Black-Scholes-Modell
Das Black-Scholes-Modell (gesprochen <templatestyles src="IPA/styles.css" />
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Geschichte
Robert C. Merton war ebenfalls essentiell an der Ausarbeitung beteiligt, veröffentlichte jedoch einen separaten Artikel. Gerechterweise müsste das Modell daher auch seinen Namen tragen, weshalb auch vom Black-Scholes-Merton-Modell gesprochen wird. Tatsächlich wurde Merton zusammen mit Scholes für die Entwicklung dieses Modells mit dem Preis der schwedischen Reichsbank für Wirtschaftswissenschaften 1997 geehrt; Fischer Black war bereits 1995 verstorben. Black setzte jedoch auch andere Bewertungsakzente als Scholes und Merton.<ref>Mehrling, Perry: <templatestyles src="Webarchiv/styles.css" />{{#if:20100622165007
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}} (PDF; 158 kB), 2005</ref>
Die Ergebnisse von Black, Scholes und Merton wurden schon Anfang des 20. Jahrhunderts von Louis Bachelier (1900) für ein ähnliches Modell und von Vinzenz Bronzin (1908) einem anderen Ansatz folgend hergeleitet. Während die Arbeit des Ersteren durch Paul A. Samuelson im amerikanischen Raum seit den 1950er Jahren bekannt wurde, blieb das Werk des Letzteren lange in Vergessenheit. Bronzins Arbeit wurde erst um die Jahrtausendwende wieder berücksichtigt.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Modellrahmen
Annahmen
Das ursprüngliche Modell trifft einige idealisierende Annahmen:<ref>Darstellung gemäß: John C. Hull: Options, futures and other derivatives. 9. Aufl., Pearson Education, 2015, ISBN 978-0-13-345631-8, S. 331.</ref>
- Der Preis des Basiswertes, – also der Aktienpreis, folgt einer geometrischen brownschen Bewegung mit konstantem Drift und Volatilität.
- Der Leerverkauf von Finanzinstrumenten ist uneingeschränkt möglich.
- Es gibt keine Transaktionskosten oder Steuern. Alle Finanzinstrumente sind in beliebig kleinen Einheiten handelbar.
- Von Abschluss bis Fälligkeit des Derivats gibt es keine Dividendenzahlung auf die zugrunde liegende Aktie.
- Es gibt keine risikolose Möglichkeit zur Arbitrage (Arbitragefreiheit).
- Finanzinstrumente werden kontinuierlich gehandelt.
- Es existiert ein risikofreier Zinssatz <math>r</math>, der zeitlich konstant und für alle Laufzeiten gleich ist.
In Modellerweiterungen werden auch Dividendenzahlungen, stochastische Zinssätze oder stochastische Volatilitäten betrachtet.
Black-Scholes-Modell
Wir betrachten einen Zeitraum <math>[0,T]</math> mit <math>T\in (0,\infty)</math> und einen filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{F},\mathbb{P})</math>, wobei die Filtration <math>\mathbb{F}</math> durch einen Standard-Wiener-Prozess <math>W</math> erzeugt wird und die üblichen Bedingungen erfüllt. Nach den Annahmen bewegt sich der undiskontierte Aktienkurs <math>S</math> gemäß einer geometrischen Brownschen Bewegung mit inkrementellen und dekrementellen Kursänderungen, d. h. <math display="block">\mathrm{d}S = \mu \, S \, \mathrm{d}t + \sigma \, S \, \mathrm{d}W</math>Dabei ist <math>\mu</math> die erwartete Rendite