Coxeter-Gruppe
In der Mathematik sind Coxeter-Gruppen eine formale Beschreibung und Verallgemeinerung von Spiegelungsgruppen.
Definitionen
Coxeter-Gruppen werden abstrakt definiert als Gruppen mit einer Präsentation
- <math>W=\langle r_1,\ldots,r_n\mid (r_ir_j)^{m_{ij}}=1\rangle</math>
mit <math>m_{ii}=1</math> und <math>m_{ij}=m_{ji}\ge 2</math> für <math>i\not=j</math>.
Die Bedingung <math>m_{ij}=\infty</math> bedeutet, dass <math>(r_ir_j)</math> unendliche Ordnung haben.
Das Paar <math>(W,S)</math>, bestehend aus einer Coxeter-Gruppe <math>W</math> und einer Menge aus Erzeugern <math>S=\left\{r_1,\ldots,r_n\right\}</math>, wird als Coxeter-System bezeichnet.
Coxeter bewies 1934, dass jede Spiegelungsgruppe eine Coxeter-Gruppe ist, und ein Jahr später, dass jede endliche Coxeter-Gruppe eine Spiegelungsgruppe ist. Weiter klassifizierte er endliche Coxeter-Gruppen durch ihre Coxeter-Diagramme. Diese sind Graphen mit einem Knoten für jeden Erzeuger <math>r_i</math>, Kanten zwischen den <math>r_i</math> und <math>r_j</math> verbindenden Knoten genau für <math>m_{ij}\ge 3</math> und einer Markierung der Kante durch <math>m_{ij}</math> für <math>m_{ij}\ge 4</math>. Die rechts abgebildete Grafik zeigt alle Coxeter-Diagramme, wobei <math>A_n, B_n=C_n</math> und <math>D_n</math> jeweils für jedes <math>n\ge 1</math> einem Coxeter-Diagramm entsprechen. Jedes dieser Diagramme entspricht einer endlichen Spiegelungsgruppe.
Literatur
- Coxeter, HSM: Discrete groups generated by reflections, Annals of Mathematics, 35 (3): 588–621, 1934.
- Coxeter, HSM: The complete enumeration of finite groups of the form <math>r_i^2=(r_ir_j)^{k_{ij}}=1</math>, J. London Math. Soc., 1, 10 (1): 21–25, 1935.