Liste kleiner Gruppen
Die folgende Liste enthält eine Auswahl endlicher Gruppen kleiner Ordnung.
Diese Liste kann benutzt werden, um herauszufinden, zu welchen bekannten endlichen Gruppen eine Gruppe G isomorph ist. Als erstes bestimmt man die Ordnung von G und vergleicht sie mit den unten aufgelisteten Gruppen gleicher Ordnung. Ist bekannt, ob G abelsch (kommutativ) ist, so kann man einige Gruppen ausschließen. Anschließend vergleicht man die Ordnung einzelner Elemente von G mit den Elementen der aufgelisteten Gruppen, wodurch man G bis auf Isomorphie eindeutig bestimmen kann.
Glossar
In der nachfolgenden Liste werden folgende Bezeichnungen verwendet:
- <math>\Z_n</math> ist die zyklische Gruppe der Ordnung <math>n</math> (die auch als <math>C_n</math> oder <math>\Z / n\Z</math> geschrieben wird).
- <math>D_n</math> ist die Diedergruppe der Ordnung <math>2n</math>.
- <math>S_n</math> ist die symmetrische Gruppe vom Grad <math>n</math>, mit n! Permutationen von <math>n</math> Elementen.
- <math>A_n</math> ist die alternierende Gruppe vom Grad <math>n</math>, mit <math>n!/2</math> Permutationen von <math>n</math> Elementen für <math>n\ge2</math>.
- <math>\mathrm{Dic}_n</math> ist die dizyklische Gruppe der Ordnung <math>4n</math>.
- <math>V_4</math> ist die Klein’sche Vierergruppe der Ordnung <math>4</math>.
- <math>Q_{4n}</math> ist die Quaternionengruppe der Ordnung <math>4n</math> für <math>n\ge2</math>.
Die Notation <math>G\times H</math> wird benutzt, um das direkte Produkt der Gruppen <math>G</math> und <math>H</math> zu bezeichnen. Es wird angemerkt, ob eine Gruppe abelsch oder einfach ist. (Für Gruppen der Ordnung <math>n<60</math> sind die einfachen Gruppen genau die zyklischen Gruppen <math>\Z_n</math>, mit <math>n</math> aus der Menge der Primzahlen.) In den Zykel-Graphen der Gruppen wird das neutrale Element durch einen ausgefüllten schwarzen Kreis dargestellt. Ordnung <math>16</math> ist die kleinste Ordnung, für welche die Gruppenstruktur durch den Zykel-Graphen nicht eindeutig bestimmt ist: Die nichtabelsche modulare Gruppe und <math>\Z_8 \times \Z_2</math> haben den gleichen Zykel-Graphen und den gleichen (modularen) Untergruppenverband, sind aber nicht isomorph.
Es ist zu beachten, dass <math>3 \cdot \Z_2</math> bedeutet, dass es 3 Untergruppen vom Typ <math>\Z_2</math> gibt (nicht die Nebenklasse von <math>\Z_2</math>).
Zu jeder Ordnung wird zunächst die zyklische Gruppe angegeben, dann folgen gegebenenfalls weitere abelsche Gruppen und dann gegebenenfalls nichtabelsche Gruppen:
Liste aller Gruppen bis Ordnung 24
| Ordnung | Gruppe | Echte Untergruppen<ref name="ug">In der Liste der Untergruppen werden die trivialen Untergruppen (die einelementige Gruppe und die Gruppe selbst) nicht aufgelistet.</ref> | Eigenschaften | Zykel-Graph |
|---|---|---|---|---|
| 1 | <math>\Z_1\cong S_1\cong A_2</math> (triviale Gruppe) | - | abelsch, zyklisch | |
