=0{,}2</math> (blau), <math>p=0{,}5</math> (grün) und <math>p=0{,}8</math> (rot)
Träger: <math> \N_0 </math> Wahrscheinlichkeitsfunktion der Geometrischen Verteilung
Zähldichte: <math> f(k) = p(1-p)^k</math>
Verteilungsfunktion: <math> P(\{X \le x\}) = 1 - (1-p)^{\lfloor x+1 \rfloor}</math>
<math> P(\{X < x\}) = 1 - (1-p)^{\lceil x \rceil}</math>
Erwartungswert: <math>\frac{1}{p}-1</math>
Varianz: <math>\frac{1}{p^{2}} - \frac{1}{p}</math>

Hypergeometrische Verteilung

Wertebereich der Parameter: <math>N \in \N^+ </math>, <math>M \in \N^+</math> mit <math>M \le N</math>, <math>n\in \N^+</math> mit <math>n \le N</math> Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion:
<math>n=20</math>; <math>M=20, N=30</math> (blau), <math>M=50, N=60</math> (grün) und <math>M=20, N=60</math> (rot)
Träger: <math>\{\max(0,n+M-N), \dotsc, \min(n,M)\}</math> Wahrscheinlichkeitsfunktion der hypergeometrischen Verteilung
Zähldichte: <math> f(k) = \frac{\displaystyle{M \choose k}{N-M \choose n-k}}{\displaystyle{N \choose n}}</math>
Verteilungsfunktion: <math> P(\{X \le x\}) = \sum_{i=\max(0,n-N)}^{\lfloor x \rfloor} \frac {{M \choose i}{N \choose n-i}}{{M+N \choose n} }</math>
<math> P(\{X < x\}) = \sum_{i=\max(0,n-N)}^{\lceil x-1 \rceil} \frac {{M \choose i}{N \choose n-i}}{{M+N \choose n} }</math>
Erwartungswert: <math>n \frac{M}{N}</math>
Varianz: <math>n \frac{M}{N} \left(1-\frac{M}{N} \right) \frac{N-n}{N-1}</math>

Poisson-Verteilung

Wertebereich der Parameter: <math> \lambda \in \R^+</math> Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion:
<math>\lambda=1</math> (blau), <math>\lambda=5</math> (grün) und <math>\lambda = 10</math> (rot)
Träger: <math> \N_0</math> Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poisson-Verteilung
Zähldichte: <math> f(k) = \frac{\lambda^k}{k!}\cdot \mathrm{e}^{-\lambda}</math>
Verteilungsfunktion: <math> P(\{X \le x\}) = \sum_{i=0}^{\lfloor x \rfloor} \frac{\lambda^i}{i!}\; \mathrm{e}^{-\lambda}</math>
<math> P(\{X < x\}) = \sum_{i=0}^{\lceil x-1 \rceil} \frac{\lambda^i}{i!}\; \mathrm{e}^{-\lambda}</math>
Erwartungswert: <math>\lambda</math>
Varianz: <math>\lambda</math>

Logarithmische Verteilung

Wertebereich der Parameter: <math>p \in (0,1)</math> Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion:
<math>p=0{,}2</math> (blau), <math>p=0{,}5</math> (grün) und <math>p=0{,}8</math> (rot)
Träger: <math>\N^+</math> Wahrscheinlichkeitsfunktion der Logarithmischen Verteilung
Zähldichte: <math> f(k) = \frac{p^k}{k}\cdot\frac{1}{-\ln(1-p)}</math>
Verteilungsfunktion: <math> P(\{X \le x\}) = \sum_{i=0}^{\lfloor x \rfloor} \frac{p^{i}}{i}\cdot\frac{1}{-\ln(1-p)}</math>
<math> P(\{X < x\}) = \sum_{i=0}^{\lceil x-1 \rceil} \frac{p^{i}}{i}\cdot\frac{1}{-\ln(1-p)}</math>
Erwartungswert: <math>\frac{p}{-(1-p)\ln(1-p)}</math>
Varianz: <math>\frac{p(-\ln(1-p)-p)}{(1-p)^{2}\ln^{2}(1-p)}</math>

Stetige Verteilungen

Die unten stehenden Tabellen fassen die Kenngrößen Träger, Dichtefunktion, Verteilungsfunktion, Erwartungswert und Varianz der folgenden stetigen Verteilungen zusammen:

Dabei bezeichnen <math>\Gamma(r)</math> die Gammafunktion, <math>B(p,q)</math> die Betafunktion und <math>X</math> jeweils eine entsprechend verteilte Zufallsvariable mit Dichte <math>f(x)</math> und Verteilungsfunktion <math>F(x)</math>.

