Gammaverteilung
Die Gammaverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen.<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:|{{{autor}}}: }}{{#if:|{{#if:Merkzettel fürs MatheStudium | MassMatics|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Merkzettel fürs MatheStudium | MassMatics}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://massmatics.de/merkzettel/#!864:Gammaverteilung/%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Merkzettel fürs MatheStudium | MassMatics}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://massmatics.de/merkzettel/#!864:Gammaverteilung/}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Merkzettel fürs MatheStudium | MassMatics}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:{{#if: 2026-01-02 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}
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- in der Warteschlangentheorie, um Bedienzeiten oder Reparaturzeiten zu beschreiben;
- in der Versicherungsmathematik, um kleinere bis mittlere Schäden zu modellieren.
Definition
Die Gammaverteilung <math>\mathcal{G}(p,\, b)</math> ist durch die Wahrscheinlichkeitsdichte
\frac{\displaystyle b^p}{\displaystyle\Gamma(p)}x^{p-1}e^{-bx} & x > 0 \\
0 & x \leq 0
\end{cases}</math>
definiert. Sie besitzt die reellen Parameter <math>b</math> und <math>p</math>. Der Parameter <math>b</math> ist ein inverser Skalenparameter und der Parameter <math>p</math> ist ein Formparameter. Um ihre Normierbarkeit zu garantieren, wird <math>b>0</math> und <math>p>0</math> gefordert. Der Vorfaktor <math>b^p/\Gamma(p)</math> dient der korrekten Normierung; der Ausdruck <math>\Gamma(p)</math> steht für den Funktionswert der Gammafunktion, nach der die Verteilung auch benannt ist. |
Dichte der Gammaverteilung mit verschiedenen Werten für b und p |
Die Gammaverteilung genügt damit der Verteilungsfunktion
P(p,b x) & x \geq 0 \\
0 & x < 0,
\end{cases}</math>
wobei <math>P(p,\,b x)</math> die regularisierte Gammafunktion der oberen Grenze ist. |
kumulierte Verteilungsfunktion der Gammaverteilung mit verschiedenen Werten für p und b |
Alternative Parametrisierung
Alternativ zur obigen, im deutschsprachigen Raum üblichen Parametrisierung mit <math>p</math> und <math>b</math> findet man auch häufig
- <math>(\alpha=p, \beta=b)</math> oder <math>\left(k=p, \theta=\frac{1}{b}\right).</math>
<math>\beta=b</math> ist der Kehrwert eines Skalenparameters und <math>\theta=1/b</math> ist der Skalenparameter selbst. Dichte und Momente ändern sich dementsprechend bei diesen Parametrisierungen (der Erwartungswert ist hier beispielsweise <math>\frac{\alpha}{\beta}</math> beziehungsweise <math>k\theta</math>). Da diese Parametrisierungen im englischsprachigen Raum vorherrschen, werden sie besonders häufig in der Fachliteratur verwendet. Um Missverständnissen vorzubeugen, wird empfohlen, die Momente explizit anzugeben, also beispielsweise von einer Gammaverteilung mit Erwartungswert <math>\frac{p}{b}</math> und Varianz <math>\frac{p}{b^2}</math> zu sprechen. Hieraus sind dann Parametrisierung und die entsprechenden Parameterwerte eindeutig rekonstruierbar.
Eigenschaften
Die Dichte <math>f</math> besitzt für <math>p>1</math> an der Stelle <math>x_M=\tfrac{p-1}{b}</math> ihr Maximum und für <math>p>2</math> an den Stellen
- <math>x_W=x_M\pm \frac{(p-1)^\frac12}{b}</math>
Wendepunkte.