| 2 | <math>\Z_2\cong S_2\cong D_1</math> (Gruppe Z2) | - | abelsch, einfach, zyklisch, kleinste nichttriviale Gruppe | |
| 3 | <math>\Z_3\cong A_3</math> | - | abelsch, einfach, zyklisch | |
| 4 | <math>\Z_4\cong \mathrm{Dic}_1</math> | <math>\Z_2</math> | abelsch, zyklisch | |
| <math>V_4\cong\Z_2^2\cong D_2</math> (Kleinsche Vierergruppe) | <math>3\cdot\Z_2</math> | abelsch, die kleinste nichtzyklische Gruppe | ||
| 5 | <math>\Z_5</math> | - | abelsch, einfach, zyklisch | |
| 6 | <math>\Z_6\cong\Z_2\times\Z_3</math> | <math>\Z_3</math>, <math>\Z_2</math> | abelsch, zyklisch | |
| <math>S_3\cong D_3</math> (Symmetrische Gruppe) | <math>\Z_3</math>, <math>3 \cdot \Z_2</math> | kleinste nichtabelsche Gruppe | ||
| 7 | <math>\Z_7</math> | - | abelsch, einfach, zyklisch | |
| 8 | <math>\Z_8</math> | <math>\Z_4</math>, <math>\Z_2</math> | abelsch, zyklisch | |
| <math>\Z_2\times\Z_4</math> | <math>2\cdot\Z_4</math>, <math>3\cdot\Z_2</math>, <math>D_2</math> | abelsch | ||
| <math>\Z_2^3\cong D_2\times\Z_2</math> | <math>7 \cdot \Z_2</math>, <math>7\cdot D_2</math> | abelsch | ||
| <math>D_4</math> | <math>\Z_4</math>, <math>2\cdot D_2</math>, <math>5\cdot\Z_2</math> | nichtabelsch | ||
| <math>Q_8\cong \mathrm{Dic}_2</math> (Quaternionengruppe) | <math>3\cdot\Z_4</math>, <math>\Z_2</math> | nichtabelsch; die kleinste hamiltonsche Gruppe | ||
| 9 | <math>\Z_9</math> | <math>\Z_3</math> | abelsch, zyklisch | |
| <math>\Z_3^2</math> | <math>4\cdot\Z_3</math> | abelsch | ||
| 10 | <math>\Z_{10}\cong\Z_2\times\Z_5</math> | <math>\Z_5</math>, <math> \Z_2</math> | abelsch, zyklisch | |
| <math>D_5</math> | <math>\Z_5</math>, <math>5\cdot\Z_2</math> | nichtabelsch | ||
| 11 | <math>\Z_{11}</math> | - | abelsch, einfach, zyklisch | |
| 12 | <math>\Z_{12}\cong\Z_4\times\Z_3</math> | <math>\Z_6</math>, <math>\Z_4</math>, <math>\Z_3</math>, <math>\Z_2</math> | abelsch, zyklisch | |
| <math>\Z_2\times\Z_6\cong\Z_2^2\times\Z_3\cong D_2\times\Z_3</math> | <math>3 \cdot \Z_6</math>, <math>\Z_3</math>, <math>D_2</math>, <math>3 \cdot \Z_2</math> | abelsch | ||
| <math>D_6\cong D_3\times\Z_2</math> | <math>\Z_6</math>, <math>2 \cdot D_3</math>, <math>3 \cdot D_2</math>, <math>\Z_3</math>, <math>7 \cdot \Z_2</math> | nichtabelsch | ||
| <math>A_4</math> (Gruppe A4) | <math>D_2</math>, <math>4\cdot\Z_3</math>, <math>3\cdot\Z_2</math> | nichtabelsch; kleinste Gruppe, die zeigt, dass die Umkehrung des Satzes von Lagrange nicht stimmt: keine Untergruppe der Ordnung 6 | ||
| <math>\mathrm{Dic}_3 </math> (hier Verknüpfungstafel) | <math>\Z_6</math>, <math>3\cdot\Z_4</math>, <math>\Z_3</math>, <math>\Z_2</math> | nichtabelsch | ||
| 13 | <math>\Z_{13}</math> | - | abelsch, einfach, zyklisch | |
| 14 | <math>\Z_{14}\cong\Z_2\times\Z_7</math> | <math>\Z_7</math>, <math> \Z_2</math> | abelsch, zyklisch | |
| <math>D_7</math> | <math>\Z_7</math>, <math> 7\cdot\Z_2</math> | nichtabelsch | ||
