Abrundungsfunktion und Aufrundungsfunktion
(Weitergeleitet von Ganzteilfunktion)
Die Abrundungsfunktion (auch Gaußklammer, Ganzzahl-Funktion, Ganzteilfunktion oder Entier-Klammer) und die Aufrundungsfunktion sind Funktionen, die jeder reellen Zahl die nächstliegende nicht größere bzw. nicht kleinere ganze Zahl zuordnen. Die Notation wurde nach Carl Friedrich Gauß benannt, der das Symbol <math>\left[ x \right]</math> für die Abrundungsfunktion 1808 einführte.<ref>Earliest Uses of Function Symbols: Until recently [x] has been the standard symbol for the greatest integer function. According to Grinstein (1970), “The use of the bracket notation, which has led some authors to term this the bracket function, stems back to the work of Gauss (1808) in number theory. The function is also referred to by Legendre who used the now obsolete notation E(x).” The Gauss reference is to Theorematis arithmetici demonstratio nova. Werke Volume: Bd. 2 p. 5. (aufgerufen am 25. Juli 2009).</ref> Ende des 20. Jahrhunderts verbreiteten sich auch die von Kenneth E. Iverson eingeführten Bezeichnungen <math>\operatorname{floor}(x)</math> und <math>\lfloor x \rfloor</math> ({{#invoke:Vorlage:lang|full|CODE=en|SCRIPTING=Latn|SERVICE=englisch}} „Boden“) für die Gaußklammer sowie <math>\operatorname{ceil}(x)</math> und <math>\lceil x \rceil</math> (englisch ceiling „Decke“) für die Aufrundungsfunktion.<ref>Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (C): The terms Ceiling Function and Floor Function appear in Kenneth E. Iverson’s A Programming Language (1962, p. 12): “Two functions are defined: 1. the floor of x (or integral part of x) denoted by <math>\lfloor x \rfloor</math> and defined as the largest integer not exceeding x, 2. the ceiling of x denoted by <math>\lceil x \rceil</math> and defined as the smallest integer not exceeded by x.” This was the first appearance of the terms and symbols, according to R. L. Graham, D. E. Knuth & O. Patashnik Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (1989, p. 67). (aufgerufen am 25. Juli 2009).</ref> Im Deutschen bezieht sich das Wort Gaußklammer ohne weitere Zusätze meist auf die ursprüngliche von Gauß verwendete Notation.<ref>Max Koecher: Klassische elementare Analysis. Springer, 2013, ISBN 978-3-0348-5167-1, S. 115.</ref><ref>Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, 3. Auflage, 2013, ISBN 978-3-642-97622-3, S. 28.</ref> Für die von Iverson eingeführten Varianten werden dann zur Unterscheidung die Bezeichnungen untere Gaußklammer und obere Gaußklammer verwendet.<ref>Jürgen Groß: Grundlegende Statistik mit R: Eine anwendungsorientierte Einführung in die Verwendung der Statistik Software R. Springer, 2010, ISBN 978-3-8348-1039-7, S. 33–34.</ref>
Zeichensatz
Die Zeichen für die Abrundungs- und Aufrundungsfunktion sind weiterentwickelte eckige Klammern und können in den verschiedenen Umgebungen folgendermaßen kodiert werden:
| LEFT FLOOR | ⌊ | U+230A |
(HTML ⌊ | ⌊) | ||
| RIGHT FLOOR | ⌋ | U+230B |
(HTML ⌋ | ⌋) | ||
| LEFT CEILING | ⌈ | U+2308 |
(HTML ⌈ | ⌈) | ||
| RIGHT CEILING | ⌉ | U+2309 |
(HTML ⌉ | ⌉) |
