Inverse Betaverteilung

Die inverse Betaverteilung ist eine univariate Verteilung für stetige Zufallsvariablen, mit zwei Parametern <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>. Es handelt sich um einen Sonderfall der Gamma-Gamma-Verteilung und somit um eine Mischverteilung.

Datei:Beta prime pdf.png

Die Dichtefunktion ist:

<math>f(x) = \frac{x^{\alpha-1} (1+x)^{-\alpha -\beta}}{\Beta(\alpha,\beta)}</math>.

Dabei ist <math>\Beta(\alpha,\beta)</math> die Betafunktion.

Ein Zufallsvariable <math>X</math>, die einer inversen Betaverteilung folgt hat den Erwartungswert

<math>\operatorname{E}(X) = \frac{\alpha}{\beta-1} \text{, falls } \beta>1</math>

den Modus

<math>\operatorname{Mod}(X) = \frac{\alpha-1}{\beta+1} \text{, falls } \alpha\ge 1\text{, sonst }\operatorname{Mod}(X) = 0</math>

und die Varianz

<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{\alpha(\alpha+\beta-1)}{(\beta-2)(\beta-1)^2} \text{, falls } \beta>2</math>.

Beziehung zur Gammaverteilung

Ist der zweite Parameter <math>\epsilon</math> der Gammaverteilung <math>\mathcal{G}(a,\epsilon)</math> eine Zufallsvariable, die wie eine Gammaverteilung <math>\mathcal{G}(b,1)</math> verteilt ist, dann folgt die hervorgehende Zufallsvariable einer inversen Betaverteilung <math>\mathcal{InvB}(a, b)</math>.

Beziehung zur Gamma-Gamma-Verteilung

Eine Gamma-Gamma-Verteilung <math>\operatorname{Gamma-Gamma}(a, b=1, d)</math> entspricht einer inversen Betaverteilung <math>\mathcal{InvB}(\alpha=d, \beta=a)</math>.

Weblinks

{{#if: | | Eric W. Weisstein }}: Beta Prime Distribution. In: MathWorld (englisch). {{#if: BetaPrimeDistribution | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | BetaPrimeDistribution | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}

{{#if:Navigationsleiste DUWahrscheinlichkeitsverteilungen‎ |{{safesubst:#ifeq:0|10| {{#switch: Inverse Betaverteilung |Navigationsleiste|NaviBlock|0=|#default= Vorlage:Templatetransclusioncheck Vorlage:Dokumentation/ruler }}}}Vorlage:Klappleiste/Anfang {{#if:

|

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | discrete-Phase-Type | erweitert negativ binomial | Gauss-Kuzmin | gemischt Poisson | geometrisch | logarithmisch | negativ binomial | parabolisch-fraktal | Poisson | Skellam | verallgemeinert Poisson | Yule-Simon | Zeta }} Vorlage:Klappleiste/Ende}}{{#if:Navigationsleiste KUWahrscheinlichkeitsverteilungen‎ |{{safesubst:#ifeq:0|10| {{#switch: Inverse Betaverteilung |Navigationsleiste|NaviBlock|0=|#default= Vorlage:Templatetransclusioncheck Vorlage:Dokumentation/ruler }}}}Vorlage:Klappleiste/Anfang {{#if:

|

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:
Cauchy | Extremwert | exponential Power | Fishers z | Fisher-Tippett (Gumbel) | generalized hyperbolic | Hyperbolic-secant | Landau | Laplace | alpha-stabil | logistisch | normal (Gauß) | normal-invers Gauß’sch | Skew-normal | Studentsche t | Type-1-Gumbel | Variance-Gamma | Voigt }} Vorlage:Klappleiste/Ende}}{{#if:Navigationsleiste MUWahrscheinlichkeitsverteilungen‎ |{{safesubst:#ifeq:0|10| {{#switch: Inverse Betaverteilung |Navigationsleiste|NaviBlock|0=|#default= Vorlage:Templatetransclusioncheck Vorlage:Dokumentation/ruler }}}}Vorlage:Klappleiste/Anfang {{#if:

|

Multivariate Matrixverteilungen:
Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit | Invers Wishart | Matrix Beta | Matrix Gamma | Matrix invers Beta | Matrix invers Gamma | Matrix Normal | Matrix Student-t | Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung | Normal-invers-Wishart | Normal-Wishart | Wishart }}

Vorlage:Klappleiste/Ende}}{{#if:|{{{{{4}}}}}}}{{#if:|{{{{{5}}}}}}}{{#if:|{{{{{6}}}}}}}{{#if:|{{{{{7}}}}}}}{{#if:|{{{{{8}}}}}}}{{#if:|{{{{{9}}}}}}}{{#if:|{{{{{10}}}}}}}{{#if:|{{{{{11}}}}}}}{{#if:|{{{{{12}}}}}}}{{#if:|{{{{{13}}}}}}}{{#if:|{{{{{14}}}}}}}{{#if:|{{{{{15}}}}}}}{{#if:|{{{{{16}}}}}}}{{#if:|{{{{{17}}}}}}}{{#if:|{{{{{18}}}}}}}{{#if:|{{{{{19}}}}}}}{{#if:|{{{{{20}}}}}}}{{#if:|

Zu viele Navigationsleisten (>20)

}}