| 15 | <math>\Z_{15}\cong\Z_3\times\Z_5</math> | <math>\Z_5</math>, <math> \Z_3</math> | abelsch, zyklisch (siehe „Jede Gruppe der Ordnung 15 ist zyklisch.“) | |
| 16 | <math>\Z_{16}</math> | <math>\Z_8</math>, <math>\Z_4</math>, <math>\Z_2</math> | abelsch, zyklisch | |
| <math>\Z_2^4</math> | <math>15 \cdot \Z_2</math>, <math>35 \cdot D_2</math>, <math>15 \cdot \Z_2^3</math> | abelsch | ||
| <math>\Z_4\times\Z_2^2</math> | <math>7 \cdot \Z_2</math>, <math>4 \cdot \Z_4</math>, <math>7 \cdot D_2</math>, <math>\Z_2^3</math>, <math>6 \cdot \Z_4 \times \Z_2</math> | abelsch | ||
| <math>\Z_8\times\Z_2</math> | <math>3 \cdot \Z_2</math>, <math>2 \cdot \Z_4</math>, <math>D_2</math>, <math>2 \cdot \Z_8</math>, <math>\Z_4 \times \Z_2</math> | abelsch | ||
| <math>\Z_4^2</math> | <math>3 \cdot \Z_2</math>, <math>6 \cdot \Z_4</math>, <math> D_2</math>,<math> 3 \cdot \Z_4 \times \Z_2</math> | abelsch | ||
| <math>D_8</math> | <math>\Z_8</math>, <math>2 \cdot D_4</math>, <math>4 \cdot D_2</math>, <math>\Z_4</math>, <math>9 \cdot \Z_2</math> | nichtabelsch | ||
| <math>D_4\times\Z_2</math> | <math>4 \cdot D_4</math>, <math>\Z_4 \times \Z_2</math>, <math>2 \cdot \Z_2^3</math>, <math>13 \cdot \Z_2^2</math>, <math>2 \cdot \Z_4</math>, <math>11 \cdot \Z_2</math> | nichtabelsch | ||
| <math>Q_{16}\cong \mathrm{Dic_4}</math> | <math>\Z_8</math>, <math>2 \cdot Q_8</math>, <math>5 \cdot \Z_4</math>, <math>\Z_2</math> | nichtabelsch | ||
| <math>Q_8\times\Z_2</math> | <math>3 \cdot \Z_2 \times \Z_4</math>, <math>4 \cdot Q_8</math>, <math>6 \cdot \Z_4</math>, <math>\Z_2 \times \Z_2</math>, <math>3 \cdot \Z_2</math> | nichtabelsch, hamiltonsche Gruppe | ||
| Quasi-Diedergruppe | <math>\Z_8</math>, <math>Q_8</math>, <math>D_4</math>, <math>3\cdot\Z_4</math>, <math>2\cdot\Z_2\times\Z_2</math>, <math>5\cdot\Z_2</math> | nichtabelsch | ||
| Nichtabelsche nicht-hamiltonsche modulare Gruppe | <math>2\cdot\Z_8</math>, <math>\Z_4\times\Z_2</math>, <math>2\cdot\Z_4</math>, <math>\Z_2\times\Z_2</math>, <math>3\cdot\Z_2</math> | nichtabelsch | ||
| Semidirektes Produkt <math>\Z_4 \rtimes \Z_4</math> (siehe hier) | <math>3\cdot\Z_2\times\Z_4</math>, <math>6\cdot\Z_4</math>, <math>\Z_2\times\Z_2</math>, <math>3\cdot\Z_2</math> | nichtabelsch | ||
| f |errCat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Anker |errHide=1}}Die durch Pauli-Matrizen erzeugte Gruppe. | <math>3\cdot\Z_2\times\Z_4</math>, <math>3\cdot D_4</math>, <math>Q_8</math>, <math>4\cdot \Z_4</math>, <math>3\cdot\Z_2\times\Z_2</math>, <math>7\cdot\Z_2</math> | nichtabelsch | ||
| <math>G_{4,4} = V_4 \rtimes \Z_4</math> | <math>2\cdot\Z_2\times\Z_4</math>, <math>\Z_2\times\Z_2\times\Z_2</math>, <math>4\cdot\Z_4</math>, <math>7\cdot\Z_2\times\Z_2</math>, <math>7\cdot\Z_2</math> | nichtabelsch | ||
| 17 | <math>\Z_{17}</math> | - | abelsch, einfach, zyklisch | |
