Logarithmische Normalverteilung

Die logarithmische Normalverteilung (kurz Log-Normalverteilung) ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine Variable, die nur positive Werte annehmen kann. Sie beschreibt die Verteilung einer Zufallsvariablen <math>X</math>, wenn die mit dem Logarithmus transformierte Zufallsvariable <math>Y=\ln(X)</math> normalverteilt ist. Sie bewährt sich als Modell für viele Messgrößen in Naturwissenschaften, Medizin und Technik, beispielsweise für Energien, Konzentrationen, Längen und Mengenangaben.

In Analogie zu einer normalverteilten Zufallsvariablen, die nach dem zentralen Grenzwertsatz als Summe vieler verschiedener Zufallsvariablen aufgefasst werden kann, entsteht eine logarithmisch normalverteilte Zufallsvariable durch das Produkt vieler positiver Zufallsvariablen. Somit ist die Log-Normalverteilung die einfachste Verteilungsart für multiplikative Zufallsprozesse. Da multiplikative Gesetze in den Naturwissenschaften, der Ökonomie und der Technik eine größere Rolle spielen als additive, ist die Log-Normalverteilung in vielen Anwendungen diejenige, die der Theorie am besten entspricht – der zweite Grund, weshalb sie vielfach anstelle der gewöhnlichen, additiven Normalverteilung verwendet werden sollte.

Definition

Datei:Lognormal distribution PDF.svg

Dichtefunktion der Log-Normalverteilung (mit <math>\mu=0</math>)

Erzeugung

Wenn <math>Z</math> eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ist, dann ist <math>X = \mathrm{e}^{\mu + \sigma Z} = \mathrm{e}^\mu (\mathrm{e}^Z)^\sigma</math> log-normalverteilt mit den Parametern <math>\mu</math> und <math>\sigma>0</math>, geschrieben als <math>\mathcal{LN}(\mu,\sigma^2)</math>. Alternativ können als Parameter die Größen <math>\mu^*=\mathrm{e}^\mu</math> und <math>\sigma^*=\mathrm{e}^\sigma>1</math> verwendet werden. <math>\mu^*</math> ist ein Skalen-Parameter. <math>\sigma</math> oder ebenso <math>\sigma^*</math> bestimmt die Form der Verteilung.

Wenn <math>X</math> log-normalverteilt ist, dann ist auch <math>Y = a X</math> log-normalverteilt, und zwar mit den Parametern <math>\ln(a)+\mu</math> und <math>\sigma</math> respektive <math>a\mu^*</math> und <math> \sigma^*</math>. Ebenso ist <math>X^b</math> log-normalverteilt, mit den Parametern <math>b\mu</math> und <math>b\sigma</math> respektive <math>(\mu^*)^b</math> und <math>(\sigma^*)^b</math>.

Dichtefunktion

Eine stetige, positive Zufallsvariable <math>X</math> unterliegt einer logarithmischen Normalverteilung <math>\mathcal{LN}(\mu,\sigma^2)</math> mit den Parametern <math>\mu \in \mathbb{R}</math> und <math>\sigma \in \mathbb{R}, \sigma>0</math>, wenn die transformierte Zufallsvariable <math>Y=\ln(X)</math> einer Normalverteilung <math>\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math> folgt. Ihre Dichtefunktion ist dann

<math>f(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma x }\,\exp\Big( -\frac{(\ln(x)-\mu)^2}{2\sigma^2}\Big) = \frac{1}{x\sigma} \varphi\left( \frac{\ln(x) -\mu}{\sigma} \right),\quad x > 0</math>,

wobei <math>\varphi</math> die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet.

Verteilungsfunktion

Datei:CDF-log normal distributions.svg

Verteilungsfunktion der Log-Normalverteilung (mit <math>\mu=0</math>)

Damit hat die Log-Normalverteilung für <math>x \geq 0</math> die Verteilungsfunktion

<math>F(x) = \int_0^x f(t) \,\mathrm{d}t = \Phi\left(\frac{\ln(x) - \mu}{\sigma}\right)</math>,

wobei <math>\Phi</math> die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet.