Stetige Gleichverteilung (Rechteckverteilung, Uniformverteilung)

Wertebereich der Parameter: <math>a,b \in \R</math> mit <math>a<b</math> Bild der Dichtefunktion:
<math>a=4, b=8</math> (blau), <math>a=1, b=18</math> (grün) und <math>a=1, b=11</math> (rot)
Träger: <math>[a,b]</math> Dichtefunktion der Gleichverteilung
Dichtefunktion: <math>f(x) = \begin{cases}

\frac {1}{b-a} & \text{für } a < x \le b \\ 0 & \text{ sonst } \end{cases} </math>

Verteilungsfunktion: <math>F(x) = \begin{cases}

0 & \text{für } x \le a \\ \frac {x-a}{b-a} & \text{für } a < x \le b \\ 1 & \text{für } x > b \end{cases} </math>

Erwartungswert: <math>\frac{a+b}{2}</math>
Varianz: <math>\frac{(b-a)^2}{12}</math>

Dreiecksverteilung

Wertebereich der Parameter: <math>a,b,c \in \R</math> mit <math>a\le c \le b</math> und <math>a<b</math> Bild der Dichtefunktion:
Träger: <math>[a,b]</math> Dichtefunktion der Gleichverteilung
Dichtefunktion: <math> f(x)=\begin{cases} 
 \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)}, & \text{wenn } a \le x < c\\
 \frac{2}{b-a},             & \text{wenn } x = c\\
 \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)}, & \text{wenn } c < x \le b.

\end{cases}</math>

Verteilungsfunktion: <math>F(x) = \begin{cases} 
   \frac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)}, & \text{wenn } a \le x < c\\
   \frac{c-a}{b-a}, & \text{wenn } x = c\\
 1-\frac{(b-x)^2}{(b-a)(b-c)}, & \text{wenn } c < x \le b.

\end{cases} </math>

Erwartungswert: <math>\operatorname E(X) = \frac{a+b+c}3.</math>
Varianz: <math>\operatorname{Var}(X) = \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{36}.</math>

Normalverteilung (Gauß-Verteilung)

Wertebereich der Parameter: <math>\mu \in \R</math> und <math>\sigma \in \R^+</math> Bild der Dichtefunktion:
<math>\mu=0, \sigma=1</math> (blau), <math>\mu=0, \sigma=2</math> (grün) und <math>\mu=-1, \sigma=2</math> (rot)
Träger: <math>\R</math> Dichtefunktion der Normalverteilung
Dichtefunktion: <math>f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math>
Verteilungsfunktion: <math>F(x) = \frac {1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \cdot \int_{-\infty}^{x} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2} \mathrm{d}t</math>
Erwartungswert: <math>\mu</math>
Varianz: <math>\sigma^2</math>

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Anker“ ist nicht vorhanden.Logarithmische Normalverteilung (Log-Normalverteilung)

Wertebereich der Parameter: <math>\mu \in \R</math> und <math>\sigma \in \R^+</math> Bild der Dichtefunktion:
<math>\mu=0, \sigma=1</math> (blau), <math>\mu=0, \sigma=2</math> (grün) und <math>\mu=-1, \sigma=2</math> (rot)
Träger: <math>\R_0^+</math> Dichtefunktion der logarithmischen Normalverteilung
Dichtefunktion: <math>f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,\frac{1}{x}\, \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\operatorname{ln}\,x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math>
Verteilungsfunktion: <math>F(x) = \begin{cases}

0 & \text{für } x \le 0 \\ \frac {1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}} \cdot \int_{0}^{x} \,\frac{1}{t}\, \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{\operatorname{ln}\,t-\mu}{\sigma}\right)^2} \mathrm{d}t & \text{für } x > 0 \end{cases} </math>

Erwartungswert: <math>\exp(\mu+\sigma^2/2)</math>
Varianz: <math>\exp(2\mu+\sigma^2)\cdot(\exp(\sigma^2)-1)</math>

