Fréchet-Verteilung

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Die Fréchet-Verteilung ist eine absolutstetige Verteilung über den positiven reellen Zahlen, die einen positiven reellen Formparameter <math>\alpha</math> besitzt. Benannt ist sie nach dem französischen Mathematiker Maurice René Fréchet.

Verteilungs- und Dichtefunktion

Die Fréchet-Verteilung besitzt für einen reellen Parameter <math>\alpha > 0</math> die Verteilungsfunktion

<math>{\Phi}_{\alpha}(x) = \begin{cases}0 & \text{für } x \leq 0 \\

\exp(-x^{-\alpha}) = \exp(-1/ x{^\alpha} )& \text{für } x > 0 \end{cases}\;. </math> Die dazugehörige Dichtefunktion ist

<math>{\phi}_{\alpha}(x) = \begin{cases}0 & \text{für } x \leq 0 \\

\alpha \; x^{-(\alpha+1)} \; \exp(-x^{-\alpha})&\text{für }x > 0\end{cases}\;.</math>

Momente und Median

Im Folgenden sei <math>X</math> eine <math>\alpha</math>-Fréchet-verteilten Zufallsvariable und <math>\Gamma\left(x\right)</math> die Gamma-Funktion.

Median

Der Median ist

<math>\operatorname{Med}(X) = \left(\frac{1}{\log_e(2)}\right)^{1/\alpha}</math>

Existenz von Momenten

Die k-ten Momente der Fréchet-Verteilung existieren genau dann, wenn <math>\alpha > k</math>.

Erwartungswert

Der Erwartungswert ist

<math>\operatorname{E}(X) = \Gamma\left(1-\frac{1}{\alpha}\right)</math>.

Varianz

Die Varianz ist

<math>\operatorname{Var}(X) = \Gamma\left(1-\frac{2}{\alpha}\right)- \left(\Gamma\left(1-\frac{1}{\alpha}\right)\right)^2</math>

Schiefe

Die Schiefe ist

<math>\gamma_m(X) = \frac{\Gamma\left(1-\frac {3}{\alpha}\right)-3\Gamma\left(1-\frac {2}{\alpha}\right)\Gamma\left(1-\frac {1}{\alpha}\right)+2\Gamma^3\left(1-\frac {1}{\alpha} \right)}{\left( \Gamma\left(1-\frac{2}{\alpha}\right)-\Gamma^2\left(1-\frac{1}{\alpha}\right) \right)^{\frac{3}{2}} } </math>

Kurtosis

Die Kurtosis ist

<math>\operatorname{Kurt}(X) = -6+ \frac{\Gamma \left(1-\frac{4}{\alpha}\right) -4\Gamma\left(1-\frac{3}{\alpha}\right) \Gamma\left(1-\frac{1}{\alpha}\right)+3 \Gamma^2\left(1-\frac{2}{\alpha} \right)} {\left[\Gamma \left(1-\frac{2}{\alpha}\right) - \Gamma^2 \left(1-\frac{1}{\alpha}\right) \right]^2}

</math>

Zusammenhang mit anderen Verteilungen

Ist <math>X</math> Fréchet-verteilt mit Parameter <math>\alpha</math>, so ist <math>\ln X</math> Gumbel-verteilt mit Parametern <math>\mu=0</math> und <math>\beta=\frac{1}{\alpha}</math>.

Nach dem Theorem von Fisher-Tippett kann eine standardisierte, nicht-degenerierte Extremwertverteilung nur gegen eine der drei generalisierten Extremwertverteilungen (GEV) konvergieren, von denen eine die Fréchet-Verteilung ist.

Anwendung

Sie ist daher eine wichtige Verteilung zur Bestimmung von Risiken in der Finanzstatistik, wie zum Beispiel des Value at Risk und des Expected Shortfall.

Literatur

J. Franke, W. Härdle, C. M. Hafner: Statistics of Financial Markets: An Introduction. 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2008, ISBN 978-3-540-76269-0.
J. Franke, C. M. Hafner, W. Härdle: Einführung in die Statistik der Finanzmärkte. 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2004, ISBN 3-540-40558-5.

Einzelnachweise

mathematik.uni-kl.de – Jean-Pierre-Stockis, Fachbereich Mathematik der TU Kaiserslautern, Financial Statistics, Part II, abgerufen am 4. Januar 2011