Voigt-Profil

Datei:Mplwp Voigt-HWHM1.svg

Verschiedene Voigt-Profile jeweils mit Halbwertsbreite 2. Spezialfälle sind die Lorentz-Kurve (blau) und die Gauß-Kurve (grün).

Unter dem Voigt-Profil oder auch der Voigtfunktion (nach Woldemar Voigt) versteht man die Faltung einer Gauß-Kurve <math>G(x)</math> mit einer Lorentz-Kurve <math>L(x)</math>.

Mathematische Beschreibung

<math>

V(x;\sigma,\gamma) = (G*L)(x) = \int G(\tau)L(x-\tau)d\tau </math>

<math>

G(x;\sigma) = \frac{e^{-x^2/(2\sigma^2)}}{\sigma \sqrt{2\pi}} </math>

<math>

L(x;\gamma) = \frac{\gamma}{\pi(x^2+\gamma^2)}. </math>

<math>\sigma</math> entspricht der Standardabweichung einer Gauß-Verteilung. In der Spektroskopie wird sie als Dopplerbreite bezeichnet. <math>\gamma</math> ist die halbe Halbwertsbreite der Lorentzverteilung, in der Spektroskopie als Druckverbreitung bekannt. Das Voigt-Profil entsteht aus der Faltung des Gauß-Profils mit dem Lorentz-Profil. Das Voigt-Profil ist wie jeweils das Gauß- und Lorentz-Profil auf 1 normiert (Fläche unter den Profilen).

Numerische Darstellung

Für das Faltungsintegral <math>V(x)</math> existiert keine analytische Lösung, doch kann es als Realteil der Faddeeva-Funktion <math>w(z)</math> (skalierte komplexe Fehlerfunktion, Plasma-Dispersionsfunktion) ausgedrückt werden, für die hinreichend gute Näherungen verfügbar sind:

<math>V(x;\sigma,\gamma) = \frac{\operatorname{Re}\left[w(z)\right]}{\sigma\sqrt{2 \pi}}.</math>

<math>z</math> ist hier definiert als

<math>z = \frac{x + i\gamma}{\sigma\sqrt{2}}.</math>

Die Breite des Voigt-Profils

Die Halbwertsbreite des Voigt-Profils lässt sich aus den Breiten der beteiligten Lorentz- und Gauß-Kurven bestimmen. Bekannt sind die Breiten des Gauß-Profils (fwhm: volle Breite bei halbem Maximum),

<math>f_\mathrm{G} = \sqrt{8\ln(2)}\sigma,</math>

und des Lorentz-Profils,

<math>f_\mathrm{L} = 2\gamma.</math>

Die Breite des Voigt-Profils <math>f_\mathrm{V}</math> ist eine Funktion von <math>f_\mathrm{G}</math> und <math>f_\mathrm{L}</math>.

Die einfachste Näherung ist die symmetrische Interpolationsformel<ref>Danos & Geshwind, Phys Rev91, 1159 (1953).</ref>

<math>f_\mathrm{V}\approx \sqrt{f_\mathrm{G}^2+f_\mathrm{L}^2},</math>

die jedoch <math>f_\mathrm{V}</math> um bis zu 16 % unterschätzt.<ref>Ablesbar aus Fig. 1 in Olivero & Longbothom (1977)</ref>

Eine bessere Näherung ist nach Kielkopf<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>f_\mathrm{V}\approx 0{,}5343 f_\mathrm{L} + \sqrt{0{,}2169f_\mathrm{L}^2 + f_\mathrm{G}^2}</math>

mit einer maximalen Abweichung von 0,023%.

Eigenschaften

Die Voigt-Funktion ist invariant gegenüber Faltung, d. h., die Faltung einer Voigt-Funktion mit einer weiteren Voigt-Funktion ergibt wieder eine Voigt-Funktion. Die Linienbreiten des Gauß- bzw. Lorentz-Anteils ergeben sich dabei zu:

<math>f_\mathrm{G}^{2} = \sum_{i}{(f_\mathrm{G}^{2})_{i}}</math>

und

<math>f_\mathrm{L} = \sum_{i}{(f_\mathrm{L})_{i}}</math>.

