Gammaverteilung

Die Gammaverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen.<ref>Merkzettel fürs MatheStudium | MassMatics. Abgerufen am 2. Januar 2026. </ref><ref>Wichtige statistische Verteilungen. Uni Ulm, abgerufen am 2. Januar 2026. </ref> Sie ist einerseits eine direkte Verallgemeinerung der Exponentialverteilung und andererseits eine Verallgemeinerung der Erlang-Verteilung für nichtganzzahlige Parameter. Wie diese wird sie beispielsweise verwendet

in der Warteschlangentheorie, um Bedienzeiten oder Reparaturzeiten zu beschreiben;
in der Versicherungsmathematik, um kleinere bis mittlere Schäden zu modellieren.

Definition

Die Gammaverteilung <math>\mathcal{G}(p,\, b)</math> ist durch die Wahrscheinlichkeitsdichte <math>f(x)=\begin{cases} \frac{\displaystyle b^p}{\displaystyle\Gamma(p)}x^{p-1}e^{-bx} & x > 0 \\ 0 & x \leq 0 \end{cases}</math> definiert. Sie besitzt die reellen Parameter <math>b</math> und <math>p</math>. Der Parameter <math>b</math> ist ein inverser Skalenparameter und der Parameter <math>p</math> ist ein Formparameter. Um ihre Normierbarkeit zu garantieren, wird <math>b>0</math> und <math>p>0</math> gefordert. Der Vorfaktor <math>b^p/\Gamma(p)</math> dient der korrekten Normierung; der Ausdruck <math>\Gamma(p)</math> steht für den Funktionswert der Gammafunktion, nach der die Verteilung auch benannt ist.	Dichte der Gammaverteilung mit verschiedenen Werten für b und p
Die Gammaverteilung genügt damit der Verteilungsfunktion <math>F(x)=\begin{cases} P(p,b x) & x \geq 0 \\ 0 & x < 0, \end{cases}</math> wobei <math>P(p,\,b x)</math> die regularisierte Gammafunktion der oberen Grenze ist.	kumulierte Verteilungsfunktion der Gammaverteilung mit verschiedenen Werten für p und b

Alternative Parametrisierung

Alternativ zur obigen, im deutschsprachigen Raum üblichen Parametrisierung mit <math>p</math> und <math>b</math> findet man auch häufig

<math>(\alpha=p, \beta=b)</math> oder <math>\left(k=p, \theta=\frac{1}{b}\right).</math>

<math>\beta=b</math> ist der Kehrwert eines Skalenparameters und <math>\theta=1/b</math> ist der Skalenparameter selbst. Dichte und Momente ändern sich dementsprechend bei diesen Parametrisierungen (der Erwartungswert ist hier beispielsweise <math>\frac{\alpha}{\beta}</math> beziehungsweise <math>k\theta</math>). Da diese Parametrisierungen im englischsprachigen Raum vorherrschen, werden sie besonders häufig in der Fachliteratur verwendet. Um Missverständnissen vorzubeugen, wird empfohlen, die Momente explizit anzugeben, also beispielsweise von einer Gammaverteilung mit Erwartungswert <math>\frac{p}{b}</math> und Varianz <math>\frac{p}{b^2}</math> zu sprechen. Hieraus sind dann Parametrisierung und die entsprechenden Parameterwerte eindeutig rekonstruierbar.

Eigenschaften

Die Dichte <math>f</math> besitzt für <math>p>1</math> an der Stelle <math>x_M=\tfrac{p-1}{b}</math> ihr Maximum und für <math>p>2</math> an den Stellen

Wendepunkte.

