Bose-Einstein-Statistik

Datei:Bose-einstein-fermi-dirac.png

Besetzungszahl <math>\langle n \rangle</math> als Funktion der Energie <math>E - \mu</math>
für Bosonen (Bose-Einstein-Statistik, obere Kurve)
bzw. Fermionen (Fermi-Dirac-Statistik, untere Kurve),
jeweils im Spezialfall der Wechselwirkungsfreiheit und bei konstanter Temperatur <math>T > 0</math>.
Das chemische Potential <math>\mu</math> ist ein Parameter, der von Temperatur und Dichte abhängt;
im Bose-Fall ist es immer kleiner als die Energie und würde im Grenzfall der Bose-Einstein-Kondensation verschwinden;
im Fermi-Fall dagegen ist es positiv, bei <math>T = 0 \, \mathrm{K}</math> entspricht es der Fermi-Energie.

Die Bose-Einstein-Statistik oder auch Bose-Einstein-Verteilung, benannt nach Satyendranath Bose (1894–1974) und Albert Einstein (1879–1955), ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Quantenstatistik (dort auch die Herleitung). Sie beschreibt die mittlere Besetzungszahl <math> \langle n(E) \rangle </math> eines Quantenzustands der Energie <math>E\,</math> im thermodynamischen Gleichgewicht bei der absoluten Temperatur <math>T</math> für identische Bosonen als besetzende Teilchen.

Analog existiert für Fermionen die Fermi-Dirac-Statistik, die ebenso wie die Bose-Einstein-Statistik im Grenzfall großer Energie <math>E</math> in die Boltzmann-Statistik übergeht.

Kernpunkt der Bose-Einstein-Statistik ist, dass bei gleichzeitiger Vertauschung aller vier Variablen <math>x, y, z, m\,</math> zweier Bosonen (<math>x, y\,</math> und <math>z\,</math>: Ortsvariable; <math>m\,</math>: Spinvariable) die Wellenfunktion <math>\psi \,</math> bzw. der Zustandsvektor eines Vielteilchensystems nicht das Vorzeichen wechselt <math> (\psi \rightarrow \psi) </math>, während es in der Fermi-Dirac-Statistik sehr wohl wechselt <math> (\psi \rightarrow -\psi) </math>. Im Gegensatz zu Fermionen können deshalb mehrere Bosonen im gleichen Ein-Teilchen-Zustand sein, also die gleichen Quantenzahlen haben.

Bei Wechselwirkungsfreiheit

Bei Wechselwirkungsfreiheit (Bosegas) ergibt sich für Bosonen die folgende Formel:

<math> \langle n(E) \rangle = \frac {1}{e^{\beta (E - \mu)} - 1} </math>

mit

dem chemischen Potential <math>\mu</math>, welches für Bosonen stets kleiner als der niedrigste mögliche Energiewert ist: <math>\mu < E</math>;
daher ist die Bose-Einstein-Statistik nur für Energiewerte <math>E - \mu > 0</math> definiert.
der Energienormierung <math>\beta</math>. Die Wahl von <math>\beta</math> hängt von der verwendeten Temperaturskala ab:
- üblicherweise wird sie gewählt zu <math>\beta = 1/(k_\mathrm{B} T)</math> mit der Boltzmann-Konstanten <math>k_\mathrm{B}</math>;
- sie beträgt <math>\beta = 1/T</math>, wenn die Temperatur in Energieeinheiten, etwa Joule, gemessen wird; dies geschieht, wenn <math>k_\mathrm{B}</math> auch in der Definition der Entropie – welche dann einheitenlos ist – nicht auftaucht.

Unterhalb einer sehr tiefen kritischen Temperatur <math>T_\lambda</math> erhält man bei Wechselwirkungsfreiheit – unter der Annahme, dass <math>\mu\,</math> gegen das Energie-Minimum strebt – die Bose-Einstein-Kondensation.

