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Diedergruppe

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Datei:Snowflake8.png
Diese Schneeflocke hat dieselbe Symmetriegruppe wie ein regelmäßiges Sechseck, die Diedergruppe <math>D_6</math>.

In der Gruppentheorie ist die Diedergruppe <math>D_n</math> als semidirektes Produkt <math>\mathbb Z / n\mathbb Z \rtimes_{g\mapsto g^{-1}} \mathbb Z / 2\mathbb Z</math> erklärt (siehe unten) und enthält daher genau <math>2n</math> Elemente. Für <math>n \ge 3</math> ist diese Gruppe isomorph zur Isometriegruppe eines regelmäßigen Polygons in der Ebene. Sie ist dann nicht-abelsch und enthält <math>n</math> Drehungen und <math>n</math> Achsenspiegelungen. Ihr Name leitet sich vom Wort Dieder für regelmäßige <math>n</math>-Ecke ab. Diese Gruppen treten häufig in der Geometrie und Gruppentheorie auf, werden von zwei Spiegelungen (Elementen der Ordnung <math>2</math>) erzeugt und sind damit die einfachsten Beispiele von Coxeter-Gruppen.

Bezeichnungen

Es gibt für Diedergruppen zwei abweichende Bezeichnungen. In der Geometrie schreibt man üblicherweise <math>D_n</math>, um den Zusammenhang mit dem regelmäßigen <math>n</math>-Eck zu unterstreichen. In der Gruppentheorie schreibt man oft auch <math>D_{2n}</math>, um stattdessen die Ordnung <math>2n</math> hervorzuheben. Diese Zweideutigkeit lässt sich jedoch leicht durch eine erläuternde Ergänzung beheben. In diesem Artikel steht <math>D_n</math> für die Diedergruppe mit <math>2n</math> Elementen.

Definition

Die Diedergruppe <math>D_n</math> kann für <math>n \ge 3</math> als die Isometriegruppe eines regelmäßigen <math>n</math>-Ecks in der Ebene definiert werden. Diese besteht aus <math>n</math> Drehungen und <math>n</math> Spiegelungen, hat also insgesamt <math>2n</math> Elemente. Die Isometrien bezeichnet man auch als Symmetrietransformationen. Als Verknüpfung der Gruppe <math>D_n</math> dient die Hintereinanderausführung von Symmetrietransformationen.

In den Fällen <math>n = 1</math> und <math>n = 2</math> führt die geometrische Definition jedoch zu anderen Gruppen. Daher ist hier die algebraische Definition über das semidirekte Produkt <math>\mathbb Z / n\mathbb Z \rtimes \mathbb Z / 2\mathbb Z</math> vorzuziehen (dabei ist in dem semidirekten Produkt die Operation von <math>\mathbb Z / 2\mathbb Z</math> auf <math>\mathbb Z / n\mathbb Z</math> durch Inversion gegeben). Diese algebraische Definition gilt für alle <math>n \ge 1</math>.

Beispiele

Ein Beispiel ist die Diedergruppe <math>D_3</math> der Kongruenzabbildungen eines gleichseitigen Dreiecks auf sich, die isomorph zur symmetrischen Gruppe <math>S_3</math> ist. <math>D_4</math> ist entsprechend die Symmetriegruppe des Quadrats unter Spiegelungen und Drehungen.

<math>D_2</math> ist isomorph zur Kleinschen Vierergruppe und ist die Symmetriegruppe (bestehend nur aus den beiden Spiegelungen, der Drehung um 180° und der Identität) von den vier Ecken eines Quadrats, bei dem nur die rechte und linke Seite eingezeichnet sind (also zwei Zweiecke). <math>D_1</math> ist die Symmetriegruppe eines Zweiecks.

<math>D_2</math> ist auch die Symmetriegruppe eines nicht gleichseitigen Rechtecks oder einer nicht gleichwinkligen Raute. <math>D_1</math> ist auch die Symmetriegruppe eines gleichschenkligen Dreiecks, das nicht gleichseitig ist.

Die folgende Grafik illustriert die Diedergruppe <math>D_8</math> anhand der Drehungen und Spiegelungen eines Stoppschildes: Die erste Zeile zeigt die acht Drehungen, die zweite Zeile die acht Spiegelungen.

