Logarithmische Verteilung

Datei:Logarithmische Verteilung.PNG

Wahrscheinlichkeitsfunktion der logarithmischen Verteilung für <math>p=0{,}2</math> (blau), <math>p=0{,}5</math> (grün) und <math>p=0{,}8</math> (rot)

Die logarithmische Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik, der Mathematik des Zufalls. Sie ist univariat, eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung und kommt aus dem Bereich der Versicherungsmathematik. Sie ist interessant als Schadenshöhenverteilung, wird aber kaum zur Bestimmung der Schadensanzahlen benutzt.

Definition

Eine diskrete Zufallsgröße <math>X \in \mathbb{N} \setminus \left\{0\right\}</math> genügt der logarithmischen Verteilung mit dem Parameter <math>p</math> (Erfolgswahrscheinlichkeit), wenn sie die Wahrscheinlichkeit

<math>\operatorname{P}(X=k)=f(k)= -\frac{p^{k}}{k}\cdot\frac{1}{\ln(1-p)}</math>

besitzt.

Eigenschaften

Erwartungswert

Die logarithmische Verteilung hat einen Erwartungswert von

<math>\operatorname{E}(X) = -\frac{p}{(1-p)\ln(1-p)}</math>.

Varianz

Die Varianz bestimmt sich zu

<math>\operatorname{Var}(X) = -\frac{p \cdot (\ln(1-p)+p)}{(1-p)^{2}\ln^{2}(1-p)}</math>.

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man sofort den Variationskoeffizienten

<math>\operatorname{VarK}(X) = \sqrt{-\frac{p}{\ln(1-p)+p}}</math>.

Schiefe

Die Schiefe ergibt sich zu:

<math>\operatorname{v}(X) = \frac{1}{\sqrt{p(-\ln(1-p)-p)}}

                \left(\frac{\ln^{2}(1-p)}{-\ln(1-p)-p}+p(-\ln(1-p)-2p)\right)</math>.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

<math>\phi_{X}(s) = \frac{\ln(1-pe^{is})}{\ln(1-p)}</math>.

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

Für die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion erhält man

<math>g_{X}(s) = \frac{\ln(1-ps)}{\ln(1-p)}</math>.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der logarithmischen Verteilung ist

<math>m_{X}(s) = \frac{\ln(1-pe^{s})}{\ln(1-p)}</math>.

Iterative Berechnung

Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt die rekursive Gleichung

mit Startwert

<math>f(1) = \frac{-p}{\ln(1-p)} </math>.

Dies kann zur effektiven Implementierung von logarithmisch verteilten Zufallszahlen genutzt werden.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Kombiniert man die logarithmische Verteilung mit der zusammengesetzten Poisson-Verteilung, so entsteht die negative Binomialverteilung und damit als Spezialfall auch die geometrische Verteilung.

Literatur

{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}

Weblinks

{{#if: | | Eric W. Weisstein }}: Logarithmic Distribution. In: MathWorld (englisch). {{#if: Log-SeriesDistribution | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | Log-SeriesDistribution | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}

{{#if:Navigationsleiste DUWahrscheinlichkeitsverteilungen‎ |{{safesubst:#ifeq:0|10| {{#switch: Logarithmische Verteilung |Navigationsleiste|NaviBlock|0=|#default= Vorlage:Templatetransclusioncheck Vorlage:Dokumentation/ruler }}}}Vorlage:Klappleiste/Anfang {{#if:

|

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | discrete-Phase-Type | erweitert negativ binomial | Gauss-Kuzmin | gemischt Poisson | geometrisch | logarithmisch | negativ binomial | parabolisch-fraktal | Poisson | Skellam | verallgemeinert Poisson | Yule-Simon | Zeta }} Vorlage:Klappleiste/Ende}}{{#if:Navigationsleiste KUWahrscheinlichkeitsverteilungen‎ |{{safesubst:#ifeq:0|10| {{#switch: Logarithmische Verteilung |Navigationsleiste|NaviBlock|0=|#default= Vorlage:Templatetransclusioncheck Vorlage:Dokumentation/ruler }}}}Vorlage:Klappleiste/Anfang {{#if:

|

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:
Cauchy | Extremwert | exponential Power | Fishers z | Fisher-Tippett (Gumbel) | generalized hyperbolic | Hyperbolic-secant | Landau | Laplace | alpha-stabil | logistisch | normal (Gauß) | normal-invers Gauß’sch | Skew-normal | Studentsche t | Type-1-Gumbel | Variance-Gamma | Voigt }} Vorlage:Klappleiste/Ende}}{{#if:Navigationsleiste MUWahrscheinlichkeitsverteilungen‎ |{{safesubst:#ifeq:0|10| {{#switch: Logarithmische Verteilung |Navigationsleiste|NaviBlock|0=|#default= Vorlage:Templatetransclusioncheck Vorlage:Dokumentation/ruler }}}}Vorlage:Klappleiste/Anfang {{#if:

|

Multivariate Matrixverteilungen:
Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit | Invers Wishart | Matrix Beta | Matrix Gamma | Matrix invers Beta | Matrix invers Gamma | Matrix Normal | Matrix Student-t | Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung | Normal-invers-Wishart | Normal-Wishart | Wishart }}

Vorlage:Klappleiste/Ende}}{{#if:|{{{{{4}}}}}}}{{#if:|{{{{{5}}}}}}}{{#if:|{{{{{6}}}}}}}{{#if:|{{{{{7}}}}}}}{{#if:|{{{{{8}}}}}}}{{#if:|{{{{{9}}}}}}}{{#if:|{{{{{10}}}}}}}{{#if:|{{{{{11}}}}}}}{{#if:|{{{{{12}}}}}}}{{#if:|{{{{{13}}}}}}}{{#if:|{{{{{14}}}}}}}{{#if:|{{{{{15}}}}}}}{{#if:|{{{{{16}}}}}}}{{#if:|{{{{{17}}}}}}}{{#if:|{{{{{18}}}}}}}{{#if:|{{{{{19}}}}}}}{{#if:|{{{{{20}}}}}}}{{#if:|

Zu viele Navigationsleisten (>20)

}}