Im Textsatzsystem LaTeX können diese Zeichen im math-Modus als \lfloor, \rfloor, \lceil und \rceil oder seit 2018 auch direkt als Unicode-Zeichen angegeben werden.<ref>{{#if:Vorlage:Cite book/URL|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:{{#if:
|
| {{#if:
| {{#if:
| [[|Vorlage:Cite book/Name]]
| Vorlage:Cite book/Name
}}
}}{{#if:
| {{#if:
| , [[|Vorlage:Cite book/Name]]
| Vorlage:Cite book/Name
}}
}}{{#if:
| {{#if:
| , [[|Vorlage:Cite book/Name]]
| Vorlage:Cite book/Name
}}
}}{{#if:
| {{#if:
| , [[|Vorlage:Cite book/Name]]
| Vorlage:Cite book/Name
}}
}}{{#if:
| {{#if:
| , [[|Vorlage:Cite book/Name]]
| Vorlage:Cite book/Name
}}
}}{{#if:|Vorlage:Cite book/Name}}{{#if:|Vorlage:Cite book/Name}}{{#if:|Vorlage:Cite book/Name}}{{#if:|Vorlage:Cite book/Name}}{{#if:|Vorlage:Cite book/Name}}{{#if:|Vorlage:Cite book/Name}}{{#if:|Vorlage:Cite book/Name}}{{#if:|Vorlage:Cite book/Name}}{{#if:|Vorlage:Cite book/Name}}{{#if:|Vorlage:Cite book/Name}}{{#if:|Vorlage:Cite book/Name}}{{#if:|Vorlage:Cite book/Name}}{{#if:|Vorlage:Cite book/Name}}{{#if:|Vorlage:Cite book/Name}}{{#if:|Vorlage:Cite book/Name}}{{#if:|Vorlage:Cite book/Name}}
}}Vorlage:Cite book/Name|{{#if:
|
| {{#if:
| {{#if:
| [[|Vorlage:Cite book/Name]]
| Vorlage:Cite book/Name
}}
}}{{#if:
| {{#if:
| , [[|Vorlage:Cite book/Name]]
| Vorlage:Cite book/Name
}}
}}{{#if:
| {{#if:
| , [[|Vorlage:Cite book/Name]]
| Vorlage:Cite book/Name
}}
}}{{#if:
| {{#if:
| , [[|Vorlage:Cite book/Name]]
| Vorlage:Cite book/Name
}}
}}{{#if:
| {{#if:
| , [[|Vorlage:Cite book/Name]]
| Vorlage:Cite book/Name
}}
}}{{#if:|Vorlage:Cite book/Name}}{{#if:|Vorlage:Cite book/Name}}{{#if:|Vorlage:Cite book/Name}}{{#if:|Vorlage:Cite book/Name}}{{#if:|Vorlage:Cite book/Name}}{{#if:|Vorlage:Cite book/Name}}{{#if:|Vorlage:Cite book/Name}}{{#if:|Vorlage:Cite book/Name}}{{#if:|Vorlage:Cite book/Name}}{{#if:|Vorlage:Cite book/Name}}{{#if:|Vorlage:Cite book/Name}}{{#if:|Vorlage:Cite book/Name}}{{#if:|Vorlage:Cite book/Name}}{{#if:|Vorlage:Cite book/Name}}{{#if:|Vorlage:Cite book/Name}}{{#if:|Vorlage:Cite book/Name}}
}}Vorlage:Cite book/Name: }}{{#if:Vorlage:Cite book/URL|{{#if:{{#if: LaTeX News, Issue 28 | {{#invoke: WLink|getEscapedTitle|1=LaTeX News, Issue 28}} | ? }}|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1=Vorlage:Cite book/URL}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#if: LaTeX News, Issue 28 | {{#invoke: WLink|getEscapedTitle|1=LaTeX News, Issue 28}} | ? }}}}]{{#if:PDF; 379 KB| (PDF; 379 KB)}}{{#if:{{#if: | ( }}{{#if: | Originaltitel: {{{script-title}}} }}{{#if: | {{#if: | , }}deutsch: {{{trans-title}}} }}{{#if: | ) }}| {{#if: | ( }}{{#if: | Originaltitel: {{{script-title}}} }}{{#if: | {{#if: | , }}deutsch: {{{trans-title}}} }}{{#if: | ) }}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{#if: | ( }}{{#if: | Originaltitel: {{{script-title}}} }}{{#if: | {{#if: | , }}deutsch: {{{trans-title}}} }}{{#if: | ) }}}}}}}}|{{#if:https://www.latex-project.org/news/latex2e-news/ltnews28.pdf%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7CVorlage:Cite book/URL}}|{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1={{#if: LaTeX News, Issue 28 | {{#invoke: WLink|getEscapedTitle|1=LaTeX News, Issue 28}} | ? }}}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.latex-project.org/news/latex2e-news/ltnews28.pdf}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1={{#if: LaTeX News, Issue 28 | {{#invoke: WLink|getEscapedTitle|1=LaTeX News, Issue 28}} | ? }}}}}}]}}{{#if:PDF; 379 KB| (PDF; 379 KB{{#if:{{#if: | ( }}{{#if: | Originaltitel: {{{script-title}}} }}{{#if: | {{#if: | , }}deutsch: {{{trans-title}}} }}{{#if: | ) }}Vorlage:Cite book/URLThe LaTeX Project {{#if: | via {{{via}}} }}Vorlage:Cite book/DateVorlage:Cite book/URL{{#if: {{#if: 2024-07-27
| {{#iferror: {{#invoke:DateTime|format|2024-07-27|ISO}}
| 0001-01-01
}}
| 0001-01-01
}} | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|{{#if: 2024-07-27
| {{#if: {{#invoke:DateTime|format|2024-07-27|ISO|noerror=1}} || 1 }}
| 1
}}}}||1}}}}
| )
| {{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}{{#if: | {{{at}}}{{#if: | , }}}}{{#if: | {{{id}}}{{#if: | , }}}}{{#if: | {{{doi}}}{{#if: | , }}}}{{#if: | PMID {{{pmid}}}{{#if: | , }}}}{{#if: | {{{arxiv}}}{{#if: | , }}}}{{#if: | Bibcode: {{{bibcode}}}{{#if: | , }}}}{{#if: | Volltext bei PMC: {{{pmc}}}{{#if: | , }}}}| ;
| )}}}}}}{{#if:{{#if: | ( }}{{#if: | Originaltitel: {{{script-title}}} }}{{#if: | {{#if: | , }}deutsch: {{{trans-title}}} }}{{#if: | ) }}| {{#if: | ( }}{{#if: | Originaltitel: {{{script-title}}} }}{{#if: | {{#if: | , }}deutsch: {{{trans-title}}} }}{{#if: | ) }}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{#if: | ( }}{{#if: | Originaltitel: {{{script-title}}} }}{{#if: | {{#if: | , }}deutsch: {{{trans-title}}} }}{{#if: | ) }}}}}}}}}}{{#if:https://www.latex-project.org/news/latex2e-news/ltnews28.pdf%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=https://www.latex-project.org/news/latex2e-news/ltnews28.pdf}}%7C%7C}}}}{{#if:{{#if: LaTeX News, Issue 28 | {{#invoke: WLink|getEscapedTitle|1=LaTeX News, Issue 28}} | ? }}|{{#if:{{#invoke:WLink|isValidLinktext|1={{#if: LaTeX News, Issue 28 | {{#invoke: WLink|getEscapedTitle|1=LaTeX News, Issue 28}} | ? }}|lines=0}}||}}}}{{#if: | In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=}}}}{{#if: The LaTeX Project {{#if: | via {{{via}}} }}| The LaTeX Project {{#if: | via {{{via}}} }}{{#if: Vorlage:Cite book/DateVorlage:Cite book/URL|,|{{#if: {{#if: 2024-07-27
| {{#iferror: {{#invoke:DateTime|format|2024-07-27|ISO}}
| 0001-01-01
}}
| 0001-01-01
}} | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|{{#if: 2024-07-27
| {{#if: {{#invoke:DateTime|format|2024-07-27|ISO|noerror=1}} || 1 }}
| 1
}}}}||,}}}}}}}}{{#if: Vorlage:Cite book/Date| {{#if:{{#invoke:DateTime|format|Vorlage:Cite book/Date|noerror=1}}
|{{#invoke:DateTime|format|Vorlage:Cite book/Date|T._Monat JJJJ}}
|{{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, datum=Vorlage:Cite book/Date|class=Zitationswartung}} }}{{#if: Vorlage:Cite book/URL|,|{{#if: {{#if: 2024-07-27
| {{#iferror: {{#invoke:DateTime|format|2024-07-27|ISO}}
| 0001-01-01
}}
| 0001-01-01
}} | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|{{#if: 2024-07-27
| {{#if: {{#invoke:DateTime|format|2024-07-27|ISO|noerror=1}} || 1 }}
