Spezielle lineare Gruppe
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Die spezielle lineare Gruppe vom Grad <math>n</math> über einem Körper <math>K</math> (oder allgemeiner einem kommutativen, unitären Ring) ist die Gruppe aller <math>n\times n</math> Matrizen mit Koeffizienten aus <math>K</math>, deren Determinante 1 beträgt; diese werden auch unimodulare Matrizen genannt.<ref>Miller, G. A. (1930). On the history of determinants. The American Mathematical Monthly, 37(5), 216-219.</ref><ref>Eric W. Weisstein: Determinant. In: MathWorld (englisch). </ref> Die Gruppenverknüpfung ist die Matrizenmultiplikation.
Die spezielle lineare Gruppe vom Grad <math>n</math> über <math>K</math> wird mit <math>\operatorname{SL}(n, K)</math> bezeichnet. Wenn aus dem Kontext klar ist, dass der Körper die Menge <math>\R</math> der reellen oder <math>\Complex</math> der komplexen Zahlen ist, schreibt man auch <math>\operatorname{SL}(n)</math> oder <math>\operatorname{SL}_n</math>.
Eigenschaften
Die spezielle lineare Gruppe <math>\operatorname{SL}(n, K)</math> ist ein Normalteiler der allgemeinen linearen Gruppe <math>\operatorname{GL}(n, K)</math>.
Die Faktorgruppe <math>\operatorname{GL}(n, K)/\operatorname{SL}(n, K)</math> ist isomorph zu <math>K^*</math>, der Einheitengruppe von <math>K</math> (für einen Körper <math>K</math> ist <math>K^*</math> gleich <math>K \setminus\{0\}</math>). Der Beweis erfolgt über den Homomorphiesatz mit der Determinante als Homomorphismus.
Wichtige Untergruppen der <math>\operatorname{SL}(n, K)</math> sind für <math>K = \R</math> die spezielle orthogonale Gruppe <math>\operatorname{SO}(n)</math> und für <math>K = \Complex</math> die spezielle unitäre Gruppe <math>\operatorname{SU}(n)</math>.
Die spezielle lineare Gruppe <math>\operatorname{SL}(n, K)</math> über dem Körper <math>K = \R</math> oder <math>K = \Complex</math> ist eine Lie-Gruppe über <math>K</math> der Dimension <math>n^2-1</math>.
Die speziellen linearen Gruppen sind algebraische Gruppen, da die Bedingung, dass die Determinante gleich 1 sein muss, durch eine polynomiale Gleichung in den Matrix-Koeffizienten ausgedrückt werden kann.
Die spezielle lineare Gruppe <math>\operatorname{SL}(n, K)</math> beinhaltet alle orientierungstreuen und volumenerhaltenden linearen Abbildungen.
Siehe auch
Einzelnachweise
<references/>