des Aktienkurses, <math>\sigma > 0</math> die Volatilität und <math>t \geq 0</math> die Zeit. <math>\mathrm{d}W </math> kann als ein infinitesimaler Zuwachs von <math>W_t</math> auf einem Zeitintervall der Länge <math>\mathrm{d}t</math> angesehen werden, d. h. als eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert <math>0</math> und Varianz <math>\mathrm{d}t </math>. Der abgezinste Preisprozess <math>X</math> von <math>S</math> ist unter der Arbitragefreiheitsannahme ein Martingal bezüglich dem äquivalenten Martingalmaß <math>\mathbb{P}^\ast \sim \mathbb{P}</math>, wobei die Dichte durch <math display="block">\left.\frac{\operatorname{d}\!\mathbb{P}^\ast}{\operatorname{d}\!\mathbb{P}}\right\vert_{\mathcal{F}_t} = \exp\left(-\theta W_t - \frac12 \sigma^2 t\right)</math> mit <math>\theta = \frac{\mu - r}{\sigma}</math> dem Risikomarktpreis ({{#invoke:Vorlage:lang|full|CODE=en|SCRIPTING=Latn|SERVICE=englisch}}) gegeben ist.<ref group="Anm.">Üblicherweise wird in der Praxis eine Risikoprämie <math>\mu - r > 0</math> auf risikobehaftete Anlagen aufgeschlagen. Dadurch ist das Marktwahrscheinlichkeitsmaß <math>\mathbb P</math> zu optimistisch; die erwarteten Preisentwicklungen sind zu hoch. Deshalb ist der Maßwechsel zum äquivalenten Martingalmaß <math>\mathbb{P}^\ast</math> vonnöten.</ref> Mit dem Satz von Girsanow folgt, dass der Prozess <math>W^\ast</math> definiert durch <math>W^\ast_t = W_t + \theta t</math> für alle <math>t \in [0,T]</math> ein Wiener-Prozess unter dem äquivalenten Martingalmaß <math>\mathbb{P}^\ast</math> ist.<ref group="Anm.">Unter <math>\mathbb{P}^\ast</math> ist <math>W</math> ein Wiener-Prozess mit Driftterm <math>-\theta</math>. Es handelt sich um denselben Prozess, bloß durch ein anderes Maß betrachtet.</ref>
Mehrdimensionales Black-Scholes-Modell
Analog lässt sich für <math>n</math> Aktien <math>S^1,\dots,S^n</math> und <math>n</math> Standard-Wiener-Prozessen <math>W^1,\dots,W^n</math>, das mehrdimensionale Black-Scholes-Modell bilden:<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
- <math>\mathrm{d}S^i = \mu_i \, S^i \, \mathrm{d}t + S^i\sum\limits_{j=1}^n\sigma_{ij} \, \mathrm{d}W^j,\quad i=1,\dots,n</math>.
Alternative Herleitung
Das Black-Scholes-Modell kann als Grenzfall des zeit- und wertediskreten Binomialmodells nach Cox, Ross und Rubinstein interpretiert werden. Indem die Handelsintervalle immer kürzer gesetzt werden, <math>\Delta t \to 0</math> nehmen die Sprünge <math>u(\Delta t)</math> und <math>d(\Delta t)</math> kontrolliert ab. Dadurch wird aus der konstanten risikofreien Zinsrate ein konstanter Momentanzins. Mit Hilfe des Satzes von Donsker und dem Skorochodschen Einbettungssatzes lässt sich die Konvergenz zur geometrischen brownschen Bewegung zeigen.
Die Aktienkursrenditen im diskreten Modell seien binomialverteilt. Sie konvergieren gegen eine Normalverteilung. Die Aktienkurse sind dann in jedem Zeitpunkt logarithmisch normalverteilt. In der Regel ist eine Schrittzahl von 100 ausreichend mit der Einschränkung exotischer Optionen oder Optionssensitivitäten.