Die Verteilungsfunktion der logarithmischen Normalverteilung erscheint auf logarithmisch geteiltem Wahrscheinlichkeitspapier als Gerade.

Mehrdimensionale log-Normalverteilung

Sei <math>\boldsymbol Z \sim \mathcal{N}(\boldsymbol\mu,\,\boldsymbol\Sigma)</math> ein mehrdimensional (oder multivariat) normalverteilter Zufallsvektor. Dann ist <math>\boldsymbol X=\exp(\boldsymbol Z)</math> (d. h. <math>X_j=\exp(Z_j)</math>) multivariat log-normalverteilt. Die mehrdimensionale Log-Normalverteilung ist viel weniger bedeutsam als die eindimensionale. Deshalb bezieht sich der nachfolgende Text fast ausschließlich auf den eindimensionalen Fall.

Eigenschaften

Quantile

Ist <math>u_{(p)}</math> das p-Quantil einer Standardnormalverteilung (d. h. <math>\Phi(u_{(p)}) = p</math>, wobei <math>\Phi</math> die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung sei), so ist das p-Quantil der Log-Normalverteilung gegeben durch

<math>x_{(p)} = \mathrm{e}^{\mu + u_{(p)} \cdot \sigma}</math>.

Median, multiplikativer Erwartungswert

Der Median der logarithmischen Normalverteilung beträgt demnach <math>\mu^* = \mathrm{e}^\mu</math>. Er wird auch multiplikativer oder geometrischer Erwartungswert genannt (vgl. geometrisches Mittel). Er ist ein Skalen-Parameter, da <math>\mu^*(a X) = a \mu^*(X)</math> gilt.

Multiplikative Standardabweichung

In Analogie zum multiplikativen Erwartungswert ist <math>\sigma^* = \mathrm{e}^\sigma</math> die multiplikative oder geometrische Standardabweichung. Sie bestimmt (ebenso wie <math>\sigma</math> selbst) die Form der Verteilung. Es gilt <math>\sigma^*>1</math>.

Da das multiplikative oder geometrische Mittel einer Stichprobe von lognormalen Beobachtungen (siehe „Parameterschätzung“ unten) selbst log-normalverteilt ist, kann man seine Standardabweichung angeben, sie beträgt <math>(\sigma^*)^{1/\sqrt{n}} </math>.

Erwartungswert

Der Erwartungswert der logarithmischen Normalverteilung beträgt

<math>\operatorname{E}(X) = \mathrm{e}^{\mu+\frac{\sigma^{2}}{2}}</math>.

Modus

Der Modus, also der häufigste Wert der Verteilung bzw. der Wert, für den die Dichtefunktion ihr Maximum annimmt, beträgt für die logarithmische Normalverteilung

<math>\operatorname{Modus}(X)=x_D=\mathrm{e}^{\mu-\sigma^2}</math>.

Varianz, Standardabweichung, Variationskoeffizient

Die Varianz ergibt sich zu

<math>\operatorname{Var}(X) = \mathrm{e}^{2\mu+\sigma^{2}}(\mathrm{e}^{\sigma^{2}}-1)</math>.

Für die Standardabweichung ergibt sich

<math> \sqrt{\operatorname{Var}(X)}= \sqrt{\mathrm{e}^{2\mu+\sigma^{2}}(\mathrm{e}^{\sigma^{2}}-1)}=\mathrm{e}^{\mu+\frac{\sigma^{2}}{2}}\cdot\sqrt{\mathrm{e}^{\sigma^{2}}-1}</math>.

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten

<math>\operatorname{VarK}(X) = \sqrt{\mathrm{e}^{\sigma^2}-1}</math>.

