Eulersche Betafunktion

Datei:BetaFuncDemo.svg

Betafunktion. Die positiven Realteile von x und y liegen in der Ebene

Die Eulersche Betafunktion, auch Eulersches Integral 1. Art (nach Leonhard Euler) ist eine spezielle Funktion zweier komplexer Zahlen, die mit <math>\Beta</math> bezeichnet wird. Ihre Integraldarstellung lautet:<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}{{#if:Beta-function|Vorlage:EoM/id}}</ref>

<math>\Beta(x,y) = \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\mathrm{d}t,</math>

wobei <math>x</math> und <math>y</math> einen positiven Realteil haben müssen. Die Betafunktion tritt unter anderem bei der Betaverteilung auf und ist eng mit der Eulerschen Gammafunktion <math>\Gamma</math> verwandt. Es gilt folgende Identität:<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}{{#if: | {{#if: Vorlage:Cite book/ParamBool | Vorlage:Toter Link/archivebot | Vorlage:Webarchiv/archiv-bot }}

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<math>\Beta(x,y) = \frac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.</math>

Transformationen

Mithilfe von Koordinatentransformationen lässt sich die Integraldarstellung verändern und die Identität nachweisen. So gilt mit den Substitutionen <math>u=\tfrac{t}{1-t}</math> und <math>v=\arcsin\sqrt t</math>:

<math>\Beta(x,y) = \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\mathrm{d}t

= \int_0^\infty \frac{u^{x-1}\mathrm{d}u}{{(1+u)}^{x+y}} = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin v)^{2x-1}(\cos v)^{2y-1}\mathrm{d}v.</math>

Zum Nachweis der Identität kann das Produkt <math>\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)</math> umgeformt werden:

<math>\Gamma(x) \cdot \Gamma(y) = \int_{0}^\infty e^{-u} u^{x-1}\mathrm{d}u \cdot \int_{0}^\infty e^{-v} v^{y-1}\mathrm{d}v

=\int_{0}^\infty\int_{0}^\infty e^{-u-v} u^{x-1}v^{y-1}\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v.</math>

Mit <math>u=zt</math> und <math>v=z(1-t)</math> folgt aus dem Transformationssatz:

<math>\int_{0}^\infty\int_{0}^\infty e^{-u-v} u^{x-1}v^{y-1}\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v

= \int_{0}^\infty\int_{0}^1 e^{-z} (zt)^{x-1}(z(1-t))^{y-1}z\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}z.</math>

Somit gilt:

<math>\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)

= \int_{0}^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\mathrm{d}t \cdot \int_{0}^\infty e^{-z}z^{x+y-1} \mathrm{d}z = \Beta(x,y) \cdot \Gamma(x+y).</math>

Darstellungen

Die Betafunktion hat viele weitere Darstellungen. Bei den Integraldarstellungen muss der Realteil von <math>x</math> und <math>y</math> positiv sein:

<math>\Beta(x,y) = \int_0^\infty\frac{t^{x-1}\mathrm{d}t}{(1+t)^{x+y}},</math>

<math>\Beta(x,y) = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}}(\sin t)^{2x-1}(\cos t)^{2y-1}\mathrm{d}t,</math>

<math>\Beta(x,y) = \sum_{n=0}^\infty \fracVorlage:N-y \choose n {x+n},</math>

<math>\Beta(x,y) = \frac{x+y}{x y} \prod_{n=1}^\infty \left(1+\frac{x y}{n (x+y+n)}\right)^{-1},</math>

<math>\Beta(x,y) \cdot \Beta(x+y,1-y) = \frac{\pi}{x \sin(\pi y)},</math>

<math>\Beta(x,y) = \frac{1}{y}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{y^{n+1}}{n!(x+n)}.</math>

Die Betafunktion kann zur Definition der Binomialkoeffizienten verwendet werden:

<math>{n \choose k} = \frac{1}{(n+1) \Beta(n-k+1, k+1)}.</math>

Mithilfe der Gammafunktion ergibt sich für positive ganzzahlige <math>x</math> und <math>y</math>:

<math>\Beta(x,y)=\frac{(x-1)!(y-1)!}{(x+y-1)!}.</math>

Eigenschaften

• Bei festem <math>x</math> (bzw. <math>y</math>) ist <math>\Beta</math> eine meromorphe Funktion von <math>y</math> (bzw. <math>x</math>), und es gilt die Symmetrierelation <math> \Beta(x,y) = \Beta(y,x)</math>.