Black-Scholes-Differentialgleichung
Zur Herleitung der Black-Scholes-Differentialgleichung sind zwei gängige Ansätze üblich, nämlich entweder mittels Replizierung des Derivats oder mittels einer Wertsicherungsstrategie.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Die Herleitung hiernach wird durch Letzteres motiviert. Zur Vereinfachung der Herleitung werden von Beginn an die eigentlich ex post ermittelten Stückanzahlen genutzt. Das risikolose Portfolio besteht aus einer Shortposition im Derivat und <math>\frac{\partial V}{\partial S}</math> Stücke der Aktien.<ref group="Anm.">Alternativ mit umgekehrtem Vorzeichen: eine Longposition im Derivat und eine Shortposition in den Aktien in der angegebenen Größe. In der Praxis wird dieses Konzept der Portfolioabsicherung in Form des Delta-Hedging angewendet.</ref> Sei <math>V=V(t,S)</math> in <math>C^2((0,\infty)\times(0,\infty))</math> der Wertprozess des Derivats. Mittels der Itō-Formel erhält man für die Änderungen des Wertes <math>V</math> des Derivats die Formel<ref group="Anm.">Hierbei sind <math>\mu</math> und <math>W</math> dieselben Größen wie zuvor, da der Preis des Derivats vom Preisprozess der Aktie abhängt. Der Wiener-Prozess <math>W</math> beeinflusst also den Aktienpreis über einen Faktor <math>\sigma \, S </math> und den Wert des Derivats über einen Faktor <math>\sigma\,S\,\frac{\partial V}{\partial S}</math>.</ref>
<math display="block">\mathrm{d}V = \left(\frac{\partial V}{\partial t} + \mu \,S\frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2}\,\sigma^2\,S^2\,\frac{\partial^2V}{\partial S^2}\right) \mathrm{d}t + \sigma\,S\,\frac{\partial V}{\partial S}\,\mathrm{d}W</math>
Mit den gegebenen Portfoliogewichten und den Preisprozessen für Aktie und Derivate lassen sich der Portfoliowert und die Wertänderungen des Portfolios über kurze Zeiträume formulieren. Der Portfoliowert <math>P</math> ist <math>P = -V + S\,\frac{\partial V}{\partial S}</math>, also die Summe des negativen Wertes des Derivats plus des Wertes von <math>\frac{\partial V}{\partial S}</math> Stück Aktien. Die Wertänderung <math>\mathrm{d}P</math> des Portfolios über kurze Zeiträume lässt sich schreiben als<math display="block">\mathrm{d}P = -\mathrm{d}V + \mathrm{d}S\,\frac{\partial V}{\partial S} = \left(-\frac{\partial V}{\partial t} - \frac{1}{2}\,\sigma^2\,S^2\,\frac{\partial^2V}{\partial S^2}\right) \mathrm{d}t</math>Die Preisentwicklung des Portfolios hängt also weder von den zufälligen Preisänderungen des Aktienkurses aus dem Wienerprozess <math>W</math> noch von der erwartete Aktienrendite <math>\mu</math> ab. Der zweite Punkt ist eine wichtige Erkenntnis aus dem Black-Scholes-Modell. Da das Portfolio risikolos ist und laut Annahmen keine Arbitragemöglichkeiten bestehen, muss das Portfolio über kurze Zeiträume genau die risikolose Rendite <math>r</math> erwirtschaften, also <math>\mathrm{d}P = r\, P\, \mathrm{d}t</math>. Durch Einsetzen in die letzte Gleichung erhält man die Black-Scholes-Differentialgleichung
<math display="block">\frac{\partial V}{\partial t} + r\,S\frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2}\,\sigma^2\,S^2\,\frac{\partial^2V}{\partial S^2}=r\,V</math>
Diese Gleichung ist unter den gegebenen Annahmen für alle Derivate gültig, die sich auf Grundlage des Preisprozesses für <math>S</math> definieren lassen. Die Art des Derivats, für das die Gleichung gelöst werden soll, bestimmt die Randbedingungen für die Differentialgleichung.