Schiefe

Die Schiefe ergibt sich zu

<math>\gamma_m = (\mathrm{e}^{\sigma^2}+2)\sqrt{\mathrm{e}^{\sigma^2}-1} > 0</math>,

d. h., die Log-Normalverteilung ist rechtsschief.

Je größer die Differenz zwischen Erwartungswert und Median, desto ausgeprägter ist i. a. die Schiefe einer Verteilung. Hier unterscheiden sich diese Parameter um den Faktor <math>\mathrm{e}^{\sigma^2/2}</math>. Die Wahrscheinlichkeit für extrem große Ausprägungen ist also bei der Log-Normalverteilung mit großem <math>\sigma</math> hoch.

Momente

Es existieren alle Momente und es gilt:

<math>\operatorname{E}(X^n)=\mathrm{e}^{n\mu+\frac{n^2\sigma^2}{2}}, \quad n \in \N</math>.

Die momenterzeugende Funktion und die charakteristische Funktion existieren für die Log-Normalverteilung nicht in expliziter Form.

Die Lognormalverteilung ist ein Beispiel einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch die Angabe aller Momente nicht charakterisiert ist, da es andere Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit denselben Momenten gibt.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Entropie

Die Entropie der logarithmischen Normalverteilung (ausgedrückt in nats) beträgt

<math>\mu + \frac{1}{2}\ln\left(2\pi\mathrm{e}\sigma^2\right)</math>.

Multiplikation von unabhängigen, log-normalverteilten Zufallsvariablen

Multipliziert man zwei unabhängige, log-normalverteilte Zufallsvariable <math>X_1</math> und <math>X_2</math>, so ergibt sich wieder eine log-normalverteilte Zufallsvariable mit den Parametern <math>\mu=\mu_1+\mu_2</math> und <math>\sigma</math>, wobei <math>\sigma^2=\sigma_1^2+\sigma_2^2</math>. Entsprechendes gilt für das Produkt von <math>n</math> solchen Variablen.

Grenzwertsatz

Das geometrische Mittel von <math>n</math> unabhängigen, gleich verteilten, positiven Zufallsvariablen zeigt für <math>n \to\infty</math> genähert eine Log-Normalverteilung, die immer mehr einer gewöhnlichen Normalverteilung gleicht, da <math>\sigma</math> abnimmt.

Erwartungswert und Kovarianzmatrix einer mehrdimensionalen Log-Normalverteilung

Der Erwartungswert-Vektor ist

<math>\operatorname{E}[\boldsymbol X]_i=\mathrm e^{\mu_i+\frac{1}{2}\Sigma_{ii}}</math>

und die Kovarianzmatrix

<math>\operatorname{Var}[\boldsymbol X]_{ij} = \mathrm e^{\mu_i+\mu_j +

\frac{1}{2}(\Sigma_{ii}+\Sigma_{jj}) }( \mathrm e^{\Sigma_{ij}} - 1) . </math><ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}{{#if:

       | {{#if: Vorlage:Cite book/ParamBool
               | Vorlage:Toter Link/archivebot
               | Vorlage:Webarchiv/archiv-bot
         }}
  }}Vorlage:Cite book/URL{{#if: Vorlage:Cite book/ParamBool

Definition

Erzeugung

Dichtefunktion

Verteilungsfunktion

Mehrdimensionale log-Normalverteilung

Eigenschaften

Quantile

Median, multiplikativer Erwartungswert

Multiplikative Standardabweichung

Erwartungswert

Modus

Varianz, Standardabweichung, Variationskoeffizient

Schiefe

Momente

Entropie

Multiplikation von unabhängigen, log-normalverteilten Zufallsvariablen

Grenzwertsatz

Erwartungswert und Kovarianzmatrix einer mehrdimensionalen Log-Normalverteilung

Beziehungen zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Normalverteilung

Verteilung mit schweren Rändern

Parameterschätzung und Statistik

Parameterschätzung

Statistik

Anwendungen

Literatur

Einzelnachweise