Exponentialverteilung

Wertebereich der Parameter: <math>\alpha \in \R^+</math> Bild der Dichtefunktion:
<math>\alpha = 1</math> (blau), <math>\alpha = 5</math> (grün) und <math>\alpha = 10</math> (rot)
Träger: <math>\R_0^+</math> Dichtefunktion der Exponentialverteilung
Dichtefunktion: <math>f(x) = \alpha \cdot \mathrm{e}^{-\alpha x}</math>
Verteilungsfunktion: <math>F(x) = \begin{cases}

0 & \text{für } x \le 0 \\ 1-\mathrm{e}^{-\alpha x} & \text{für } x > 0 \end{cases} </math>

Erwartungswert: <math>\frac{1}{\alpha}</math>
Varianz: <math>\frac{1}{\alpha^2}</math>

Chi-Quadrat-Verteilung

Wertebereich der Parameter: <math>n \in \N^+</math> Bild der Dichtefunktion:
<math>n=2</math> (blau), <math>n=5</math> (grün) und <math>n=10</math> (rot)
Träger: <math>\R_0^+</math> Dichtefunktion der Chi-Quadrat-Verteilung
Dichtefunktion: <math>f_n(x) = \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\tfrac{n}{2})} x^{\frac{n}{2}-1}\operatorname{exp}\left\{ -\frac x2\right\}</math>
Verteilungsfunktion: <math>F(x) = \begin{cases}\displaystyle 
     0                                                                                        & \text{für } x\leq 0 \\

1 - \frac{\Gamma \left(\frac{n}{2},\frac{x}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)} & \text{für } x>0 

   \end{cases}</math>
Erwartungswert: <math>n</math>
Varianz: <math>2n</math>

Studentsche t-Verteilung

Wertebereich der Parameter: <math>k \in \N^+</math> Bild der Dichtefunktion:
<math>k=2</math> (blau), <math>k=5</math> (grün) und <math>k=10</math> (rot)
Träger: <math>\R</math> Dichtefunktion der Students t-Verteilung
Dichtefunktion: <math>f(x) = \frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})}{\Gamma(\frac{k}{2})\,\sqrt{k\,\pi\,}}\,\cdot\,\left(1+\frac{x^2}{k}\right)^{-\frac{k+1}{2}}</math>
Verteilungsfunktion: <math>F(x) = \frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})}{\Gamma(\frac{k}{2})\,\sqrt{k\,\pi\,}}\,\cdot\,\int_{-\infty}^{x} \,\left(1+\frac{t^2}{k}\right)^{-\frac{k+1}{2}} \mathrm{d}t</math>
Erwartungswert: <math>0</math>
Varianz: <math>\frac{k}{k-2}</math>

F-Verteilung (Fisher-Verteilung)

Wertebereich der Parameter: <math>m \in \N^+</math> und <math>n \in \N^+</math> Bild der Dichtefunktion:
<math>m=2, n=10</math> (blau), <math>m=10, n=10</math> (grün) und <math>m=10, n=2</math> (rot)
Träger: <math>\R_0^+</math> Dichtefunktion der F-Verteilung
Dichtefunktion: <math>f(x) =

\frac{\Gamma(\frac{m+n}{2})\, \left(\frac{m}{n}\right)^\frac{m}{2}}{\Gamma(\frac{m}{2})\,\Gamma(\frac{n}{2})}x^{(\frac{m}{2}-1)}\left(1+\frac{m}{n}x\right)^{(-\frac{m+n}{2})}</math>

Verteilungsfunktion: <math>F(x) = \begin{cases}

0\\ \quad \text{für } x \le 0 \\ \frac{\Gamma(\frac{m+n}{2})\, \left(\frac{m}{n}\right)^\frac{m}{2}}{\Gamma(\frac{m}{2})\,\Gamma(\frac{n}{2})}\int_{0}^{x} \,t^{(\frac{m}{2}-1)}\left(1+\frac{m}{n}t\right)^{(-\frac{m+n}{2})} \mathrm{d}t \\ \quad \text{für } x > 0 \end{cases} </math>

Erwartungswert: <math>\frac{n}{n-2}</math> (nur definiert für <math>n>2</math>)
Varianz: <math>\frac{2 n^2 (m+n-2)}{m (n-2)^2 (n-4)}</math> (nur definiert für <math>n>4</math>)

Gammaverteilung

Wertebereich der Parameter: <math>p \in \R^+</math> und <math>b \in \R^+</math> Bild der Dichtefunktion:
<math>p=0{,}5, b=2</math> (blau), <math>p=1, b=1</math> (grün) und <math>p=2, b=1</math> (rot)
Träger: <math>\R_0^+</math> Dichtefunktion der Gammaverteilung
Dichtefunktion: <math>f(x) = {b^p\over\Gamma(p)}x^{p-1}\mathrm{e}^{-bx}</math>
Verteilungsfunktion: <math>F(x) = \begin{cases}

0 & \text{für } x \le 0 \\ {b^p\over\Gamma(p)}\,\cdot\,\int_{0}^{x} \,t^{p-1}\mathrm{e}^{-bt} \mathrm{d}t & \text{für } x > 0 \end{cases} </math>

Erwartungswert: <math>\frac{p}{b}</math>
Varianz: <math>\frac{p}{b^2}</math>

Beta-Verteilung

Wertebereich der Parameter: <math>p \in \R^+</math> und <math>q \in \R^+</math> Bild der Dichtefunktion:
<math>p=0{,}5, q=2</math> (blau), <math>p=2, q=2</math> (grün) und <math>p=2, q=5</math> (rot)
Träger: <math>[0,1]</math> Dichtefunktion der Beta-Verteilung
Dichtefunktion: <math>f(x) = \frac{1}{B(p,q)} x^{p-1}(1-x)^{q-1}</math>
Verteilungsfunktion: <math>F(x) = \begin{cases}

0 & \text{für } x < 0 \\ {{1}\over {B(p,q)}} \int_0^{x} u^{p-1} (1-u)^{q-1}\mathrm{d}u & \text{für } 0 \le x \le 1 \\ 

1 & \text{für } x > 1

\end{cases} </math>

Erwartungswert: <math>\frac{p}{p + q}</math>
Varianz: <math>\frac{pq}{(p+q+1)(p+q)^{2}}</math>

Logistische Verteilung

Wertebereich der Parameter: <math>\alpha \in \R</math> und <math>\beta \in \R^+</math> Bild der Dichtefunktion:
<math>\alpha=0, \beta=1</math> (blau), <math>\alpha=0, \beta=2</math> (grün) und <math>\alpha=-1, \beta=1</math> (rot)
Träger: <math>\R</math> Dichtefunktion der logistischen Verteilung
Dichtefunktion: <math>f(x) = \frac{\mathrm{e}^{-\frac{x-\alpha}{\beta}}}{\beta \left( 1 + \mathrm{e}^{-\frac{x-\alpha}{\beta}} \right)^2}</math>
Verteilungsfunktion: <math>F(x) = \frac{1}{1 + \mathrm{e}^{-\frac{x-\alpha}{\beta}}}</math>
Erwartungswert: <math>\alpha</math>
Varianz: <math>\frac{\beta^2 \pi^2}{3}</math>

Weibull-Verteilung

Wertebereich der Parameter: <math>\alpha \in \R^+</math> und <math>\beta \in \R^+</math> Bild der Dichtefunktion:
<math>\alpha=1, \beta=1</math> (blau), <math>\alpha=1, \beta=2</math> (grün) und <math>\alpha=5, \beta=3</math> (rot)
Träger: <math>\R_0^+</math> Dichtefunktion der Weibull-Verteilung
Dichtefunktion: <math>f(x)= \alpha \beta x^{\beta - 1} \mathrm{e}^{- \alpha x^ \beta} </math>
Verteilungsfunktion: <math>F(x)=\begin{cases} 1-\mathrm{e}^{- \alpha x^ \beta} & \text{für }x > 0\\ 
0 & \text{für }x \le 0

\end{cases}</math>

Erwartungswert: <math>\alpha^{-1/ \beta} \cdot \Gamma\left(\frac{1}{\beta}+1\right)</math>
Varianz: <math>\alpha^{-2/ \beta} \cdot \left(\Gamma\left(\frac{2}{\beta}+1\right)- \Gamma \left(\frac{1}{\beta}+1\right)^2\right)</math>

Cauchy-Verteilung (Cauchy-Lorentz-Verteilung, Lorentz-Verteilung)

Wertebereich der Parameter: <math>s \in \R^+</math> und <math>t \in \R</math> Bild der Dichtefunktion:
<math>s=1, t=0</math> (blau), <math>s=2, t=0</math> (grün) und <math>s=2, t=-1</math> (rot)
Träger: <math>\R</math> Dichtefunktion der Cauchy-Verteilung
Dichtefunktion: <math>f(x) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{s}{s^2 + (x-t)^2}</math>
Verteilungsfunktion: <math>F(x)=\frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \cdot \arctan\left(\frac{x-t}{s}\right)</math>
Erwartungswert: nicht definiert
Varianz: nicht definiert

Pareto-Verteilung

Wertebereich der Parameter: <math>x_\min\in\R^+</math> und <math>k \in \R^+</math> Bild der Dichtefunktion:
<math>x_{\min}=1, k=1</math> (blau), <math>x_{\min}=1, k=2</math> (grün) und <math>x_{\min}=2, k=1</math> (rot)
Träger: <math>[x_\min,\infty)</math> Dichtefunktion der Pareto-Verteilung
Dichtefunktion: <math>f(x)=\frac{k}{x_{\min}}\left(\frac{x_{\min}}{x}\right)^{k+1}</math>
Verteilungsfunktion: <math>F(x)=1-\left(\frac{x_{\min}}{x}\right)^{k}</math>
Erwartungswert: <math> \begin{cases}\displaystyle 
                             x_{\min} \frac{k}{k-1} & \text{für }k > 1\\
                             \infty                      & \text{für }k \leq 1
                            \end{cases}</math>
Varianz: <math>\begin{cases}\displaystyle 
               x_{\min}^2 \frac{k}{(k-2)(k-1)^2} & \text{für }k > 2 \\
                                 \infty                                                             & \text{für }k \leq 2
                               \end{cases}</math>

Siehe auch

Weblinks

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Vorlage:Klappleiste/Anfang Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | Dirac | diskret uniform | empirisch | hypergeometrisch | kategorial | negativ hypergeometrisch | Rademacher | verallgemeinert binomial | Zipf | Zipf-Mandelbrot | Zweipunkt

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | discrete-Phase-Type | erweitert negativ binomial | Gauss-Kuzmin | gemischt Poisson | geometrisch | logarithmisch | negativ binomial | parabolisch-fraktal | Poisson | Skellam | verallgemeinert Poisson | Yule-Simon | Zeta Vorlage:Klappleiste/EndeVorlage:Klappleiste/Anfang Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall:
Beta | Cantor | Kumaraswamy | raised Cosine | Dreieck | Trapez | U-quadratisch | stetig uniform | Wigner-Halbkreis

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall:
Beta prime | Bose-Einstein | Burr | Chi | Chi-Quadrat | Coxian | Erlang | Exponential | Extremwert | F | Fermi-Dirac | Folded normal | Fréchet | Gamma | Gamma-Gamma | verallgemeinert invers Gauß | halblogistisch | halbnormal | Hartman-Watson | Hotellings T-Quadrat | hyper-exponentiale | hypoexponential | invers Chi-Quadrat | scale-invers Chi-Quadrat | Invers Normal | Invers Gamma | Kolmogorow-Verteilung | Lévy | log-normal | log-logistisch | Maxwell-Boltzmann | Maxwell-Speed | Nakagami | nichtzentriert Chi-Quadrat | Pareto | Phase-Type | Rayleigh | relativistisch Breit-Wigner | Rice | Rosin-Rammler | shifted Gompertz | truncated normal | Type-2-Gumbel | Weibull | Wilks’ Lambda

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:
Cauchy | Extremwert | exponential Power | Fishers z | Fisher-Tippett (Gumbel) | generalized hyperbolic | Hyperbolic-secant | Landau | Laplace | alpha-stabil | logistisch | normal (Gauß) | normal-invers Gauß’sch | Skew-normal | Studentsche t | Type-1-Gumbel | Variance-Gamma | Voigt Vorlage:Klappleiste/EndeVorlage:Klappleiste/Anfang Diskrete multivariate Verteilungen:
Dirichlet compound multinomial | Ewens | gemischt Multinomial | multinomial | multivariat hypergeometrisch | multivariat Poisson | negativmultinomial | Pólya/Eggenberger | polyhypergeometrisch

Kontinuierliche multivariate Verteilungen:
Dirichlet | GEM | generalized Dirichlet | multivariat normal | multivariat Student | normalskaliert invers Gamma | Normal-Gamma | Poisson-Dirichlet

Multivariate Matrixverteilungen:
Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit | Invers Wishart | Matrix Beta | Matrix Gamma | Matrix invers Beta | Matrix invers Gamma | Matrix Normal | Matrix Student-t | Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung | Normal-invers-Wishart | Normal-Wishart | Wishart Vorlage:Klappleiste/Ende

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