| 1
}}}}||,}}}}}}}}{{#if: | S. {{#if: Vorlage:Cite book/URL|,|{{#if: {{#if: 2024-07-27
| {{#iferror: {{#invoke:DateTime|format|2024-07-27|ISO}}
| 0001-01-01
}}
| 0001-01-01
}} | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|{{#if: 2024-07-27
| {{#if: {{#invoke:DateTime|format|2024-07-27|ISO|noerror=1}} || 1 }}
| 1
}}}}||,}}}}}}}}{{#if: Vorlage:Cite book/URL{{#invoke:TemplUtl|faculty|Vorlage:Cite book/URL}}| {{#if:Vorlage:Cite book/DateThe LaTeX Project {{#if: | via {{{via}}} }}|{{#if:Vorlage:Cite book/URL|archiviert|ehemals}}|{{#if:Vorlage:Cite book/URL|Archiviert|Ehemals}}}} {{#if:Vorlage:Cite book/URL|vom|im}} Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|Vorlage:Cite book/URL}}| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: Vorlage:Cite book/URL| am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}|Vorlage:Cite book/URL{{#if:32000||(?)}}}}}}{{#if: {{#if: 2024-07-27
| {{#iferror: {{#invoke:DateTime|format|2024-07-27|ISO}}
| 0001-01-01
}}
| 0001-01-01
}}|;}}}}{{#if: {{#if: 2024-07-27
| {{#iferror: {{#invoke:DateTime|format|2024-07-27|ISO}}
| 0001-01-01
}}
| 0001-01-01
}}| {{#if:Vorlage:Cite book/DateThe LaTeX Project {{#if: | via {{{via}}} }}Vorlage:Cite book/URL{{#invoke:TemplUtl|faculty|Vorlage:Cite book/URL}}|abgerufen|Abgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str|len| {{#invoke:DateTime|format| {{#if: 2024-07-27
| {{#iferror: {{#invoke:DateTime|format|2024-07-27|ISO}}
| 0001-01-01
}}
| 0001-01-01
}} |ISO|noerror=1}} }}
|4=im Jahr
|7=im
|10=am
|#default={{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, abruf={{#if: 2024-07-27
| {{#iferror: {{#invoke:DateTime|format|2024-07-27|ISO}}
| 0001-01-01
}}
| 0001-01-01
}}|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime|format|{{#if: 2024-07-27
| {{#iferror: {{#invoke:DateTime|format|2024-07-27|ISO}}
| 0001-01-01
}}
| 0001-01-01
}}|T._Monat JJJJ}}
| {{#invoke:TemplUtl|failure|1=Vorlage:Internetquelle | abruf=2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} }}{{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}{{#if: | {{{at}}}{{#if: | , }}}}{{#if: | {{{id}}}{{#if: | , }}}}{{#if: | {{{doi}}}{{#if: | , }}}}{{#if: | PMID {{{pmid}}}{{#if: | , }}}}{{#if: | {{{arxiv}}}{{#if: | , }}}}{{#if: | Bibcode: {{{bibcode}}}{{#if: | , }}}}{{#if: | Volltext bei PMC: {{{pmc}}}{{#if: | , }}}}|{{#if:{{#if: | ( }}{{#if: | Originaltitel: {{{script-title}}} }}{{#if: | {{#if: | , }}deutsch: {{{trans-title}}} }}{{#if: | ) }}Vorlage:Cite book/URLThe LaTeX Project {{#if: | via {{{via}}} }}Vorlage:Cite book/DateVorlage:Cite book/URL{{#if: {{#if: 2024-07-27
| {{#iferror: {{#invoke:DateTime|format|2024-07-27|ISO}}
| 0001-01-01
}}
| 0001-01-01
}} | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|{{#if: 2024-07-27
| {{#if: {{#invoke:DateTime|format|2024-07-27|ISO|noerror=1}} || 1 }}
| 1
}}}}||1}}}}
| (
| {{#if:PDF; 379 KB | | (}}
}}{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||
