Verschobene Pareto-Verteilung

Die verschobene Pareto-Verteilung, auch Lomax-Verteilung genannt, ist eine in der mathematischen Statistik betrachtete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die besonders zur Modellierung von Großschäden geeignet ist, insbesondere bei Industrie- und Rückversicherungen. Mathematisch handelt es sich hierbei um eine Pareto-Verteilung, deren Verteilungskurve um einen festen Parameterwert verschoben ist, woraus sich der Name dieser Verteilung ableitet.

Definition

Eine stetige Zufallsvariable <math>X</math> genügt der verschobenen Pareto-Verteilung <math>\operatorname{Par^\star}(a,b)</math> mit den Parametern <math>a > 0</math> und <math>b > 0</math>, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

<math>f(x)=\begin{cases}

            ab(1+bx)^{-(a+1)}      &  x\geq 0 \\
            0                      &  x<0.
           \end{cases}</math>

besitzt. Hierbei ist <math>\frac{1}{b}</math> ein Skalenparameter der Verteilung.

Eigenschaften

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion ist für <math>x \geq 0</math> gegeben durch

<math>F(x) = P(X \leq x) = 1 - (1 + bx)^{-a}</math>.

Insbesondere gilt damit für die Überlebensfunktion: <math>P(X > x) = 1 - F(x) = (1+bx)^{-a}</math>.

Erwartungswert

Der Erwartungswert ergibt sich zu:

<math>\operatorname{E}(X) = \frac{1}{b(a-1)}.</math>

Varianz

Die Varianz ist angebbar als

<math>\operatorname{Var} (X) = \frac{1}{b^2}\left(\frac{a}{a-2}-\frac{a^2}{(a-1)^2}\right) = \frac{a}{b^2(a-1)^2(a-2)}.</math>

Standardabweichung

Aus Erwartungswert und Varianz ergibt sich die Standardabweichung

<math>\sigma(X) = \sqrt{\frac{1}{b^2}\left(\frac{a}{a-2}-\frac{a^2}{(a-1)^2}\right)} = \frac{1}{b(a-1)}\sqrt{\frac{a}{a-2}}.</math>

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man den Variationskoeffizienten

<math>\operatorname{VarK}(X) = \sqrt{\frac{a}{a-2}}.</math>

Schiefe

Für die Schiefe resultiert

<math>\operatorname{v}(X) = \frac{\displaystyle\frac{a}{a-3}-3\frac{a^2}{(a-2)(a-1)}+2\frac{a^3}{(a-1)^3}}

                        {\displaystyle\left(\frac{a}{a-2}-\frac{a^2}{(a-1)^2}\right)^{\frac{3}{2}}}.</math>

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion ist für die verschobene Pareto-Verteilung nicht in geschlossener Form angebbar.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion ist für die verschobene Pareto-Verteilung nicht in geschlossener Form angebbar.

Literatur

Klaus Jürgen Schröter: Verfahren zur Approximation der Gesamtschadenverteilung: Systematisierung, Techniken und Vergleiche. Band 1 von Karlsruher Reihe, Beiträge zur Versicherungswissenschaft, Verlag Versicherungswirtsch., 1995, ISBN 978-3-88487-471-4, S. 35.