| 18 | <math>\Z_{18} \cong \Z_9\times \Z_2</math> | <math>\Z_9,</math> <math>\Z_6,</math> <math>\Z_3,</math> <math>\Z_2</math> | abelsch, zyklisch | |
| <math>\Z_6 \times \Z_3</math> | <math>\Z_3^2,</math> <math>4 \cdot \Z_6,</math> <math>4 \cdot \Z_3,</math> <math>\Z_2</math> | abelsch | ||
| <math>D_9</math> | <math>\Z_9,</math> <math>3 \cdot D_3,</math> <math>\Z_3,</math> <math>9 \cdot \Z_2</math> | nichtabelsch | ||
| <math>S_3 \times \Z_3</math> | <math>\Z_3^2,</math> <math>D_3,</math> <math>3 \cdot \Z_6,</math> <math>4 \cdot \Z_3,</math> <math>3 \cdot \Z_2</math> | nichtabelsch | ||
| <math>(\Z_3 \times \Z_3)\rtimes_\alpha \Z_2</math> mit <math>\alpha(1)=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}</math> | <math>\Z_3^2,</math> <math>12 \cdot D_3,</math> <math>4 \cdot \Z_3,</math> <math>9 \cdot \Z_2</math> | nichtabelsch | ||
| 19 | <math>\Z_{19}</math> | - | abelsch, einfach, zyklisch | |
| 20 | <math>\Z_{20} \cong \Z_5 \times \Z_4</math> | <math>\Z_{10},</math> <math>\Z_5,</math> <math>\Z_4,</math> <math>\Z_2</math> | abelsch, zyklisch | |
| <math>\Z_{10}\times \Z_2 \cong \Z_5\times \Z_2 \times \Z_2</math> | <math>3\cdot\Z_{10},</math> <math>\Z_5,</math> <math>D_2,</math> <math>3\cdot\Z_2</math> | abelsch | ||
| <math>Q_{20} \cong \mathrm{Dic}_5</math> | <math>\Z_{10},</math> <math>\Z_5,</math> <math>5\cdot \Z_4,</math> <math>\Z_2</math> | nichtabelsch | ||
| <math>\Z_5 \rtimes \Z_4 \cong</math> AGL1(5) | <math>D_5,</math> <math>\Z_5,</math> <math>5 \cdot \Z_4,</math> <math>5 \cdot \Z_2</math> | nichtabelsch | ||
| <math>D_{10} \cong D_5\times \Z_2</math> | <math>\Z_{10},</math> <math>D_5,</math> <math>\Z_5,</math> <math>5\cdot V_4,</math> <math>11\cdot \Z_2</math> | nichtabelsch | ||
| 21 | <math>\Z_{21}\cong\Z_7\times\Z_3</math> | <math>\Z_7,</math> <math>\Z_3</math> | abelsch, zyklisch | |
| <math>\Z_7\rtimes\Z_3</math> | <math>\Z_7,</math> <math>7 \cdot \Z_3</math> | nichtabelsch | ||
| 22 | <math>\Z_{22} \cong \Z_{11} \times \Z_2</math> | <math>\Z_{11},</math> <math>\Z_2</math> | abelsch, zyklisch | |
| <math>D_{11}</math> | <math>\Z_{11},</math> <math>11 \cdot \Z_2</math> | nichtabelsch | ||
| 23 | <math>\Z_{23}</math> | - | abelsch, einfach, zyklisch | |
| 24 | <math>\Z_{24} \cong \Z_8 \times \Z_3</math> | <math>\Z_{12},</math> <math>\Z_8,</math> <math>\Z_6,</math> <math>\Z_4,</math> <math>\Z_3,</math> <math>\Z_2</math> | abelsch, zyklisch | |
| <math>\Z_{12} \times \Z_2 \cong \Z_6 \times \Z_4 \cong</math><math>\Z_4 \times \Z_3 \times \Z_2</math> | <math>\Z_{12},</math> <math>\Z_6,</math> <math>\Z_4,</math> <math>\Z_3,</math> <math>\Z_2</math> | abelsch | ||
| <math>\Z_6 \times D_2 \cong \Z_3 \times \Z_2^3</math> | <math>\Z_6,</math> <math>\Z_3,</math> <math>\Z_2</math> | abelsch | ||
| <math>\Z_3 \rtimes \Z_8</math> | <math>\Z_{12},</math> <math>3 \cdot \Z_8,</math> <math>\Z_6,</math> <math>\Z_4,</math> <math>\Z_3,</math> <math>\Z_2</math> | nichtabelsch | ||