{{#invoke:Multilingual|format|en|slang=!|split=[%s,]+|shift=m|separator=, }}}}{{#if: {{#if: | {{{at}}}{{#if: | , }}}}{{#if: | {{{id}}}{{#if: | , }}}}{{#if: | {{{doi}}}{{#if: | , }}}}{{#if: | PMID {{{pmid}}}{{#if: | , }}}}{{#if: | {{{arxiv}}}{{#if: | , }}}}{{#if: | Bibcode: {{{bibcode}}}{{#if: | , }}}}{{#if: | Volltext bei PMC: {{{pmc}}}{{#if: | , }}}}|{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||, }}{{#if: | {{{at}}}{{#if: | , }}}}{{#if: | {{{id}}}{{#if: | , }}}}{{#if: | {{{doi}}}{{#if: | , }}}}{{#if: | PMID {{{pmid}}}{{#if: | , }}}}{{#if: | {{{arxiv}}}{{#if: | , }}}}{{#if: | Bibcode: {{{bibcode}}}{{#if: | , }}}}{{#if: | Volltext bei PMC: {{{pmc}}}{{#if: | , }}}}}})}}{{#if: Vorlage:Cite book/DateVorlage:Cite book/URL{{#if: {{#if: 2024-07-27
| {{#iferror: {{#invoke:DateTime|format|2024-07-27|ISO}}
| 0001-01-01
}}
| 0001-01-01
}} | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|{{#if: 2024-07-27
| {{#if: {{#invoke:DateTime|format|2024-07-27|ISO|noerror=1}} || 1 }}
| 1
}}}}||1}} }}en{{#if: | {{{at}}}{{#if: | , }}}}{{#if: | {{{id}}}{{#if: | , }}}}{{#if: | {{{doi}}}{{#if: | , }}}}{{#if: | PMID {{{pmid}}}{{#if: | , }}}}{{#if: | {{{arxiv}}}{{#if: | , }}}}{{#if: | Bibcode: {{{bibcode}}}{{#if: | , }}}}{{#if: | Volltext bei PMC: {{{pmc}}}{{#if: | , }}}}|{{#if: |: {{
#if:
| „{{
#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| Vorlage:Str trim
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
}}“
| {{#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| „Vorlage:Str trim“
| {{#invoke:Text|quote
|1={{#if:
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} }}
|2={{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|de-CH|de}}
|3=1}} }}
}}{{#if:
| (<templatestyles src="Person/styles.css" />{{#if: | : }}{{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if:
| ({{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if: | (deutsch: „“) }}
}}
}}{{#if:
| {{#if:
| {{#if:
| Vorlage:": Text= und 1= gleichzeitig, bzw. Pipe zu viel }} }}
| Vorlage:": Text= fehlt }}{{#if: | {{#if: {{#invoke:Text|unstrip|{{{ref}}}}}
| Vorlage:": Ungültiger Wert: ref=
| {{{ref}}} }}
}}|.{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|Vorlage:Cite book/URL}}|{{#if:Vorlage:Cite book/URL||{{#ifeq: Vorlage:Cite book/URL | JaKeinHinweis |{{#switch:
|0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://www.latex-project.org/news/latex2e-news/ltnews28.pdf | {{#if: | [1] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.latex-project.org/news/latex2e-news/ltnews28.pdf | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.latex-project.org/news/latex2e-news/ltnews28.pdf}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://www.latex-project.org/news/latex2e-news/ltnews28.pdf Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.latex-project.org/news/latex2e-news/ltnews28.pdf | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.latex-project.org/news/latex2e-news/ltnews28.pdf}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://www.latex-project.org/news/latex2e-news/ltnews28.pdf }}|{{#switch: |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://www.latex-project.org/news/latex2e-news/ltnews28.pdf | {{#if: | [2] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.latex-project.org/news/latex2e-news/ltnews28.pdf | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.latex-project.org/news/latex2e-news/ltnews28.pdf}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://www.latex-project.org/news/latex2e-news/ltnews28.pdf Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.latex-project.org/news/latex2e-news/ltnews28.pdf | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.latex-project.org/news/latex2e-news/ltnews28.pdf}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://www.latex-project.org/news/latex2e-news/ltnews28.pdf }} }}}}}}}}}}{{#if:| {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivBot|stamp=|text={{#if:Vorlage:Cite book/URL|Vorlage:Webarchiv/archiv-bot}}
}}}}{{#invoke:TemplatePar|check |all= url= titel= |opt= autor= hrsg= format= sprache= titelerg= werk= seiten= datum= abruf= zugriff= abruf-verborgen= archiv-url= archiv-datum= archiv-bot= kommentar= zitat= AT= CH= offline= |cat= {{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Internetquelle}} |template= Vorlage:Internetquelle |format=0 |preview=1 }}{{#invoke:TemplatePar|check
|all = url= title= |opt = script-title= trans-title= archive-url= archiveurl= archive-date= archivedate= authors= vauthors= author= author1= authorlink= authorlink1= author-link= author-link1= author2= author-link2= author3= author-link3= author4= author-link4= author5= author-link5= author6= author7= author8= author9= last= first= last1= first1= last2= first2= last3= first3= last4= first4= last5= first5= last6= first6= last7= first7= last8= first8= last9= first9= others= language= lang= format= website= work= publisher= via= pages= page= at= date= year= id= bibcode= doi= pmid= pmc= arxiv= archivedate= archive-date= archivebot= accessdate= access-date= quote= comment= url-status= ref= url-access= orig-year= editor= editor-link= editor-last= editor-first= editor1-link= editor1-last= editor1-first= editor2= editor2-last= editor2-first= editor2-link= department= series= agency= location= place= publication-place= publication-date= type= asin= doi-broken-date= isbn= issn= jfm= jstor= lccn= mr= oclc= ol= osti= rfc= ssrn= zbl= postscript= df= mode= display-authors= display-editors= book-title= contribution-url= offline= coauthors= month= authorlink2= authorlink3= authorlink4= authorlink5= last10= first10= last11= first11= last12= first12= last13= first13= last14= first14= last15= first15= last16= first16= last17= first17= last18= first18= last19= first19= last20= first20= last21= first21= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Cite web |errNS = 0 |template = Vorlage:Cite web |format = |preview = 1 }}Vorlage:Cite book/URL{{#if: Vorlage:Cite book/Webarchiv | Vorlage:Cite book/Meldung }}{{#if: | Vorlage:Cite book/Meldung }}Vorlage:Cite book/Meldung2{{#if: Vorlage:Cite book/ParamBool | Vorlage:Cite book/Meldung }}{{#if: Vorlage:Cite book/ParamBool | Vorlage:Cite book/Meldung }}{{#if: Vorlage:Cite book/ParamBool | Vorlage:Cite book/Meldung }}{{#if: Vorlage:Cite book/ParamBool | Vorlage:Cite book/Meldung }}{{#if: Vorlage:Cite book/ParamBool | Vorlage:Cite book/Meldung }}{{#ifexpr: {{#ifeq:^^|^^|0|1}}{{#ifeq:^^|^^||+1}}{{#ifeq:^^|^^||+1}}{{#ifeq:^^|^^||+1}} > 1 | Vorlage:Cite