Datei:Dihedral8.png

Matrix-Darstellung

Wir betrachten ein ebenes regelmäßiges <math>n</math>-Eck. Seinen Mittelpunkt wählen wir als Nullpunkt <math>O</math> eines Koordinatensystems, irgendeine seiner <math>n</math> Symmetrieachsen als <math>x</math>-Achse und die Normale dazu (in üblicher Orientierung, sodass sich ein Rechtssystem ergibt) als <math>y</math>-Achse. Die Diedergruppe <math>D_n</math> lässt sich dann leicht als Matrixgruppe darstellen. Hierzu sei <math>r_k</math> die Drehung um <math>O</math> um den Winkel <math>\alpha_k := k\cdot 2\pi/n</math> und <math>s_k</math> die Spiegelung an der Geraden durch <math>O</math>, die im Winkel <math>\alpha_k/2=k\cdot \pi/n</math> gegenüber der positiven <math>x</math>-Achse geneigt ist. Als Matrizen schreiben sich diese Transformationen dann so:

<math>

r_k = \begin{pmatrix} 

       \cos(\alpha_k) & -\sin(\alpha_k) \\
       \sin(\alpha_k) & \cos(\alpha_k)
     \end{pmatrix}

\qquad \text{und} \qquad s_k = \begin{pmatrix} 

       \cos(\alpha_k) & \sin(\alpha_k) \\
       \sin(\alpha_k) & -\cos(\alpha_k)
     \end{pmatrix}

</math>

Hierbei fallen folgende Relationen auf:

  • <math>r_{k+n}=r_k</math> und <math>s_{k+n}=s_k</math>. Daher können wir uns auf <math>k=0, 1, 2, \dotsc, n-1</math> beschränken.
  • <math>r_0</math>, die Drehung um den Winkel <math>0</math>, ist die Identität.
  • <math>r_1</math> ist die Drehung um den Winkel <math>2\pi/n</math> und es gilt <math>r_k = r_1^k</math> für alle <math>k</math>.
  • <math>s_0</math> ist die Spiegelung an der <math>x</math>-Achse und es gilt <math>s_k = r_k s_0</math> für alle <math>k</math>.

Wenn <math>n</math> ungerade ist, dann verläuft jede der <math>n</math> Spiegelachsen durch einen Eckpunkt und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Für gerades <math>n</math> gibt es hingegen zwei Arten von Spiegelachsen, durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte oder durch zwei gegenüberliegende Seitenmittelpunkte.

In dieser Darstellung schreiben sich zum Beispiel die acht Elemente der Diedergruppe <math>D_4</math> wie folgt:

<math>
 \begin{align}
   r_0 &= \bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}\bigr), &
   r_1 &= \bigl(\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}\bigr), &
   r_2 &= \bigl(\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}\bigr), &
   r_3 &= \bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}\bigr), \\
   s_0 &= \bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}\bigr), &
   s_1 &= \bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}\bigr), &
   s_2 &= \bigl(\begin{smallmatrix}-1&0\\0&1\end{smallmatrix}\bigr), &
   s_3 &= \bigl(\begin{smallmatrix}0&-1\\-1&0\end{smallmatrix}\bigr).
 \end{align}

</math> Diese Drehungen und Spiegelungen lassen sich bildlich wie folgt darstellen:

Datei:Dih4 cycle graph.svg
Zykel-Graph von <math>D_4</math>:
<math>a</math> ist die Drehung um 90° im Uhrzeigersinn.
<math>b</math> ist die Spiegelung an der vertikalen Mittelachse.
Datei:Group D8 id.svg
<math>r_0</math> (Drehung um 0°)		 Datei:Group D8 270.svg
<math>r_1</math> (Drehung um 90°)		 Datei:Group D8 180.svg
<math>r_2</math> (Drehung um 180°)		 Datei:Group D8 90.svg
<math>r_3</math> (Drehung um 270°)
Datei:Group D8 fv.svg
<math>s_0</math> (Spiegelung an der x-Achse)		 Datei:Group D8 f13.svg
<math>s_1</math> (Spiegelung an der Diagonale y=x)		 Datei:Group D8 fh.svg
<math>s_2</math> (Spiegelung an der y-Achse)		 Datei:Group D8 f24.svg
<math>s_3</math> (Spiegelung an der Diagonale y=-x)
Drehungen und Spiegelungen eines Quadrates. Die vier Ecken sind nummeriert und eingefärbt, um die Transformation bildlich darzustellen.

Permutations-Darstellung

Betrachten wir zunächst als Beispiel die Diedergruppe <math>D_4</math>. Diese operiert durch Symmetrietransformationen auf einem Quadrat wie in der vorangehenden Grafik gezeigt. Betrachtet man die Aktion der Diedergruppe <math>D_4</math> auf den Eckpunkten <math>1, 2, 3, 4</math>, erhält man eine treue Darstellung in die symmetrische Gruppe <math>S_4</math>, also einen injektiven Gruppenhomomorphismus <math>\tau \colon D_4 \to S_4</math>. Genauer gesagt wirken die Transformationen auf den Ecken als folgende Permutationen:

<math>
 \begin{align}
 \tau(r_0) & = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{smallmatrix}\right), \ &
 \tau(r_1) & = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{smallmatrix}\right), \ &
 \tau(r_2) & = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{smallmatrix}\right), \ &
 \tau(r_3) & = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{smallmatrix}\right) \\
 \tau(s_0) & = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{smallmatrix}\right), \ &
 \tau(s_1) & = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \end{smallmatrix}\right), \ &
 \tau(s_2) & = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \end{smallmatrix}\right), \ &
 \tau(s_3) & = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2 \end{smallmatrix}\right)
 \end{align}
 </math>

Ganz allgemein definiert die Operation der Diedergruppe <math>D_n</math> auf den Eckpunkten <math>P_1, P_2, \dotsc, P_n</math> eine treue Darstellung <math>\tau \colon D_n \to S_n</math>. In obiger Notation erhält man zum Beispiel die Permutation

<math>\tau(r_1) = (1, 2, 3, \dotsc, n).</math>

In Zyklenschreibweise ist dies die zyklische Permutation, die <math>P_1</math> auf <math>P_2</math> abbildet, <math>P_2</math> auf <math>P_3</math> und so weiter, bis schließlich <math>P_n</math> auf <math>P_1</math> abgebildet wird. Die weiteren Drehungen erhält man hieraus mittels der Relation <math>r_k = r_1^k</math> für alle <math>k</math>. Für die Spiegelung an der Symmetrieachse durch <math>P_n</math> erhält man entsprechend in Zyklenschreibweise

<math>\tau(s_1) = (1, n-1) (2, n-2) \dots \left(\bigl\lfloor \tfrac {n-1}2 \bigl\rfloor, \bigl\lfloor \tfrac {n+2}2 \bigl\rfloor\right)</math>

mit der Gaußschen Ganzteilfunktion <math>x \mapsto \lfloor x \rfloor</math> (die jeder reellen Zahl <math>x</math> die größte ganze Zahl zuordnet, die nicht größer als <math>x</math> ist). Die weiteren Spiegelungen erhält man hieraus mittels der Relation <math>s_{k+1} = r_k s_1</math> für alle <math>k</math> (mit <math>s_4 = s_0</math>).

Erzeuger und Relationen

Alle <math>n</math> Drehungen werden von <math>r=r_1</math> erzeugt. Diese bilden eine zyklische Untergruppe der Ordnung <math>n</math> und demnach von Index <math>2</math>. Man erhält die gesamte Gruppe durch Hinzufügen einer beliebigen Spiegelung, zum Beispiel <math>s = s_0</math>, und so die Präsentation

<math>D_n = \left\langle r, s \mid r^n = s^2 = \ s r s r = e\right\rangle,</math>

wobei <math>e</math> das neutrale Element der Gruppe ist.

Datei:Cayleygraph dihedral.png
Cayleygraph der Diedergruppe <math>D_5</math>

Die Verkettung von zwei Spiegelungen ist eine Drehung. Ist der Winkel zwischen den beiden Spiegelachsen <math>\alpha</math>, so ist diese Verkettung eine Drehung um den Winkel <math>2\alpha</math>. Das bedeutet, dass die Diedergruppe <math>D_n</math> von zwei benachbarten Spiegelungen, zum Beispiel <math>s_0</math> und <math>s_1</math>, erzeugt wird. Man erhält so die Präsentation

<math>D_n = \left\langle s_0, s_1 \mid s_0^2 = s_1^2 = (s_0 s_1)^n = e\right\rangle.</math>

Dies ist der einfachste Fall einer Coxeter-Gruppe.

Für alle Indizes <math>i</math> und <math>j</math> gilt außerdem:

  1. <math>r_i r_j = r_{i+j}</math>
  2. <math>r_i s_j = s_{i+j}</math>
  3. <math>s_i r_j = s_{i-j}</math>
  4. <math>s_i s_j = r_{i-j}</math>

Dabei werden die Indizes jeweils modulo <math>n</math> betrachtet (<math>r_{i+n}=r_i</math> und <math>s_{i+n}=s_i</math>).

Anwendungen

Geometrie

Diedergruppen sind die einfachsten Beispiele von Spiegelungsgruppen. Diese spielen in der klassischen Geometrie eine wichtige Rolle, zum Beispiel bei der Klassifikation der regulären Polyeder. In Dimension <math>2</math> entsprechen hier Diedergruppen den regulären Polygonen.

Codierung

Die durch obige Permutationen definierte Zahlenverknüpfung wird bei Prüfsummenverfahren als Alternative zu diversen modulo-basierten Verfahren angewendet. Zum Beispiel besaßen die deutschen Banknoten Dieder-Prüfsummen.<ref>Jörg Michael: Blütenrein. Prüfziffernverfahren auf der Basis von Diedergruppen. In: c’t 4/1997. S. 448.</ref>

Siehe auch

Weblinks

Einzelnachweise

<references />

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