• Die analytische Fortsetzung der Betafunktion hat Polstellen genau bei <math>x=k</math> und <math>y=k</math> für ganze Zahlen <math>k \leq 0</math>.

• Theodor Schneider zeigte 1940, dass die Zahl <math>\Beta(x,y)</math> für alle positiven rationalen, nicht ganzzahligen <math>x</math> und <math>y</math> transzendent ist.<ref>Theodor Schneider: Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale (22. Januar 1940), Journal für die reine und angewandte Mathematik 183, 1941, S. 110–128 (beim GDZ: [1])</ref>

• Die Ableitung lässt sich mithilfe der Digamma-Funktion <math>\psi</math> wie folgt darstellen:

<math>\frac{\partial}{\partial x} \Beta(x,y) = \Beta(x,y) \cdot \left(\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}-\frac{\Gamma'(x+y)}{\Gamma(x+y)}\right) = \Beta(x,y) \cdot (\psi(x)-\psi(x+y)).</math>

Funktionswerte

Aus der Eulerschen Formel des Ergänzungssatzes ergibt sich für <math>0<x<1</math> folgende Formel:

<math>\Beta(x,1-x) = \frac{\pi}{\sin(\pi x)}.</math>

Viele Beta-Funktionswerte für rationale Zahlenpaare sind mit vollständigen elliptischen Integralen erster Art darstellbar:

<math>\Beta(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}) = 2\sqrt[3]{2}\sqrt[4]{3} \cdot K(\tfrac{1}{4}(\sqrt{6}-\sqrt{2}))</math>

<math>\Beta(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2}) = 2\sqrt{2} \cdot K(\tfrac{1}{2}\sqrt{2})</math>

<math>\Beta(\tfrac{1}{7},\tfrac{2}{7}) = 4\sqrt[4]{7}\cos(\tfrac{\pi}{14}) \cdot K(\tfrac{1}{8}(3\sqrt{2}-\sqrt{14}))</math>

<math>\Beta(\tfrac{3}{8},\tfrac{3}{8}) = 4\sqrt[4]{8}(\sqrt{2}-1) \cdot K(\sqrt{2}-1)</math>

<math>\Beta(\tfrac{2}{15},\tfrac{8}{15}) = \sqrt[4]{3^3}\sqrt[12]{5^5}(\sqrt{5}-1) \cdot K(\tfrac{1}{16}(\sqrt{10}-\sqrt{6})(3-\sqrt{5})(2-\sqrt{3}))</math>

Die vollständigen elliptischen Integrale von Lambda-Stern-Werten positiver rationaler Zahlen werden im deutschen Sprachraum singuläre elliptische Integralwerte und im englischen Sprachraum elliptic integral singular values genannt.

Weblinks

• {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Beta Function. In: MathWorld (englisch). {{#if: BetaFunction | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | BetaFunction | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
• {{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:D. Riddhi|D. Riddhi: }}{{#if:|{{#if:Beta function and its applications|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Beta function and its applications}}]{{#if:PDF| (PDF)}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://sces.phys.utk.edu/~moreo/mm08/Riddi.pdf%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Beta function and its applications}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://sces.phys.utk.edu/~moreo/mm08/Riddi.pdf}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Beta function and its applications}}}}]}}{{#if:PDF| (PDF{{#if:University of Tennessee2008{{#if: 2025-04-06 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}

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Einzelnachweise

<references />