book/Meldung }}{{#ifexpr: {{#ifeq:^^|^^|0|1}}{{#ifeq:^^|^^||+1}}{{#ifeq:^^|^^||+1}}{{#ifeq:^^|^^||+1}} > 1 | Vorlage:Cite book/Meldung }}{{#ifexpr: {{#ifeq:^^|^^|0|1}}{{#ifeq:^^|^^||+1}} > 1 | Vorlage:Cite book/Meldung }}{{#ifexpr: {{#ifeq:^^|^^|0|1}}{{#ifeq:^^|^^||+1}} > 1 | Vorlage:Cite book/Meldung }}{{#ifexpr: {{#ifeq:^^|^^|0|1}}{{#ifeq:^^|^^||+1}} > 1 | Vorlage:Cite book/Meldung }}{{#ifexpr: {{#ifeq:^^|^^|0|1}}{{#ifeq:^^|^^||+1}} > 1 | Vorlage:Cite book/Meldung }}{{#ifexpr: {{#ifeq:2024-07-27|^^|0|1}}{{#ifeq:^^|^^||+1}} > 1 | Vorlage:Cite book/Meldung }}{{#ifexpr: {{#ifeq:en|^^|0|1}}{{#ifeq:^^|^^||+1}} > 1 | Vorlage:Cite book/Meldung }}{{#ifexpr: {{#ifeq:^^|^^|0|1}}{{#ifeq:^^|^^||+1}} > 1 | Vorlage:Cite book/Meldung }}</ref>
Abrundungsfunktion oder Gaußklammer
{{#invoke:Vorlage:Anker|f |errCat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Anker |errHide=1}}
Definition
Für eine reelle Zahl <math>x</math> ist <math>\lfloor x \rfloor</math> die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich <math>x</math> ist:
- <math>\lfloor x \rfloor := \max \{k\in\Z \mid k \leq x\}</math>
Beispiele
- <math>\lfloor 2{,}8 \rfloor = 2</math>
- <math>\lfloor -2{,}8 \rfloor = -3</math>
- Man beachte, dass <math>\lfloor -2{,}8 \rfloor</math> nicht etwa gleich <math>-2</math> ist. Die Definition verlangt ja <math>\lfloor x \rfloor \le x</math>, und es ist <math>-2 > -2{,}8</math>.
- <math>\lfloor -2{,}2 \rfloor = -3</math>
- <math>\lfloor 2 \rfloor = 2</math>
Eigenschaften
- Für alle <math>k \in \Z, x \in \R</math> gilt
- <math>k \leq \lfloor x \rfloor \Longleftrightarrow k \leq x</math>.
- Es gilt immer <math>\lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor+1</math>. Dabei ist <math>\lfloor x \rfloor = x </math> genau dann, wenn <math>x</math> eine ganze Zahl ist.
- Für jede ganze Zahl <math>k</math> und jede reelle Zahl <math>x</math> gilt
- <math>\lfloor x+k \rfloor = \lfloor x \rfloor + k</math>.
- Für alle reellen Zahlen <math>x, y</math> gilt
- <math>\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \le \lfloor x+y \rfloor \le \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1</math>.
- Für jede ganze Zahl <math>k</math> und jede natürliche Zahl <math>n</math> gilt
- <math>\left\lfloor \frac{k}{n} \right\rfloor \ge \frac{k-n+1}{n}</math>.
- Die Abrundungsfunktion ist idempotent: Es gilt
- <math>\bigl\lfloor \lfloor x \rfloor \bigr\rfloor = \lfloor x \rfloor</math>.
- Sind <math>m</math> und <math>n</math> teilerfremde natürliche Zahlen, dann gilt
- <math>\sum_{j=1}^{n-1} \left \lfloor \frac{jm}{n} \right \rfloor = \frac{(m-1)(n-1)}{2}</math>.
- Die Abrundungsfunktion ist nicht stetig, aber oberhalbstetig.
- Für nichtganze reelle <math>x</math> konvergiert die Fourierreihe der <math>1</math>-periodischen Funktion <math>\lfloor x \rfloor-x</math>, und es gilt
- <math>\lfloor x \rfloor = x-\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin{(2k\pi x)}}{k}</math>.
- Sind <math>m \in \Z</math> und <math>n \in \N</math>, so gilt
<math>\left\lfloor \frac{x+m}{n} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{\lfloor x \rfloor +m}{n} \right\rfloor</math>.