Erwartungswert
Der Erwartungswert der Gammaverteilung ist
- <math>\operatorname{E}(X)={p \over b}.</math>
Varianz
Die Varianz der Gammaverteilung ist
- <math>\operatorname{Var}(X)={p \over b^2}.</math>
Schiefe
Die Schiefe der Verteilung ist gegeben durch
- <math>\operatorname{v}(X) = \frac{2}{\sqrt{p}}.</math>
Reproduktivität
Die Gammaverteilung ist reproduktiv: Die Summe aus den stochastisch unabhängigen gammaverteilten Zufallsvariablen <math>X</math> und <math>Y</math> mit den Parametern <math>b</math> und <math>p_x</math> bzw. <math>p_y</math> ist wiederum gammaverteilt mit den Parametern <math>b</math> und <math>p_x + p_y</math>.
Charakteristische Funktion
Die charakteristische Funktion hat die Form
- <math>\phi_{X}(s) = \left(\frac{b}{b-is}\right)^p</math>;
hiebei ist für die komplexe Potenz der Hauptwert zu wählen, d. h. <math>\operatorname{Arg}(b - i s) \in (-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2})</math>.
Momenterzeugende Funktion
Die momenterzeugende Funktion der Gammaverteilung ist
- <math>m_{X}(s) = \left(\frac{b}{b-s}\right)^p.</math>
Entropie
Die Entropie der Gammaverteilung beträgt
- <math>H(X) = \ln\left(\Gamma(p)\right) - \ln\left(b\right) + (1-p)\psi(p) + p</math>
wobei <math>\psi (p)</math> die Digamma-Funktion bezeichnet.
Summe gammaverteilter Zufallsgrößen
Sind <math>X_1\sim \mathcal{G}(p_1,b)</math> und <math>X_2\sim \mathcal{G}(p_2,b)</math> unabhängige gammaverteilte Zufallsgrößen, dann ist auch die Summe <math>X_1+X_2</math> gammaverteilt, und zwar
- <math>X_1+X_2\sim \mathcal{G}(p_1+p_2,b).</math>
Allgemein gilt: Sind <math>X_i\sim \mathcal{G}(p_i,b)</math>, <math>i \in \{1,\ldots,n\}</math>, stochastisch unabhängig, dann ist
- <math>X_1+ \dotsb +X_n\sim \mathcal{G}(p_1+ \dotsb +p_n,b).</math>
Somit bildet die Gammaverteilung eine Faltungshalbgruppe in ihrem Formparameter.
Beziehung zu anderen Verteilungen
Beziehung zur Betaverteilung
Wenn <math>X \sim \mathcal{G}(p_1,b)</math> und <math>Y \sim \mathcal{G}(p_2,b)</math> unabhängige gammaverteilte Zufallsvariablen sind, dann ist die Größe <math>\tfrac{X}{X+Y}</math> betaverteilt mit Parametern <math>p_1</math> und <math>p_2</math>, kurz
- <math>\operatorname{Beta}(p_1,p_2) \sim \frac{\mathcal{G}(p_1,b)}{\mathcal{G}(p_1,b)+\mathcal{G}(p_2,b)}.</math>
Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung
- Die Chi-Quadrat-Verteilung mit <math>k</math> Freiheitsgraden ist eine Gammaverteilung mit den Parametern <math>p=k/2</math> und <math>b=1/2</math>.
Beziehung zur Erlang-Verteilung
Die Erlang-Verteilung mit dem Parameter <math>\lambda</math> und <math>n</math> Freiheitsgraden entspricht einer Gammaverteilung mit den Parametern <math>p=n</math> und <math>b=\lambda</math> und liefert die Wahrscheinlichkeit der Zeit bis zum Eintreffen des <math>p</math>-ten Poisson-verteilten Ereignisses.
Beziehung zur Exponentialverteilung
- Wählt man in der Gammaverteilung den Parameter <math>p=1</math>, so erhält man die Exponentialverteilung mit Parameter <math>\lambda=b</math>.
- Die Faltung von <math>n</math> Exponentialverteilungen mit demselben <math>\lambda</math> ergibt eine Gamma-Verteilung mit <math>p=n, b=\lambda</math>.
