Kohärente Garbe

In den mathematischen Teilgebieten der algebraischen Geometrie und komplexen Analysis sind kohärente Garben das Analogon endlich erzeugter Moduln über noetherschen Ringen.

Definition

Es sei <math>X</math> ein geringter Raum, d. h. ein topologischer Raum zusammen mit einer Garbe <math>\mathcal O_X</math> von Ringen. Dann heißt eine <math>\mathcal O_X</math>-Modulgarbe <math>\mathcal M</math> kohärent, wenn

<math>\mathcal M</math> endlich erzeugt ist, d. h. jeder Punkt <math>x</math> von <math>X</math> hat eine offene Umgebung <math>U</math>, auf der eine Surjektion <math>\mathcal O_U^n\to\mathcal M_{|U}</math> existiert, und
für jede offene Teilmenge <math>U</math> von <math>X</math> und jeden Morphismus <math>\mathcal O_U^n\to\mathcal M_{|U}</math> ist der Kern endlich erzeugt

Eigenschaften

Die kohärenten Garben bilden eine abelsche Kategorie, die stabil unter Erweiterungen ist. Das bedeutet insbesondere: Ist

<math>0\to\mathcal M'\to\mathcal M\to\mathcal M\to0</math>

eine kurze exakte Folge von Modulgarben, und sind zwei der drei Garben kohärent, so ist es auch die dritte.

Der Träger einer kohärenten Garbe ist abgeschlossen. (Dies gilt allgemeiner für beliebige endlich erzeugte Modulgarben.)

Kohärente Garben in der algebraischen Geometrie

Ist <math>X</math> ein lokal noethersches Schema, so sind die kohärenten Garben gerade diejenigen quasikohärenten Garben, die lokal den endlich erzeugten Moduln entsprechen.
Kohärenzsatz: Direkte Bilder und höhere direkte Bilder kohärenter Garben unter eigentlichen Morphismen sind kohärent, sofern das Zielschema lokal noethersch ist. Ist insbesondere <math>A</math> ein noetherscher Ring und <math>X</math> ein eigentliches <math>A</math>-Schema, so sind die Kohomologiegruppen kohärenter Garben als <math>A</math>-Moduln endlich erzeugt.

Kohärente Garben in der komplexen Analysis

Kohärenzsatz von Oka: Im Unterschied zur algebraischen Geometrie ist die Tatsache, dass <math>\mathcal O_X</math> selbst kohärent ist, nicht trivial.
Direkte Bilder und höhere direkte Bilder kohärenter Garben unter eigentlichen holomorphen Abbildungen sind kohärent.

Literatur

Hans Grauert, Reinhold Remmert, Coherent Analytic Sheaves. Springer-Verlag, Berlin 1984. ISBN 3-540-13178-7
Allgemeines: Anhang, §3; Kohärenz der Strukturgarbe: Kap. 2, §5; direkte Bilder: Kap. 10, §4
A. Grothendieck, J. Dieudonné: Éléments de géométrie algébrique. Publications mathématiques de l'IHÉS 4, 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32 (1960–1967)
Allgemeines: 0_I, 5.3; direkte Bilder: III, 3.2