Alpha-stabile Verteilungen

Dichtefunktionen einiger symmetrischer α-stabiler Verteilungen

Die Familie der α-stabilen Verteilungen ist eine Verteilungsklasse von stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen aus der Stochastik, die durch folgende definierende Eigenschaft beschrieben werden: sind <math>X_1,X_2, \dotsc, X_n, X </math> unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen, und gilt für die Summe

<math>X_1+X_2+ \dotsb+X_n \sim c_n X</math> für alle <math> n \in \mathbb{N} </math> und eine Folge <math> (c_n)_{n\in \N}</math>,

so nennt man <math>X</math> stabil verteilt, wobei <math>\sim</math> als „hat dieselbe Verteilung wie“ zu lesen ist. Man kann zeigen, dass die einzig mögliche Wahl <math> c_n=n^{1/\alpha}, \alpha \in (0,2] </math> ist. Die reelle Zahl <math>\alpha</math> nennt man hierbei den Formparameter. Da die Theorie der stabilen Verteilungen maßgeblich durch Paul Lévy mitgestaltet wurde, nennt man jene Verteilungen deshalb auch manchmal Lévy-stabile Verteilungen.

Beispiele

Obwohl die stabilen Verteilungen für jedes <math>\alpha</math> des obigen Intervalls wohldefiniert sind, ist nur für wenige spezielle Werte von α die Dichte explizit gegeben:

Die Normalverteilung mit Erwartungswert 0 ist stabil mit Formparameter <math>\alpha=2</math>, denn bekanntlich gilt

<math>X_1, X_2, \ldots, X_n \sim \mathcal{N} (0,\sigma^2) \Rightarrow \sum_{i=1}^n X_i \sim \mathcal{N} (0,n \sigma^2) \sim n^{1/2} \mathcal{N} (0,\sigma^2)</math>. Die Normalverteilung ist die einzige Verteilung mit dem Formparameter <math>\alpha=2</math>.

Die zentrierte Cauchy-Verteilung erfüllt die Gleichung

<math>X_1, X_2, \ldots, X_n \sim {\rm Cauchy} (0,a) \Rightarrow \sum_{i=1}^n X_i \sim n \, {\rm Cauchy} (0,a)</math>

sie ist also stabil mit Formparameter <math>\alpha=1</math>.

Die (eigentliche) Standard-Lévy-Verteilung ist stabil mit <math>\alpha=\frac{1}{2}</math>.

Eigenschaften

Datei:Levyskew distributionPDF.png

Dichtefunktionen α-stabiler Verteilungen für unterschiedliche Werte des Schiefeparameters <math>\beta</math> und Parameterwerte <math>\alpha = 0.5</math>, <math>c = 1</math> und <math>\mu = 0</math>

Die charakteristische Funktion einer α-stabilen Verteilung ist durch

<math>\psi_{\alpha, \beta, c,\mu}(t)= \begin{cases}\exp\left(i \mu t- c |t|^\alpha \left(1-i \beta \tan\left(\frac{\pi \alpha}{2}\right) \sgn(t)\right)\right)&\text{für } \alpha \in (0,1)\cup (1,2]\\

\exp\left(i \mu t - c|t| \left(1 + i \beta \frac{2}{\pi}\ln(|t|) \sgn(t)\right)\right)&\text{für } \alpha = 1 \end{cases}

</math>

gegeben<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref>Rick Durrett: Probability: Theory and Examples. 4. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2010, ISBN 978-0-521-76539-8, S. 141.</ref> Der Parameter <math>\alpha \in (0,2]</math> heißt charakteristischer Exponent. Der Parameter <math>\beta \in [-1,1] </math> heißt Schiefeparameter. Der Parameter <math>c</math> ist positiv. Der Parameter <math>\mu \in \R</math> ist ein Lageparameter.

Endliche Varianz existiert nur für <math>\alpha=2</math>. Dies folgt unmittelbar aus dem zentralen Grenzwertsatz. Für <math>\alpha = 2</math> spezialisiert sich die charakteristische Funktion zu <math>\exp(i\mu t - ct^2)</math>; dies ist charakteristische Funktion einer Normalverteilung mit dem Erwartungswert <math> \mu</math> und der Varianz <math> 2c</math>.
Für <math>1<\alpha\leq2</math> hat die Verteilung den Erwartungswert <math>\mu </math>, für <math>\alpha\leq1</math> existiert kein Erwartungswert. Dies folgt mit dem Gesetz der großen Zahlen.
Alle α-stabilen Verteilungen sind unendlich teilbar und selbstähnlich („selfdecomposable“).

Analoge Konzepte für diskrete Verteilungen

Für diskrete Verteilungen gibt es den Begriff der diskret-stabilen Verteilung<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>, ein Beispiel einer solchen Verteilung ist die Poisson-Verteilung, welche bei diskret-stabilen Verteilungen einen ähnlichen Stellenwert einnimmt, wie die Normalverteilung bei Lévy-stabilen kontinuierlichen Dichten<ref>Stochastic Population Processes Analysis, Approximations, Simulations, Eric Renshaw, 2015, ISBN 9780191060397, Seite 134, https://books.google.de/books?id=pqE1CgAAQBAJ&pg=PA134</ref>.

Literatur

Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, Kap. 16.

Einzelnachweise

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Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | discrete-Phase-Type | erweitert negativ binomial | Gauss-Kuzmin | gemischt Poisson | geometrisch | logarithmisch | negativ binomial | parabolisch-fraktal | Poisson | Skellam | verallgemeinert Poisson | Yule-Simon | Zeta }} Vorlage:Klappleiste/Ende}}{{#if:Navigationsleiste KUWahrscheinlichkeitsverteilungen‎ |{{safesubst:#ifeq:0|10| {{#switch: Alpha-stabile Verteilungen |Navigationsleiste|NaviBlock|0=|#default= Vorlage:Templatetransclusioncheck Vorlage:Dokumentation/ruler }}}}Vorlage:Klappleiste/Anfang {{#if:

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Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:
Cauchy | Extremwert | exponential Power | Fishers z | Fisher-Tippett (Gumbel) | generalized hyperbolic | Hyperbolic-secant | Landau | Laplace | alpha-stabil | logistisch | normal (Gauß) | normal-invers Gauß’sch | Skew-normal | Studentsche t | Type-1-Gumbel | Variance-Gamma | Voigt }} Vorlage:Klappleiste/Ende}}{{#if:Navigationsleiste MUWahrscheinlichkeitsverteilungen‎ |{{safesubst:#ifeq:0|10| {{#switch: Alpha-stabile Verteilungen |Navigationsleiste|NaviBlock|0=|#default= Vorlage:Templatetransclusioncheck Vorlage:Dokumentation/ruler }}}}Vorlage:Klappleiste/Anfang {{#if:

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Multivariate Matrixverteilungen:
Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit | Invers Wishart | Matrix Beta | Matrix Gamma | Matrix invers Beta | Matrix invers Gamma | Matrix Normal | Matrix Student-t | Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung | Normal-invers-Wishart | Normal-Wishart | Wishart }}

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