Näherung durch Pseudo-Voigt-Profil

Datei:Mplwp Voigt05 pseudo.svg

Beim Vergleich zwischen Voigt-Profil (blau) und Pseudo-Voigt-Profil (magenta) sind kaum Unterschiede erkennbar.

Das Pseudo-Voigt-Profil (oder die Pseudo-Voigt-Funktion) ist eine Näherungsfunktion für das Voigt-Profil, bei der die Faltung durch eine Linearkombination aus Gauß- und Lorentzkurve ersetzt wird. Es wird traditionell zur Ausgleichsrechnung von Röntgendiffraktometrie-Profilen verwendet. Seit eine effiziente und sehr genaue Implementierung der eigentlichen Voigt-Funktion zur Verfügung steht, gibt es keinen guten Grund mehr für die Verwendung dieser Näherung.

Mathematische Definition:

<math>

V_p(x)=\eta \cdot L(x) + (1-\eta) \cdot G(x) \;</math> mit <math>0<\eta <1</math>

<math>

G(x) = \exp{\left[-\ln(2) \cdot \left(\frac{x-x_0}{w}\right)^{2}\right]} \;</math>

<math>

L(x) = \frac{1}{1 + (\frac{x-x_0}{w})^{2}} </math>

Dabei ist <math>2w</math> die Halbwertsbreite der Pseudo-Voigt-Funktion.

Beispiele

Bei einem großen Verhältnis zwischen Druck- und Dopplerverbreiterung <math>\gamma/\sigma \gg 1</math> ist das Voigt-Profil mit dem Lorentz-Profil fast identisch. Nur unmittelbar an der Linienmitte tritt eine geringe Abrundung durch die Faltung mit der Gaußkurve auf. Liegt <math>\gamma/\sigma</math> bei 1, wird der zentrale Teil der Linie durch das Gauß-Profil dominiert, man spricht dann vom Dopplerkern. Außen setzt sich jedoch das viel langsamer abfallende Lorentz-Profil durch, man bezeichnet diesen Bereich als Dämpfungsflügel. Im Falle <math>\gamma/\sigma \ll 1</math> wird aus dem Voigt-Profil nahezu ein Gauß-Profil. Die logarithmische Darstellung (die Gaußkurve erscheint dann als Parabel) lässt jedoch erkennen, dass sehr weit von der Linienmitte entfernt immer noch das Lorentz-Profil hervortritt, allerdings dann auf sehr niedrigem Niveau.

Der Fall <math>\gamma/\sigma \gg 1</math> entspricht durchwegs irdischen Bedingungen, denen etwa die Spektrallinien der in der Erdatmosphäre vorhandenen Moleküle unterworfen sind. Der Fall <math>\gamma/\sigma = 1</math> oder gar <math>\gamma/\sigma \ll 1</math> setzt niedrige Drücke und hohe Temperaturen voraus, wie sie zumeist für Sternatmosphären charakteristisch sind.

Literatur

Woldemar Voigt: Das Gesetz der Intensitätsverteilung innerhalb der Linien eines Gasspektrums. Sitzungsbericht der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, Band 25, 1912, S. 603–620, (online).
Z. Shippony, W. G. Read, A Highly Accurate Voigt Function Algorithm. In: Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer. Bd. 50, Nr. 6, 1993, {{#invoke:URIutil|{{#ifeq:1|1|linkISSN|targetISSN}}|0022-4073|0}}{{#ifeq:1|0|[!]

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Einzelnachweise

Weblinks

Numerische C-Bibliothek für komplexe Fehlerfunktionen von Steven G. Johnson und Joachim Wuttke, enthält eine Funktion voigt (x, sigma, gamma) mit ungefähr 13-stelliger Genauigkeit.

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Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:
Cauchy | Extremwert | exponential Power | Fishers z | Fisher-Tippett (Gumbel) | generalized hyperbolic | Hyperbolic-secant | Landau | Laplace | alpha-stabil | logistisch | normal (Gauß) | normal-invers Gauß’sch | Skew-normal | Studentsche t | Type-1-Gumbel | Variance-Gamma | Voigt }} Vorlage:Klappleiste/Ende