Z2 (Gruppe)
Die zyklische Gruppe vom Grad 2 (<math>\Z_2</math> oder <math>C_2</math>) ist die kleinste nichttriviale Gruppe in der Gruppentheorie und damit die kleinste endliche einfache Gruppe. Sie ist isomorph zur symmetrischen Gruppe <math>S_2</math>, zur ersten Diedergruppe <math>D_1</math> und zur orthogonalen Gruppe <math>O(1)</math> im Eindimensionalen.
Eigenschaften
Da die Gruppe abelsch ist, schreibt man die Verknüpfung gerne additiv mit 0 als neutralem Element und 1 als dem zweiten Element der Gruppe. Diese Schreibweise wird durch Herkunft als Faktorgruppe <math>\Z_2</math> der additiven Gruppe der ganzen Zahlen <math>\Z</math> nahegelegt. Die Verknüpfungstafel dieser Gruppe lautet:
| <math>+</math> | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
Die Operation dieser Gruppe kann mannigfaltig interpretiert werden, wie zum Beispiel als XOR-Verknüpfung. Eine multiplikative Sicht ergibt sich daraus, dass die Gruppe <math>\{1,2\}</math> der invertierbaren Elemente des endlichen Körpers <math>\Z_3 = \{0,1,2\}</math> isomorph zu <math>\Z_2</math> ist, man erhält folgende multiplikative Verknüpfungstafel, bei 1 das neutrale Element ist:
| <math>\cdot</math> | 1 | 2 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 |
| 2 | 2 | 1 |
Eine weitere Realisierung erhält man als Einheitengruppe des Ringes <math>\Z</math>. Diese ist <math>\{-1,1\}\subset \Z</math> und man erhält die Verknüpfungstafel
| <math>\cdot</math> | 1 | −1 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | −1 |
| −1 | −1 | 1 |
Die zyklische Gruppe vom Grad 2 ist die einzige Gruppe mit der Ordnung 2.
ℤ2 als Untergruppe
- Das direkte Produkt der zyklischen Gruppe vom Grad 2 mit sich selbst ergibt die Kleinsche Vierergruppe: <math>\Z_2 \times \Z_2 = V_4</math>.
- Das direkte Produkt abzählbar vieler dieser Gruppen ergibt die Cantorgruppe.
- Die symmetrische Gruppe <math>S_3</math> enthält drei zur Gruppe <math>\Z_2</math> isomorphe echte Untergruppen.
Darstellungen
Jede nichttriviale Darstellung der <math>\Z_2</math> bildet das nichttriviale Element auf eine Involution ab, umgekehrt definiert jede lineare Involution eine Darstellung der <math>\Z_2</math>.
Im Fall reeller Vektorräume ist jede lineare Involution eine Spiegelung, die Darstellungen der <math>\Z_2</math> entsprechen also den Spiegelungen an Untervektorräumen beliebiger Dimension.
ℤ2 als Körper
Die Gruppe <math>\Z_2 = \{0,1\}</math> mit der oben angegebenen Verknüpfung + ist die additive Gruppe eines Körpers. Die dazu nötige Multiplikation auf <math>\Z_2</math> ist durch die Verknüpfungstafel
| <math>\cdot</math> | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
gegeben. Die beiden Verknüpfungen <math>+</math> und <math>\cdot</math> zusammen machen <math>\Z_2</math> zu einem Körper, den man dann nach dem englischen Wort field für Körper gerne mit <math>F_2</math> oder <math>\mathbb{F}_2</math> bezeichnet.
Es ist zu beachten, dass <math>\Z_2</math> zusammen mit dieser Multiplikation keine Gruppe bildet, da es für 0 kein inverses Element gibt.
Siehe auch
Weblinks
- Gruppen kleiner Ordnung, Archivlink abgerufen am 18. Februar 2025