Träger (Mathematik)

{{#if: behandelt den Träger von Funktionen, Distributionen, Schnitten und Garben. Für den Träger eines Maßes siehe Träger (Maßtheorie).

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}} In der Mathematik bezeichnet der Träger (engl. support) meist die abgeschlossene Hülle der Nichtnullstellenmenge einer Funktion oder anderer Objekte.

Analysis

Träger einer Funktion

Der Träger von <math>f</math> wird meist mit <math>\operatorname{Tr}(f)</math><ref>Bei der Schreibweise <math>Tr(f)</math> gibt es möglicherweise Verwechslungsgefahr mit der Spur einer quadratischen Matrix, die auf Englisch trace heißt.</ref> oder <math>\operatorname{supp}(f)</math> bezeichnet.

Sei <math>A</math> ein topologischer Raum und <math>f\colon A \to \mathbb{R}</math> eine Funktion. Der Träger von <math>f</math> besteht dann aus der abgeschlossenen Hülle der Nichtnullstellenmenge von <math>f</math>, formal:

<math>

\operatorname{Tr}(f) = \operatorname{supp}(f) := \overline{\{x\in A \mid f(x)\ne 0\}} </math>

Träger einer Distribution

Sei <math>\Omega</math> eine offene Teilmenge des <math>\mathbb{R}^d</math> und <math>T \in \mathcal{D}'(\Omega)</math> eine Distribution. Man sagt, dass ein Punkt <math>x_0 \in \Omega</math> zum Träger von <math>T</math> gehört, und schreibt <math>x_0 \in \mathrm{supp}(T)</math>, wenn für jede offene Umgebung <math>U \subset \Omega</math> von <math>x_0</math> eine Funktion <math>\phi \in \mathcal{D}(U)</math> existiert mit <math>\; T(\phi) \neq 0</math>.

Falls <math>T</math> eine reguläre Distribution <math>T=T_f</math> mit stetigem f ist, so ist diese Definition äquivalent zur Definition des Trägers einer Funktion (der Funktion f).

Beispiele

Ist <math>f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> mit <math>f(x) = x</math>, dann ist <math>\operatorname{supp}(f) = \mathbb{R}</math>, denn die Nichtnullstellenmenge von <math>f</math> ist <math>\mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}</math>, deren Abschluss ganz <math>\mathbb{R}</math> ist. Dasselbe gilt für jede Polynom-Funktion außer der Nullfunktion.

Ist <math>f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> mit <math>f(x) = 1</math>, falls <math>\left| x \right| < 1</math>, sonst <math>0</math>, dann ist <math>\operatorname{supp}(f)</math> die Menge <math>\left\{ x : \left| x \right| \leq 1 \right\}</math>.

Ist <math>\chi_\mathbb{Q}\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> die charakteristische Funktion von <math>\mathbb{Q}: \chi_\mathbb{Q}(x) = 1</math>, falls <math>x \in \mathbb{Q}</math>, und <math>\chi_\mathbb{Q}(x) = 0</math>, falls <math> x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}</math>, dann ist der Träger <math>\mathbb{R}</math>, also der Abschluss von <math>\mathbb{Q}</math>.

Sei <math>U</math> eine offene Teilmenge des <math>\mathbb{R}^d</math>. Die Menge aller stetigen Funktionen von <math>U</math> nach <math>\mathbb{R}</math> mit kompaktem Träger bildet einen Vektorraum, der mit <math>C_c (U)</math> bezeichnet wird.

Die Menge <math>C_c^\infty (U)</math> aller glatten (unendlich oft stetig differenzierbaren) Funktionen mit kompaktem Träger in <math>U</math> spielt als Menge der „Testfunktionen“ eine große Rolle in der Theorie der Distributionen.

Die Delta-Distribution <math>\delta (f) := f(0)</math> hat den Träger <math>\left\{ 0 \right\}</math>, denn mit <math>\omega := \mathbb{R}^d \setminus \left\{ 0 \right\}</math> gilt: Ist <math>f</math> aus <math>C_c^\infty ( \omega )</math>, dann ist <math>\delta (f) = 0</math>.

Garbentheorie

Es sei <math>F</math> eine Garbe abelscher Gruppen über einem topologischen Raum <math>X</math>.

Träger eines Schnittes

Für eine offene Teilmenge <math>U\subseteq X</math> und einen Schnitt <math>s\in\Gamma(U,F)</math> heißt der Abschluss der Menge derjenigen Punkte <math>x\in X</math>, für die das Bild von <math>s</math> im Halm <math>F_x</math> ungleich null ist, der Träger von <math>s</math>, meist mit <math>\mathrm{supp}\,s</math> oder <math>|s|</math> bezeichnet.

Insbesondere bezeichnet man als Träger eines auf einer Mannigfaltigkeit <Math>M</Math> definierten Vektorfeldes <Math>F\colon M\to TM</Math> den Abschluss der Menge der Punkte, in denen das Vektorfeld nicht Null ist.

Der Träger eines Schnittes ist nach Definition stets abgeschlossen.

Träger einer Garbe

Der Träger von <math>F</math> selbst ist die Menge der Punkte <math>x\in X</math>, für die der Halm <math>F_x</math> ungleich null ist.

Der Träger einer Garbe ist nicht notwendigerweise abgeschlossen, der Träger einer kohärenten Modulgarbe hingegen schon.

Literatur

Roger Godement: Théorie des faisceaux. Hermann, Paris 1958.

Einzelnachweise