Daraus folgt für <math>m \neq 0</math> direkt
<math>\left\lfloor \frac{\lfloor x/m \rfloor}{n} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{x}{mn} \right\rfloor</math>. - Für reelle Zahlen <math>x, y \geq 0</math> gilt außerdem
<math>\lfloor x \rfloor \cdot \lfloor y \rfloor \leq \lfloor x \cdot y \rfloor</math>.
Programmierung
Programmiersprachen setzen dies mit Funktionen wie Int, Round, Ceil/Ceiling, Floor oder entier um.
Aufrundungsfunktion
Definition
Für eine reelle Zahl <math>x</math> ist <math>\lceil x \rceil</math> die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich <math>x</math> ist.
- <math>\lceil x \rceil := \min \{k\in\Z \mid k \ge x\}</math>
Beispiele
- <math>\lceil 2{,}8 \rceil = 3</math>
- <math>\lceil 2{,}3 \rceil = 3</math>
- <math>\lceil -2{,}8 \rceil = -2</math>
- <math>\lceil 2 \rceil = 2</math>
Eigenschaften
- Es gilt
- <math>\lceil \lceil x \rceil \rceil = \lceil x \rceil</math>.
- Sind <math>m \in \Z</math> und <math>n \in \N</math>, so gilt
- <math>\left\lceil \frac{x+m}{n} \right\rceil = \left\lceil \frac{\lceil x \rceil +m}{n} \right\rceil</math>.
- Daraus folgt für <math>m \neq 0</math> direkt
- <math>\left\lceil \frac{\lceil x/m \rceil}{n} \right\rceil = \left\lceil \frac{x}{mn} \right\rceil</math>.
Programmierung
Programmiersprachen setzen dies mit Funktionen wie ceil() oder ceiling um.
Allgemeine Eigenschaften
Gaußklammer und Dezimalstellen
Für positive Zahlen gilt
- <math>x = \lfloor x \rfloor + \operatorname{frac} (x)</math>.
Die Funktion <math>\operatorname{frac} (x)</math> liefert dabei den Nachkommaanteil mit <math>0 \leq \operatorname{frac} (x) < 1</math>.
Zusammenhänge zwischen Auf- und Abrundungsfunktion
- Es ist stets
<math>\lceil x \rceil + \lfloor -x \rfloor = 0</math>.
Deshalb erhält man die Aufrundungsfunktion aus der Gaußklammerfunktion per
<math>\lceil x \rceil = -\lfloor -x \rfloor</math>. - Es ist stets
<math>\left\lceil x \right\rceil \leq y \Longleftrightarrow x \leq \left\lfloor y \right\rfloor</math>,
<math>\left\lfloor x \right\rfloor < y \Longleftrightarrow x < \left\lceil y \right\rceil</math>. - Für ganze Zahlen <math>k</math> gilt
<math>\left\lfloor \frac{k}{2} \right\rfloor + \left\lceil \frac{k}{2} \right\rceil = k</math>. - Für reelle Zahlen <math>x,y</math> mit <math>y \ne 0</math> gilt
<math>\left\lceil \frac{x+1}{y} \right\rceil - \left\lfloor \frac{x}{y} \right\rfloor = 1</math>.
Kaufmännische Rundung
Die kaufmännische Rundung auf die nächstliegende ganze Zahl kann auch mit diesen Funktionen ausgedrückt werden:
- <math>\lfloor x + 0{,}5 \rfloor</math> für <math>x \ge 0</math>,
- <math>\lceil x - 0{,}5 \rceil</math> für <math>x < 0</math>.
Weblinks
- {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Floor Function. In: MathWorld (englisch). {{#if: FloorFunction | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | FloorFunction | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
- {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Ceiling Function. In: MathWorld (englisch). {{#if: CeilingFunction | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | CeilingFunction | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
Einzelnachweise
<references />
Kategorien:
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Parameter:URL
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Parameter:Linktext
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Parameter:Datum
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:"
- Wikipedia:Weblink offline fix-attempted
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link/URL fehlt
- Wikipedia:Wikidata P2812 verschieden
- Wikipedia:Wikidata P2812 fehlt
- Rundung
- Mathematische Funktion
- Zahlentheorie
- Carl Friedrich Gauß