| SL(2,3)<math>\cong Q_8 \rtimes \Z_3</math> | <math>Q_8,</math> <math>4 \cdot \Z_6,</math> <math>3 \cdot \Z_4,</math> <math>4 \cdot \Z_3,</math> <math>\Z_2</math> | nichtabelsch | ||
| <math>Q_{24} \cong \Z_3 \times Q_8</math> | <math>\Z_{12},</math> <math>2 \cdot Q_{12},</math> <math>3 \cdot Q_8,</math> <math>\Z_6,</math> <math>7 \cdot \Z_4,</math> <math>\Z_3,</math> <math>\Z_2</math> | nichtabelsch | ||
| <math>D_3 \times \Z_4 \cong S_3 \times \Z_4 </math> | <math>\Z_{12},</math> <math>Q_{12},</math> <math>D_6,</math> <math>3 \cdot \Z_4 \times \Z_2,</math> <math>\Z_6,</math> <math>2 \cdot D_3,</math> <math>4 \cdot \Z_4,</math> <math>3 \cdot D_2,</math> <math>\Z_3,</math> <math>7 \cdot \Z_2</math> | nichtabelsch | ||
| <math>D_{12} </math> | <math>\Z_{12},</math> <math>2 \cdot D_6,</math> <math>3 \cdot D_4,</math> <math>\Z_6,</math> <math>4 \cdot D_3,</math> <math>\Z_4,</math> <math>6 \cdot D_2,</math> <math>\Z_3,</math> <math>13 \cdot \Z_2</math> | nichtabelsch | ||
| <math>Q_{12} \times \Z_2 \cong (\Z_3 \rtimes \Z_4) \times \Z_2 </math> | <math>\Z_6 \times \Z_2,</math> <math>2 \cdot Q_{12},</math> <math>3 \cdot \Z_4 \times \Z_2,</math> <math>3 \cdot \Z_6, </math> <math>6 \cdot \Z_4, </math> <math>D_2, </math> <math>\Z_3, </math> <math>3 \cdot \Z_2 </math> | nichtabelsch | ||
| <math>(\Z_6 \times \Z_2) \rtimes \Z_2 \cong \Z_3 \rtimes D_4 </math> | <math>\Z_6 \times \Z_2,</math> <math>Q_{12},</math> <math>D_3,</math> <math>3 \cdot D_4,</math> <math> 3 \cdot \Z_6,</math> <math> 2 \cdot D_3,</math> <math> 3 \cdot \Z_4,</math> <math>4 \cdot D_2,</math> <math>\Z_3,</math> <math>9 \cdot \Z_2</math> | nichtabelsch | ||
| <math>D_4 \times \Z_3 </math> | <math> \Z_{12},</math> <math> 2 \cdot \Z_6 \times \Z_2,</math> <math> D_4,</math> <math> 5 \cdot \Z_6,</math> <math> \Z_4,</math> <math> 2 \cdot D_2,</math> <math> \Z_3,</math> <math> 5 \cdot \Z_2</math> | nichtabelsch | ||
| <math>Q_8 \times \Z_3 </math> | <math>3 \cdot \Z_{12},</math> <math>Q_8,</math> <math>\Z_6,</math> <math>3 \cdot \Z_4,</math> <math>\Z_3,</math> <math>\Z_2</math> | nichtabelsch | ||
| <math>S_4 </math> | <math>A_4,</math> <math>3 \cdot D_4,</math> <math>4 \cdot D_3,</math> <math>3 \cdot \Z_4,</math> <math>4 \cdot D_2,</math> <math>4 \cdot \Z_3,</math> <math>9 \cdot \Z_2</math> | nichtabelsch | ||
| <math>A_4 \times \Z_2 </math> | <math>A_4,</math> <math>\Z_2^3,</math> <math>4 \cdot \Z_6,</math> <math>7 \cdot D_2,</math> <math>4 \cdot \Z_3,</math> <math>7 \cdot \Z_2</math> | nichtabelsch | ||
| <math>D_6 \times \Z_2 </math> | <math>\Z_6 \times \Z_2,</math> <math>6 \cdot D_6,</math> <math>3 \cdot \Z_2^3,</math> <math>3 \cdot \Z_6,</math> <math>4 \cdot D_3,</math> <math>19 \cdot D_2,</math> <math>\Z_3,</math> <math>15 \cdot \Z_2</math> | nichtabelsch |
;_Cycle_graph.svg){kind=link}
Einfache Struktursätze
Die folgenden Aussagen sind sehr elementare Struktursätze, deren Auswirkung sich deutlich in obiger Liste widerspiegelt.
