Hamiltonsche Gruppe

In der Gruppentheorie nennt man eine Gruppe dedekindsche Gruppe (nach Richard Dedekind), wenn jede Untergruppe ein Normalteiler ist. Offenbar ist jede abelsche Gruppe eine dedekindsche Gruppe. Die nicht-abelschen unter ihnen werden hamiltonsche Gruppen genannt (nach William Rowan Hamilton).

Die hamiltonschen Gruppen können nach einem auf Dedekind zurückgehenden Satz vollständig angegeben werden:<ref>Bertram Huppert: Endliche Gruppen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Bd. 134). Band 1. Springer, Berlin u. a. 1967, Satz III,7.12.</ref>

Jede endliche hamiltonsche Gruppe <math>G</math> ist von der Form <math>G\cong Q_8\times A \times (\Z/2\Z)^n</math>, wobei
- <math>Q_8</math> die Quaternionengruppe ist,
- <math>A</math> eine abelsche Gruppe ungerader Ordnung ist
- und <math>n\in \N_0</math> ist.

Ist <math>n=0</math>, so fehlt der dritte Faktor. Die Gruppe <math>A</math> kann einelementig sein, dann fehlt der zweite Faktor. Die Quaternionengruppe ist daher die kleinste hamiltonsche Gruppe und jede hamiltonsche Gruppe enthält einen zur Quaternionengruppe isomorphen direkten Faktor.

Demnach sind <math>Q_8 \times Q_8</math> und <math>Q_8 \times \Z/4\Z</math> keine hamiltonschen Gruppen. In der Tat sind <math>\{(q,q); q\in Q_8\}</math> bzw. <math>\{(1,\overline{0}), (i,\overline{1}), (-1,\overline{2}), (-i,\overline{3})\}\,</math> nicht-normale Untergruppen, wobei wie üblich <math>Q_8\,=\,\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}</math> und <math>\Z/4\Z = \{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3}\}</math> sei.

Weblinks

Richard Dedekind: Ueber Gruppen, deren sämmtliche Theiler Normaltheiler sind. In: Mathematische Annalen. Bd. 84, Nr. 4, 1897, S. 548–561, Göttinger Digitalisierungszentrum.

Einzelnachweise