Erwartungswert

Der Erwartungswert der Gammaverteilung ist

<math>\operatorname{E}(X)={p \over b}.</math>

Varianz

Die Varianz der Gammaverteilung ist

<math>\operatorname{Var}(X)={p \over b^2}.</math>

Schiefe

Die Schiefe der Verteilung ist gegeben durch

<math>\operatorname{v}(X) = \frac{2}{\sqrt{p}}.</math>

Reproduktivität

Die Gammaverteilung ist reproduktiv: Die Summe aus den stochastisch unabhängigen gammaverteilten Zufallsvariablen <math>X</math> und <math>Y</math> mit den Parametern <math>b</math> und <math>p_x</math> bzw. <math>p_y</math> ist wiederum gammaverteilt mit den Parametern <math>b</math> und <math>p_x + p_y</math>.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

<math>\phi_{X}(s) = \left(\frac{b}{b-is}\right)^p</math>;

hiebei ist für die komplexe Potenz der Hauptwert zu wählen, d. h. <math>\operatorname{Arg}(b - i s) \in (-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2})</math>.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der Gammaverteilung ist

<math>m_{X}(s) = \left(\frac{b}{b-s}\right)^p.</math>

Entropie

Die Entropie der Gammaverteilung beträgt

<math>H(X) = \ln\left(\Gamma(p)\right) - \ln\left(b\right) + (1-p)\psi(p) + p</math>

wobei <math>\psi (p)</math> die Digamma-Funktion bezeichnet.

Summe gammaverteilter Zufallsgrößen

Sind <math>X_1\sim \mathcal{G}(p_1,b)</math> und <math>X_2\sim \mathcal{G}(p_2,b)</math> unabhängige gammaverteilte Zufallsgrößen, dann ist auch die Summe <math>X_1+X_2</math> gammaverteilt, und zwar

<math>X_1+X_2\sim \mathcal{G}(p_1+p_2,b).</math>

Allgemein gilt: Sind <math>X_i\sim \mathcal{G}(p_i,b)</math>, <math>i \in \{1,\ldots,n\}</math>, stochastisch unabhängig, dann ist

<math>X_1+ \dotsb +X_n\sim \mathcal{G}(p_1+ \dotsb +p_n,b).</math>

Somit bildet die Gammaverteilung eine Faltungshalbgruppe in ihrem Formparameter.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Betaverteilung

Wenn <math>X \sim \mathcal{G}(p_1,b)</math> und <math>Y \sim \mathcal{G}(p_2,b)</math> unabhängige gammaverteilte Zufallsvariablen sind, dann ist die Größe <math>\tfrac{X}{X+Y}</math> betaverteilt mit Parametern <math>p_1</math> und <math>p_2</math>, kurz

<math>\operatorname{Beta}(p_1,p_2) \sim \frac{\mathcal{G}(p_1,b)}{\mathcal{G}(p_1,b)+\mathcal{G}(p_2,b)}.</math>

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung

Die Chi-Quadrat-Verteilung mit <math>k</math> Freiheitsgraden ist eine Gammaverteilung mit den Parametern <math>p=k/2</math> und <math>b=1/2</math>.

Beziehung zur Erlang-Verteilung

Die Erlang-Verteilung mit dem Parameter <math>\lambda</math> und <math>n</math> Freiheitsgraden entspricht einer Gammaverteilung mit den Parametern <math>p=n</math> und <math>b=\lambda</math> und liefert die Wahrscheinlichkeit der Zeit bis zum Eintreffen des <math>p</math>-ten Poisson-verteilten Ereignisses.

Beziehung zur Exponentialverteilung

Wählt man in der Gammaverteilung den Parameter <math>p=1</math>, so erhält man die Exponentialverteilung mit Parameter <math>\lambda=b</math>.
Die Faltung von <math>n</math> Exponentialverteilungen mit demselben <math>\lambda</math> ergibt eine Gamma-Verteilung mit <math>p=n, b=\lambda</math>.

Beziehung zur logarithmischen Gammaverteilung

Ist <math>X</math> Gamma-verteilt, dann ist <math>Y=e^X</math> Log-Gamma-verteilt.

Siehe auch

Lévy-Prozess, mit Bild von einem Gamma-Prozess

Literatur

Bernard W. Lindgren: Statistical Theory. Chapman & Hall, New York u. a. 1993, ISBN 0-412-04181-2.
Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 11. Auflage. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1989, ISBN 3-326-00079-0.
P. Heinz Müller (Hrsg.): Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematische Statistik. 5., bearb. und wesentlich erw. Auflage. Akad.-Verlag, Leipzig 1991, ISBN 3-05-500608-9

Weblinks

Marina Weingartz: Gammaverteilung, auf GeoGebra
Beweis: Mittelwert der Gammaverteilung

Einzelnachweise