Marek Musiela und Marek Rutkowski haben darauf hingewiesen, dass das in der Herleitung der Black-Scholes-Differentialgleichung verwendete Portfolio nicht selbst-finanzierend ist.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Die Argumentation ist zwar intuitiv und liefert die Black-Scholes-Differentialgleichung. Finanzmathematisch ist die Herleitung jedoch problematisch. Musiela und Rutkowski geben auch eine finanzmathematisch überzeugende Herleitung an.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Optionspreise nach Black-Scholes
Die zur Black-Scholes-Formel führende Analyse betrachtet ein beliebiges Derivat, dessen Basiswert eine Aktie ohne Dividendenausschüttung ist. Der Grundgedanke ist, aus dem Derivat und der Aktie ein risikoloses Portfolio zu konstruieren.<ref>Die Herleitung in diesem Abschnitt folgt: John C. Hull: Options, futures and other derivatives. 9. Aufl., Pearson Education, 2015, ISBN 978-0-13-345631-8, S. 331 ff.</ref> „Risikolos“ meint in diesem Zusammenhang, dass der Wert des Portfolios für kurze Zeiträume – gleichbedeutend mit kleinen Änderungen des Aktienkurses – nicht vom Kurs der Aktie abhängt. Europäische Optionen erbringen am Ende der Laufzeit (bei <math>t=T</math>) die Kapitalflüsse <math>\mathit{CF_{\text{call}}}(T) = \max\{S-K;0\}</math> für eine Kaufoption ({{#invoke:Vorlage:lang|full|CODE=en|SCRIPTING=Latn|SERVICE=englisch}}) beziehungsweise <math>\mathit{CF_{\text{put}}}(T) = \max\{K-S;0\}</math> für eine Verkaufsoption ({{#invoke:Vorlage:lang|full|CODE=en|SCRIPTING=Latn|SERVICE=englisch}}).
Der faire Preis der Option kann über verschiedene Argumentationen hergeleitet werden. Er kann als diskontierter Erwartungswert der genannten Auszahlungen in <math>T</math> dargestellt werden, wobei der Erwartungswert bezüglich des risikoneutralen Maßes zu bilden ist. Ein anderer Weg zur Herleitung einer expliziten Formel für die Optionspreise besteht in der Lösung der Black-Scholes-Differentialgleichung, wobei die Auszahlungen bei Fälligkeiten als Randbedingungen berücksichtigt werden.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Preisformeln
Auf beiden Wegen erhält man die Preisformel nach Black-Scholes für eine europäische Kaufoption<math display="block">C(S,t) = S \Phi(d_1) - Ke^{-r(T-t)} \Phi(d_2)</math>
beziehungsweise für eine europäische Verkaufsoption<math display="block">P(S,t) = - S\Phi(-d_1) + Ke^{-r(T-t)} \Phi(-d_2)</math>
wobei <math>d_1 = \frac{\ln(\frac{S}{K}) + (r + \frac{\sigma^2}{2})(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}</math> und <math>d_2 = \frac{\ln(\frac{S}{K}) + (r - \frac{\sigma^2}{2})(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} = d_1 - \sigma\sqrt{T-t}</math> mit <math>\Phi(x) = \int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\Bigl(-\frac{z^2}{2}\Bigr)\,\mathrm dz</math> die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.
Der Wert einer Option ist also durch fünf Parameter bestimmt:
- <math>S</math>: aktueller Aktienkurs
- <math>r</math>: mit der Restlaufzeit der Option kongruenter Zinssatz
- <math>\sigma</math>: Die zukünftige Volatilität des Basiswertes. Diese ist bei Vertragsabschluss die einzige unbekannte Größe und damit letztlich Gegenstand der Preisfindung zwischen den Vertragsparteien.
- <math>T-t</math>: Restlaufzeit der Option mit Gesamtlaufzeit <math>T</math> zum Zeitpunkt <math>t</math>
- <math>K</math>: Basispreis, als Vertragsbestandteil festgelegt
Die Griechen nach Black-Scholes
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Als Griechen ({{#invoke:Vorlage:lang|full|CODE=en|SCRIPTING=Latn|SERVICE=englisch}}) werden die partiellen Ableitungen des Optionspreises nach den jeweiligen Modellparametern bezeichnet. Der Vorteil der expliziten Formel für die Optionspreise – etwa im Gegensatz zu einer numerischen Lösung – liegt darin, dass diese Ableitungen leicht berechnet werden können.