Beziehung zur logarithmischen Gammaverteilung
Ist <math>X</math> Gamma-verteilt, dann ist <math>Y=e^X</math> Log-Gamma-verteilt.
Siehe auch
- Lévy-Prozess, mit Bild von einem Gamma-Prozess
Literatur
- Bernard W. Lindgren: Statistical Theory. Chapman & Hall, New York u. a. 1993, ISBN 0-412-04181-2.
- Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 11. Auflage. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1989, ISBN 3-326-00079-0.
- P. Heinz Müller (Hrsg.): Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematische Statistik. 5., bearb. und wesentlich erw. Auflage. Akad.-Verlag, Leipzig 1991, ISBN 3-05-500608-9
Weblinks
- Marina Weingartz: Gammaverteilung, auf GeoGebra
- Beweis: Mittelwert der Gammaverteilung
Einzelnachweise
<references />
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|Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford |
Bernoulli |
beta-binomial |
binomial |
Dirac |
diskret uniform |
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kategorial |
negativ hypergeometrisch |
Rademacher |
verallgemeinert binomial |
Zipf |
Zipf-Mandelbrot |
Zweipunkt
Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann |
Conway-Maxwell-Poisson |
discrete-Phase-Type |
erweitert negativ binomial |
Gauss-Kuzmin |
gemischt Poisson |
geometrisch |
logarithmisch |
negativ binomial |
parabolisch-fraktal |
Poisson |
Skellam |
verallgemeinert Poisson |
Yule-Simon |
Zeta
|
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Beta |
Cantor |
Kumaraswamy |
raised Cosine |
Dreieck |
Trapez |
U-quadratisch |
stetig uniform |
Wigner-Halbkreis
Kontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall:
Beta prime |
Bose-Einstein |
Burr |
Chi |
Chi-Quadrat |
Coxian |
Erlang |
Exponential |
Extremwert |
F |
Fermi-Dirac |
Folded normal |
Fréchet |
Gamma |
Gamma-Gamma |
verallgemeinert invers Gauß |
halblogistisch |
halbnormal |
Hartman-Watson |
Hotellings T-Quadrat |
hyper-exponentiale |
hypoexponential |
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Invers Normal |
Invers Gamma |
Kolmogorow-Verteilung |
Lévy |
log-normal |
log-logistisch |
Maxwell-Boltzmann |
Maxwell-Speed |
Nakagami |
nichtzentriert Chi-Quadrat |
Pareto |
Phase-Type |
Rayleigh |
relativistisch Breit-Wigner |
Rice |
Rosin-Rammler |
shifted Gompertz |
truncated normal |
Type-2-Gumbel |
Weibull |
Wilks’ Lambda
Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:
Cauchy |
Extremwert |
exponential Power |
Fishers z |
Fisher-Tippett (Gumbel) |
generalized hyperbolic |
Hyperbolic-secant |
Landau |
Laplace |
alpha-stabil |
logistisch |
normal (Gauß) |
normal-invers Gauß’sch |
Skew-normal |
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Type-1-Gumbel |
Variance-Gamma |
Voigt
|
Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall:
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Ewens |
gemischt Multinomial |
multinomial |
multivariat hypergeometrisch |
multivariat Poisson |
negativmultinomial |
Pólya/Eggenberger |
polyhypergeometrisch
Kontinuierliche multivariate Verteilungen:
Dirichlet |
GEM |
generalized Dirichlet |
multivariat normal |
multivariat Student |
normalskaliert invers Gamma |
Normal-Gamma |
Poisson-Dirichlet
Multivariate Matrixverteilungen:
Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit |
Invers Wishart |
Matrix Beta |
Matrix Gamma |
Matrix invers Beta |
Matrix invers Gamma |
Matrix Normal |
Matrix Student-t |
Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung |
Normal-invers-Wishart |
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Wishart
|
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- Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung
- Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung