Gumbel-Verteilung

Die Gumbel-Verteilung (nach Emil Julius Gumbel), die Fisher-Tippett-Verteilung (nach Ronald Aylmer Fisher) oder Extremal–I–Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die wie die Fréchet-Verteilung zu den Extremwertverteilungen gehört. Die Verteilung heißt auch doppelte Exponentialverteilung.<ref name="PHM-111">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Definition

Datei:GumbelDichteF.svg

Dichtefunktion f(x) der Gumbel-Verteilung

Eine stetige Zufallsgröße <math>X</math> genügt einer Gumbel-Verteilung mit Skalenparameter <math>\beta>0</math> und Lageparameter <math>\mu\in\mathbb{R}</math>, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

<math>f(x)= \frac{1}{\beta}\mathrm{e}^{-\frac{1}{\beta}(x-\mu)} \mathrm{e}^{-\mathrm{e}^{-\frac{1}{\beta}(x-\mu)}},~ x\in\mathbb{R}</math>

und damit die Verteilungsfunktion

<math>F(x)= \mathrm{e}^{-\mathrm{e}^{-\frac{1}{\beta}(x-\mu)}},~ x\in\mathbb{R}</math>

besitzt.

Standard-Fall

Werden keine Parameter angegeben, so sind die Standard-Parameter <math>\mu=0</math> und <math>\beta=1</math> gemeint. Dieser Spezialfall wird manchmal auch als Doppelexponentialverteilung bezeichnet.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Damit ergibt sich die Dichte

<math>f(x)= \mathrm{e}^{-x} \mathrm{e}^{-\mathrm{e}^{-x}},~ x\in\mathbb{R}</math>

und die Verteilungsfunktion

<math>F(x)= \mathrm{e}^{-\mathrm{e}^{-x}},~ x\in\mathbb{R}</math>

Durch die affin-linearen Transformationen <math>X \mapsto Y := \mu + \beta X</math> mit <math>\beta > 0</math> erhält man die oben angegebene Lage-Skalen-Familie von Verteilungen mit den Eigenschaften

<math>F_Y(x) = F\left(\frac{x-\mu}{\beta}\right)</math>,
<math>f_Y(x) = \frac{1}{\beta} f\left(\frac{x-\mu}{\beta}\right)</math>,
<math>\operatorname{E}(Y) = \mu + \beta \operatorname{E}(X)</math> und
<math>\operatorname{Var}(Y) = \beta^2 \operatorname{Var}(X).</math>

Eigenschaften

Erwartungswert

Die Gumbelverteilung besitzt den Erwartungswert

<math> \operatorname{E}(X) = \mu + \beta \gamma</math>.

Dabei ist <math>\gamma \approx 0{,}5772</math> die Euler-Mascheroni-Konstante.

Varianz

Die Varianz einer Gumbelverteilung ist

<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{(\pi\beta)^{2}}{6}</math>.

Standardabweichung

Die Standardabweichung einer Gumbelverteilung ist

<math>\sigma = \frac{\pi\beta}{\sqrt{6}}</math>.

Anwendung

Sie wird u. a. in folgenden Bereichen benutzt:

Hydrologie, insbesondere Wasserwirtschaft für extreme Ereignisse wie Hochwasser und Trockenzeiten
Verkehrsplanung
Meteorologie (Wettervorhersage)

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Extremwertverteilung

Die Gumbel-Verteilung mit den Parametern <math>\mu = 0</math> und <math>\beta = 1</math> ist eine Extremwertverteilung vom Typ I<ref name="PHM-111"/> und ergibt sich als Spezialfall für <math>\xi=0, \mu = 0, \sigma=0</math> aus der verallgemeinerten Extremwertverteilung, die die Extremwertverteilungen der Typen I, II und III und die zugehörigen Verteilungstypen in einer Verteilungsfamilie zusammenfasst.

Weblinks

Eric W. Weisstein: Extreme Value Distribution auf MathWorld

Einzelnachweise

{{#if:Navigationsleiste DUWahrscheinlichkeitsverteilungen‎ |{{safesubst:#ifeq:0|10| {{#switch: Gumbel-Verteilung |Navigationsleiste|NaviBlock|0=|#default= Vorlage:Templatetransclusioncheck Vorlage:Dokumentation/ruler }}}}Vorlage:Klappleiste/Anfang {{#if:

|

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | discrete-Phase-Type | erweitert negativ binomial | Gauss-Kuzmin | gemischt Poisson | geometrisch | logarithmisch | negativ binomial | parabolisch-fraktal | Poisson | Skellam | verallgemeinert Poisson | Yule-Simon | Zeta }} Vorlage:Klappleiste/Ende}}{{#if:Navigationsleiste KUWahrscheinlichkeitsverteilungen‎ |{{safesubst:#ifeq:0|10| {{#switch: Gumbel-Verteilung |Navigationsleiste|NaviBlock|0=|#default= Vorlage:Templatetransclusioncheck Vorlage:Dokumentation/ruler }}}}Vorlage:Klappleiste/Anfang {{#if:

|

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:
Cauchy | Extremwert | exponential Power | Fishers z | Fisher-Tippett (Gumbel) | generalized hyperbolic | Hyperbolic-secant | Landau | Laplace | alpha-stabil | logistisch | normal (Gauß) | normal-invers Gauß’sch | Skew-normal | Studentsche t | Type-1-Gumbel | Variance-Gamma | Voigt }} Vorlage:Klappleiste/Ende}}{{#if:Navigationsleiste MUWahrscheinlichkeitsverteilungen‎ |{{safesubst:#ifeq:0|10| {{#switch: Gumbel-Verteilung |Navigationsleiste|NaviBlock|0=|#default= Vorlage:Templatetransclusioncheck Vorlage:Dokumentation/ruler }}}}Vorlage:Klappleiste/Anfang {{#if:

|

Multivariate Matrixverteilungen:
Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit | Invers Wishart | Matrix Beta | Matrix Gamma | Matrix invers Beta | Matrix invers Gamma | Matrix Normal | Matrix Student-t | Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung | Normal-invers-Wishart | Normal-Wishart | Wishart }}

Vorlage:Klappleiste/Ende}}{{#if:|{{{{{4}}}}}}}{{#if:|{{{{{5}}}}}}}{{#if:|{{{{{6}}}}}}}{{#if:|{{{{{7}}}}}}}{{#if:|{{{{{8}}}}}}}{{#if:|{{{{{9}}}}}}}{{#if:|{{{{{10}}}}}}}{{#if:|{{{{{11}}}}}}}{{#if:|{{{{{12}}}}}}}{{#if:|{{{{{13}}}}}}}{{#if:|{{{{{14}}}}}}}{{#if:|{{{{{15}}}}}}}{{#if:|{{{{{16}}}}}}}{{#if:|{{{{{17}}}}}}}{{#if:|{{{{{18}}}}}}}{{#if:|{{{{{19}}}}}}}{{#if:|{{{{{20}}}}}}}{{#if:|

Zu viele Navigationsleisten (>20)

}}