Man beachte, dass es sich bei <math> \langle n(E) \rangle </math> um die Besetzungszahl eines Quantenzustandes handelt. Benötigt man die Besetzungszahl eines entarteten Energieniveaus, so ist obiger Ausdruck zusätzlich mit dem entsprechenden Entartungsgrad <math>g_i = 2s +1</math> zu multiplizieren (<math>s\,</math>: Spin, bei Bosonen immer ganzzahlig), vgl. auch Multiplizität.

Herleitung aus einem Minimum der freien Energie

Aus der Bedingung, dass im thermischen Gleichgewicht (bei konstanter Temperatur <math>T</math>, Teilchenzahl <math> N</math> und Volumen <math>V</math>) die freie Energie

<math> F = E - TS \qquad (1) </math>

ein Minimum annimmt, kann die Bose-Einstein-Statistik mit wenigen Annahmen hergeleitet werden. Es sei <math>N</math> die Gesamtzahl aller Bosonen und <math>N_i</math> die Anzahl Bosonen im Energieniveau <math>E_i</math> mit <math> i=1, 2, \dots , I </math>, d. h. die <math>N</math> Bosonen seien über die Energieniveaus <math>E_i</math> verteilt. <math> D_i </math> sei die Anzahl der möglichen Zustände im Energieniveau <math>E_i</math>, d. h. die Energieniveaus <math> E_1, E_2, \dots, E_I </math> seien jeweils <math> D_1, D_2, \dots , D_I </math> -fach entartet. Für den Makrozustand des Systems ist es unerheblich, welche der <math>N</math> Bosonen sich im <math> i</math>-ten Energieniveau befinden und welche der <math>D_i</math> Zustände sie darin besetzen. Der Makrozustand wird daher vollständig durch <math>N_1, N_2,\dots , N_I </math> bestimmt.

Für eine beliebige Verteilung der Bosonen auf die Energieniveaus gilt:

<math>\begin{align}

N &= \sum_{i=1}^I N_i & \qquad (2) \\ E &= \sum_{i=1}^I N_i E_i & \qquad (3) \\ S &=k_{\rm B} \ln W. & \qquad (4) & \end{align}</math>

Gleichung (2) gibt die Gesamtzahl der Bosonen wieder, die konstant gehalten werden soll, während die einzelnen <math>N_i</math> variiert werden, um das Minimum von <math>F</math> zu erreichen. Gleichung (3) gibt die zur vorliegenden Verteilung gehörende Energie <math>E</math> des Systems an. Gleichung (4) ist (nach Ludwig Boltzmann) die Entropie des Zustands des Systems (Makrozustand), wobei <math>\textstyle W = \prod_{i=1}^I W_i</math> die Wahrscheinlichkeit für die Besetzungszahlen <math>N_1, N_2,\dots, N_I </math> angibt, d. h. die Anzahl der möglichen Verteilungen (Mikrozustände) von jeweils <math>N_i</math> Bosonen auf die Plätze <math>D_i</math> für alle Energieniveaus <math> i=1, 2, \dots , I </math>. Aus Gleichung (4) folgt damit:

<math> S= k_{\rm B} \ln \prod_{i=1}^I W_i = k_{\rm B} \sum_ {i=1}^I \ln W_i. \qquad (5)</math>

Dabei gibt der Binomialkoeffizient

<math> W_i = \binom{N_i+D_i-1}{N_i} = \frac{(N_i+D_i-1)!}{N_i! (D_i-1)!} </math>

die Anzahl der Möglichkeiten an, dass <math> N_i </math> Teilchen ohne Beachtung der Reihenfolge das <math> D_i </math>-fach entartete Energieniveau <math> E_i </math> zu besetzen (Kombination mit Wiederholung von <math>N_i</math> Teilchen).