- Ist <math>p</math> eine Primzahl, so ist jede Gruppe der Ordnung <math>p</math> isomorph zur zyklischen Gruppe <math>\Z_p</math>.<ref>Bertram Huppert: Endliche Gruppen I. Springer-Verlag, 1967, Kap. I, § 2, Satz 2.10.</ref>
- Ist <math>p</math> eine Primzahl, so ist jede Gruppe der Ordnung <math>p^2</math> abelsch,<ref>Bertram Huppert: Endliche Gruppen I. Springer-Verlag (1967), Kap. I, § 6, Satz 6.10.</ref> genauer isomorph zur zyklischen Gruppe <math>\Z_{p^2}</math> oder zum direkten Produkt <math>\Z_p\times \Z_p</math>.<ref>Kurt Meyberg: Algebra Teil 1. Carl Hanser Verlag, 1980, ISBN 3-446-13079-9, Satz 2.2.12.</ref>
- Ist <math>p</math> eine Primzahl, so ist jede Gruppe der Ordnung <math>2p</math> isomorph zur zyklischen Gruppe <math>\Z_{2p}</math> oder zur Diedergruppe <math>D_p</math>.<ref>Kurt Meyberg: Algebra Teil 1. Carl Hanser Verlag (1980), ISBN 3-446-13079-9, Beispiel 2.2.11 e.</ref>
- Sind <math>p</math> und <math>q</math> Primzahlen mit <math>q<p</math> und ist <math>q</math> kein Teiler von <math>p-1</math>, dann ist jede Gruppe der Ordnung <math>pq</math> isomorph zur zyklischen Gruppe <math>\Z_{pq}</math>.<ref>Bertram Huppert: Endliche Gruppen I. Springer-Verlag (1967), Kap. I, § 8, Satz 8.10.</ref>
„The SmallGroups Library“
Das Computeralgebrasystem GAP enthält die Programmbibliothek SmallGroups Library, die eine Beschreibung von Gruppen kleiner Ordnung enthält. Diese sind alle bis auf Isomorphie aufgelistet. Momentan (GAP Version 4.8.8) enthält die Bibliothek Gruppen folgender Ordnung:
- alle der Ordnung bis <math>2000</math>, außer den <math>49.487.365.422</math> Gruppen der Ordnung <math>1024</math> (bleiben <math>423.164.062</math> Gruppen);
- alle Gruppen, deren Ordnung <math>n</math> für keine Primzahl <math>p</math> von <math>p^3</math> geteilt wird, für <math>n\le 50.000</math> (<math>395.703</math> Gruppen);
- alle der Ordnung <math>p^7</math>, wobei <math>p</math> eine der Primzahlen <math>3, 5, 7</math> oder <math>11</math> ist (<math>907.489</math> Gruppen);
- alle der Ordnung <math>p^n</math> mit einer beliebigen Primzahl <math>p</math> und <math>n \le 6</math>;
- alle der Ordnung <math>q^np</math> mit <math>q^n</math> teilt <math>2^8, 3^6, 5^5</math> oder <math>7^4</math> und <math>p</math> ist eine beliebige von <math>q</math> verschiedene Primzahl;
- alle Gruppen, deren Ordnung <math>n</math> für keine Primzahl <math>p</math> von <math>p^2</math> geteilt wird (d. h. <math>n</math> ist quadratfrei);
- alle Gruppen, deren Ordnung <math>n</math> in höchstens drei Primzahlen zerlegbar ist.
Diese Bibliothek wurde von Hans Ulrich Besche, Bettina Eick und Eamonn O’Brien erstellt.<ref>The SmallGroups library. Bei: www.gap-system.org.</ref>
Weblinks
- Thomas Keilen: Endliche Gruppen.
- {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Finite Group. In: MathWorld (englisch). {{#if: FiniteGroup | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | FiniteGroup | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
- Ausführliche Klassifikation der Gruppen bis Ordnung 28 (englisch).
Einzelnachweise
<references />
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