Die Griechen sind für das Risikomanagement wichtig. Sie erleichtern es dabei, den Einfluss einzelner Risikofaktoren zu analysieren. Dies gilt insbesondere auf Ebene eines Portfolios von Finanzinstrumenten, wenn der Einfluss einzelner Risikofaktoren – nämlich der Modellparameter – auf das Gesamtportfolio abgeschätzt werden soll. Ein Beispiel wäre ein Portfolio aus Optionen und Positionen im zugehörigen Basiswert, also z. B. Optionen auf den Euro-Bund-Future und Euro-Bund-Future-Positionen als solche. Über das Delta kann die (lineare) Auswirkung einer Änderung im Future-Preis auf das Gesamtportfolio dargestellt werden.
Deshalb können die Griechen auch zur Risikoabsicherung verwendet werden. Das bekannteste Beispiel ist das Delta-Hedging. Anhand der Rho-Sensitivität beispielsweise kann ermittelt werden, wie ein Optionsportfolio gegen Änderungen des Refinanzierungszinssatzes abgesichert werden muss.
Schwächen
Im Black-Scholes-Modell wird die Volatilität <math>\sigma</math> als konstant angenommen. Alle ex-post-Berechnungen von Standardabweichungen der Renditen zeigen aber, dass die Volatilität über die Zeit nicht konstant ist, sondern eher ein sogenanntes Volatilitätslächeln bildet.
Eine weitere Schwäche besteht darin, dass die Volatilität als wichtigste Variable selbst prognostiziert werden muss. Das geschieht entweder mit Hilfe von Regressionsmodellen über die Extrapolation von Vergangenheitswerten oder über die Bestimmung der impliziten Volatilitäten (siehe dort), die aktuellen Marktpreisen zugrunde liegen könnten. Außerdem enthält das Modell die vereinfachende Annahme, dass Renditen normalverteilt sind. Die Normalverteilung enthält wenig Gewicht an ihren Enden, wodurch dem Auftreten von Extremereignissen zu wenig Rechnung getragen werden kann (siehe Wölbung (Statistik)).
Diese Einschränkungen des Black-Scholes-Modells zeigen sich bei den gehandelten Preisen von Optionen, wenn man die durch die Optionspreise implizierten Volatilitäten betrachtet. Die implizite Volatilität für eine Option auf einen bestimmten Basiswert ist nicht konstant, sondern ändert sich im Zeitablauf. Zudem hängt die implizite Volatilität für einen bestimmten Zeitpunkt von der Geldnähe und von der Restlaufzeit der Option (Zeitstruktur der Volatilität) ab. Beide Beobachtungen stimmen nicht mit der Modellannahme einer einheitlichen, konstanten Volatilität überein. Die Verwendung restlaufzeit- und geldnäheabhängiger impliziter Volatilitäten sind eine Methode, mit den Einschränkungen des Black-Scholes-Modells umzugehen. Würde auf dem Optionsmarkt statt der Black-Scholes-Preisformel ein anderes Modell zum Standard, ist anzunehmen, dass sich nicht die gehandelten Optionspreise ändern würden, sondern die vom Modell implizierten Volatilitäten.<ref>John C. Hull: Options, Futures, and Other Derivatives. 3rd edition. Prentice Hall International, Upper Saddle River NJ 1997, ISBN 0-13-264367-7, S. 503–505, 510f (Prentice-Hall International Editions).</ref>
Erweiterte Modelle, in denen die Volatilität als fallende Funktion vom Aktienkurs angenommen wird, wie z. B. das CEV-Modell, liefern bessere Resultate.
Literatur
Originalarbeiten
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Sekundärliteratur
- {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}
- {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}
- {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}
- Nasser Saber: Speculative Capital. Financial Times u. a., London 1999
- Vol. 1: The invisible hand of global finance. ISBN 0-273-64155-7,
- Vol. 2: The nature of risk in capital markets. ISBN 0-273-64422-X.
