Dreiecksverteilung

Die Dreiecksverteilung (oder Simpsonverteilung, nach Thomas Simpson) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik verwendet wird.

Definition

Die Dreiecksverteilung ist definiert durch die auf dem Intervall <math>\left[a, b\right]</math> definierte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

<math> f(x)=\begin{cases}

 \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)}, & \text{wenn } a \le x < c\\
 \frac{2}{b-a},             & \text{wenn } x = c\\
 \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)}, & \text{wenn } c < x \le b.

\end{cases}</math>

Hierbei bestimmen die Parameter <math>a</math> (minimaler Wert), <math>b</math> (maximaler Wert) und <math>c</math> (wahrscheinlichster Wert) die Gestalt der Dreiecksverteilung (<math>a < b</math> und <math>a\leq c\leq b</math>). Der Graph der Dichtefunktion sieht wie ein Dreieck aus und gibt dieser Verteilung ihren Namen. Die <math>y</math>-Achse zeigt die Dichte der jeweiligen Wahrscheinlichkeit für einen Wert <math>x \in \left[a, b\right]</math>.

Plot of the Triangular PMF

Eigenschaften

Verteilungsfunktion

Datei:Triangular distribution CMF.png

Die Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion ist

<math>F(x)=\begin{cases}

   \frac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)}, & \text{wenn } a \le x < c\\
   \frac{c-a}{b-a}, & \text{wenn } x = c\\
 1-\frac{(b-x)^2}{(b-a)(b-c)}, & \text{wenn } c < x \le b.

\end{cases}</math> Die Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion lautet

<math>F^{-1}(y)=\begin{cases}

   a+\sqrt{y(b-a)(c-a)}, & \text{wenn } 0 \le y \le \frac{(c-a)}{(b-a)}\\
   b-\sqrt{(b-a)(b-c)}\sqrt{(1-y)}, & \text{wenn } \frac{(c-a)}{(b-a)} \le y  \le 1

\end{cases}</math>

Erwartungswert und Median

Der Erwartungswert einer dreiecksverteilten Zufallsvariable <math>X</math> ist

<math>\operatorname E(X) = \frac{a+b+c}3.</math>

Für <math>b-c > c-a</math> ist der Median <math>m</math> gegeben durch

<math>m=b-\sqrt{(b-a)(b-c)/2}</math>. Für diesen Fall ist der Median kleiner als der Erwartungswert; d. h. die Verteilung ist rechtsschief im Sinne von Pearson.

Varianz

Die Varianz einer dreiecksverteilten Zufallsvariable <math>X</math> ergibt sich zu

<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18} = \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{36}.</math>

Beziehung zu anderen Verteilungen

Summe gleichverteilter Zufallsgrößen

Die Summe zweier identischer unabhängiger und stetig gleichverteilter Zufallsvariablen ist dreiecksverteilt mit <math>b-c=c-a</math>, Standardabweichung <math>\sqrt{6}(b-a)/12 \approx 0{,}204(b-a)</math>, mittlerer absoluter Abweichung <math>(b-a)/6 \approx 0{,}167(b-a)</math> und Interquartilsabstand <math>(1-\sqrt{2}/2)(b-a) \approx 0{,}293(b-a)</math>.

Betrag der Differenz gleichverteilter Zufallsgrößen

Der Betrag der Differenz zweier identischer unabhängiger und stetig gleichverteilter Zufallsvariablen <math>|X_1 - X_2|</math> ist dreiecksverteilt mit <math>a=c=0</math>.

Trapezverteilung

Die Dreiecksverteilung ist ein Spezialfall der Trapezverteilung.

Diskrete Dreiecksverteilung

Die stetige Dreiecksverteilung kann als Grenzwert einer diskreten Dreiecksverteilung aufgefasst werden.

Literatur

Norman L. Johnson, Samuel Kotz: Non-Smooth Sailing or Triangular Distributions Revisited after Some 50 Years. In: The Statistician, Vol. 48, No. 2 (1999), S. 179–187

Weblinks

Eric W. Weisstein: Triangular Distribution. In: MathWorld (englisch).