Mit Hilfe der beiden ersten dominierenden Glieder der Stirling-Reihe (<math> \ln k! \approx k \ln k - k </math> für <math> k\to\infty </math>) und <math>N_i>>1, D_i>>1 </math> ergibt sich weiter

<math>

\begin{align} \ln W_i & = \ln (N_i+D_i-1)! - \ln N_i! - \ln (D_i-1)!\\

& \approx (N_i+D_i-1) \ln (N_i+D_i-1) - (N_i+D_i-1) - N_i \ln N_i + N_i - (D_i-1) \ln (D_i - 1) + (D_i-1)\\
& = (N_i+D_i-1) \ln (N_i+D_i-1) - N_i \ln N_i - (D_i-1) \ln (D_i - 1). \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad  (6)\\

\end{align} </math>

Um die Verteilung zu finden, bei der die freie Energie <math>F</math> unter der Nebenbedingung <math>N=\mathrm{const}</math>, aber <math>N_i</math> variabel, minimal wird, kann die Methode der Lagrange-Multiplikatoren benutzt werden:

<math> \frac{\partial F}{\partial N_i} - \lambda \frac{\partial N}{\partial N_i} = 0 \qquad </math> für <math>i=1, 2, 3 \dots I. \qquad (7)</math>

Darin ist <math>\lambda</math> der (von <math>i</math> unabhängige) Lagrange-Multiplikator. Hierbei gilt für die partiellen Ableitungen <math>\frac{\partial N}{\partial N_i} = 1</math> und <math>\frac{\partial E}{\partial N_i} = E_i</math>, da jedes <math>N_i</math> genau einmal linear in der Summe von Gleichung (2) bzw. (3) vorkommt. Da <math>N_i</math> nur Variable von <math>W_i</math>, aber nicht von <math>W_j</math> mit <math>j \ne i</math> ist, vereinfacht sich die Summe von Gleichung (5) durch die partielle Ableitung nach <math>N_i</math> wie folgt: <math> \frac{\partial S}{\partial N_i} = k_{\rm B}\frac{\partial \ln W_i}{\partial N_i} </math>.

Damit ergibt sich aus Gleichung (1) und (7):

<math> \lambda = \frac{\partial F}{\partial N_i} = \frac{\partial E}{\partial N_i} - T\frac{\partial S}{\partial N_i} = E_i - k_{\rm B}T\frac{\partial \ln W_i}{\partial N_i}. \qquad (8)</math>

Die partielle Ableitung <math> \frac{\partial \ln W_i}{\partial N_i} </math> kann aus Gl. (6) mit <math>N_i>>1</math> berechnet werden:

<math>

\begin{align} \frac {\partial \ln W_i} {\partial N_i} & \approx \ln (N_i+D_i-1) + 1 - \ln N_i - 1\\

& = \ln (N_i+D_i-1) - \ln N_i \\
& = \ln (D_i/N_i+1-1/N_i) \\
& \approx \ln (D_i/N_i+1). \\

\end{align} </math>

Damit ergibt sich aus Gleichung (8)

<math> \lambda = E_i - k_{\rm B}T \ln (D_i/N_i + 1) </math>.

Einsetzen der durch <math>f_i := \frac{N_i}{D_i} </math> gegebenen Besetzungswahrscheinlichkeit <math>f_i </math> und Umstellung ergibt

<math> f_i = \frac{1}{ \exp\frac{E_i - \lambda}{k_{\rm B}T} - 1 } </math>.

Dies ist die Bose-Einstein-Statistik. Der Lagrange-Multiplikator erweist sich als ihr chemisches Potential <math>\mu = \lambda</math>.

Literatur

U. Krey, A. Owen: Basic Theoretical Physics – a Concise Overview. Springer, Berlin//Heidelberg/New York 2007, ISBN 978-3-540-36804-5 (auf Englisch).
L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Statistische Physik. Verlag Harri Deutsch (ehem. Akademie Verlag), Berlin 1987 (verwendet unübliche Temperatureinheit).

Einzelnachweise

{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} insbes. S. 310–313

{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}QRSTUV-DA-89876; insbes. Kap. 13.2, S. 519; Kap. 13.5, S. 529

Siehe auch

Weblinks

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