Zweipunktverteilung

Die Zweipunktverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik. Sie ist eine einfache diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die auf einer zweielementigen Menge <math> \{a,b\} </math> definiert wird. Bekanntester Spezialfall ist die Bernoulli-Verteilung, die auf <math> \{0,1\} </math> definiert ist.

Definition

Eine Zufallsvariable <math> X </math> auf <math> \{a,b\} </math> mit <math> a<b </math> heißt zweipunktverteilt, wenn

<math> P(X=a)=1-p \text{ und } P(X=b)=p </math> ist.

Die Verteilungsfunktion ist dann

<math> F_X(t)=\begin{cases}

0 & \text{ falls } t < a \\ 1-p & \text{ falls } t \in [a,b) \\ 1 & \text{ falls } t \geq b \end{cases} </math>

Eigenschaften

Sei im Folgenden <math>q = 1-p</math>.

Erwartungswert

Der Erwartungswert einer zweipunktverteilten Zufallsgröße ist

<math>E(X)=(1-p) \cdot a+p\cdot b=q \cdot a+p \cdot b</math>.

Varianz und weitere Streumaße

Für die Varianz gilt

<math>V(X)= E \left( (X-E(X))^2 \right) = p \cdot q \cdot (b-a)^2</math>.

Demnach ist die Standardabweichung

<math> \sigma_X=(b-a) \sqrt{pq} </math>

und der Variationskoeffizient

<math> \operatorname{VarK}(X)= \frac{(b-a) \sqrt{pq}}{qa+pb}</math>.

Symmetrie

Ist <math> p= \tfrac 12 </math>, so ist die Zweipunktverteilung symmetrisch um ihren Erwartungswert.

Schiefe

Die Schiefe der Zweipunktverteilung ist

<math> \operatorname{v}(X)=\frac{1-2p}{\sqrt{pq}} </math>.

Wölbung und Exzess

Der Exzess der Zweipunktverteilung ist

<math> \gamma (X)=\frac{1-6pq}{pq} </math>

und damit ist die Wölbung

<math> \beta _2 (X)= \frac{1-3pq}{pq}</math>.

Höhere Momente

Die <math>k</math>-ten Momente ergeben sich als

<math> \operatorname{E}(X^k)=qa^k+pb^k </math>.

Dies kann beispielsweise mit der momenterzeugenden Funktion gezeigt werden.

Modus

Der Modus der Zweipunktverteilung ist

<math>x_D=\begin{cases}

a & \text{falls } q > p\\ a \text{ und } b & \text{falls } q=p\\ b & \text{falls } q < p \end{cases}</math>

Median

Der Median der Zweipunktverteilung ist

<math>\tilde m=\begin{cases}

a & \text{falls } q \geq p\\ b & \text{falls } q < p \end{cases}</math>

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

Sind <math>a,b \in \mathbb{N}_0 </math>, so ist die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

<math> m_X(t)=qt^a+pt^b </math>.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion ist für beliebiges <math> a,b \in \mathbb{R} </math> gegeben als

<math> M_X(t)=qe^{at}+pe^{bt}</math>.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion ist für beliebiges <math> a,b \in \mathbb{R} </math> gegeben als

<math> \varphi_X(t)=qe^{iat}+pe^{ibt}</math>.

Konstruktion der Verteilung zu vorgegebenen Parametern

Sind Erwartungswert <math>m</math>, Standardabweichung <math>s</math> und Schiefe <math>t</math> vorgegeben, erhält man wie folgt eine passende Zweipunktverteilung:

Summen von zweipunktverteilten Zufallsvariablen

Die Zweipunktverteilung ist für <math> p \in (0,1) </math> nicht reproduktiv. Das heißt, wenn <math> X_1,X_2 </math> zweipunktverteilt sind, dann ist <math> X_1+X_2 </math> nicht mehr zweipunktverteilt. Einzige Ausnahme ist der degenerierte Fall mit <math> p=1 </math> (bzw. <math> q=1 </math>). Dann handelt es sich um eine Dirac-Verteilung auf <math> b </math> (bzw. auf <math> a </math>), die entsprechend reproduktiv und sogar unendlich teilbar ist.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Bernoulli-Verteilung

Eine Zweipunktverteilung auf <math> \{0,1\} </math> ist eine Bernoulli-Verteilung.

Beziehung zur Rademacher-Verteilung

Die Rademacher-Verteilung ist eine Zweipunktverteilung mit <math> a=-1,b=1, p=q=\frac{1}{2} </math>.

Literatur

Thomas Mack: Versicherungsmathematik. 2. Auflage. Verlag Versicherungswirtschaft, 2002, ISBN 388487957X.
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Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
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Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:
Cauchy | Extremwert | exponential Power | Fishers z | Fisher-Tippett (Gumbel) | generalized hyperbolic | Hyperbolic-secant | Landau | Laplace | alpha-stabil | logistisch | normal (Gauß) | normal-invers Gauß’sch | Skew-normal | Studentsche t | Type-1-Gumbel | Variance-Gamma | Voigt }} Vorlage:Klappleiste/Ende}}{{#if:Navigationsleiste MUWahrscheinlichkeitsverteilungen‎ |{{safesubst:#ifeq:0|10| {{#switch: Zweipunktverteilung |Navigationsleiste|NaviBlock|0=|#default= Vorlage:Templatetransclusioncheck Vorlage:Dokumentation/ruler }}}}Vorlage:Klappleiste/Anfang {{#if:

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Multivariate Matrixverteilungen:
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