Weblinks
- Nobel-Vorlesungen 1997 von Scholes und Merton
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| 9 = {{#if: American Mathematical Society | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|American Mathematical Society}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://www.ams.org/new-in-math/nobel1997econ.html}} }} {{#ifeq: | [] | [ | ( }}{{#if: {{#if: | {{{archiv-bot}}} | }} | des Vorlage:Referrer}} vom {{#time: j. F Y| 19700101000000 + {{#expr: floor {{#expr: {{#invoke:Str|sub|{{#invoke:Expr|base62|{{{webciteID}}}}}|1|10}}/86400}} }} days}} auf WebCite{{#if: | ; }}{{#ifeq: | [] | ] | ) }}
| #default= Der Wert des Parameters {{#if: webciteID | webciteID | ID }} muss entweder ein Zeitstempel der Form YYYYMMDDHHMMSS oder ein Schüsselwert mit 9 Zeichen oder eine 16-stellige Zahl sein!{{#if: || }}
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| Vorlage:Webarchiv/Generisch
| {{#if: American Mathematical Society | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|American Mathematical Society}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://www.ams.org/new-in-math/nobel1997econ.html}} }}
}}}}}}}}{{#if:
| Vorlage:Webarchiv/archiv-bot
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|opt = text= wayback= webciteID= archive-is= archive-today= archiv-url= archiv-datum= ()= archiv-bot= format= original=
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|template = Vorlage:Webarchiv
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|preview = 1
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| {{#if: || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Genau einer der Parameter 'wayback', 'webciteID', 'archive-today', 'archive-is' oder 'archiv-url' muss angegeben werden.|1}}
}}{{#if:
| {{#switch: {{#invoke:Webarchiv|getdomain|{{{archiv-url}}}}}
| web.archive.org =
{{#if: || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Im Parameter 'archiv-url' wurde URL von Internet Archive erkannt, bitte Parameter 'wayback' benutzen.|1}}
| webcitation.org =
{{#if: || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Im Parameter 'archiv-url' wurde URL von WebCite erkannt, bitte Parameter 'webciteID' benutzen.|1}}
| archive.today |archive.is |archive.ph |archive.fo |archive.li |archive.md |archive.vn =
{{#if: || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Im Parameter 'archiv-url' wurde URL von archive.today erkannt, bitte Parameter 'archive-today' benutzen.|1}}
}}{{#if:
| {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}
| {{#if: || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Der Wert des Parameter 'archiv-datum' ist ungültig oder hat ein ungültiges Format.|1}}
| }}
| {{#if: || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Der Pflichtparameter 'archiv-datum' wurde nicht angegeben.|1}}
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| {{#if:
| {{#if: || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Der Parameter 'archiv-datum' ist nur in Verbindung mit 'archiv-url' angebbar.|1}}
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|addlarchives|addlpages= {{#if: || }}{{#if: 1 |}}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: enWP-Wert im Parameter 'format'.|1}}
}}{{#ifeq: {{#invoke:Str|find|http://www.ams.org/new-in-math/nobel1997econ.html%7Carchiv}} |-1
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|| {{#switch: {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://www.ams.org/new-in-math/nobel1997econ.html }}
| abendblatt.de | daserste.ndr.de | inarchive.com | webcitation.org =
| #default = {{#if: || }}{{#if: 1 |}}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Archiv-URL im Parameter 'url' anstatt URL der Originalquelle. Entferne den vor der Original-URL stehenden Mementobestandteil und setze den Archivierungszeitstempel in den Parameter 'wayback', 'webciteID', 'archive.today' oder 'archive-is' ein, sofern nicht bereits befüllt.|1}}
}}
}}
}} zum 97er Wirtschaftsnobelpreis, mit weiteren Links
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Anmerkungen
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Einzelnachweise
<references />