Quasi-Diedergruppe

In der Mathematik sind Quasi-Diedergruppen gewisse endliche nicht-abelsche Gruppen der Ordnung <math>2^n</math>, wobei <math>n \geq 4</math> ist.

Definition

Eine Quasi-Diedergruppe ist eine Gruppe, die von zwei Elementen <math>a</math> und <math>b</math> der Form

<math>\langle a, b \mid a^{2^{n-1}} = b^2 = 1, bab = a^{2^{n-2}-1} \rangle</math>

mit <math>n \geq 4</math> erzeugt wird.

Anzahl Elemente

Aus <math>bab = a^{2^{n-2}-1}</math> folgt wegen <math>b^2=1</math>, dass <math>ba = a^{2^{n-2}-1}b</math>. Also kann jedes endliche Produkt der Erzeuger <math>a</math> und <math>b</math> der Quasi-Diedergruppe durch Anwendung dieser Regel auf die Form <math>a^ib^j</math> gebracht werden. Wegen <math>a^{2^{n-1}} = b^2 = 1</math> folgt:

Die Quasi-Diedergruppe hat 2ⁿ Elemente: <math>\{1,a,a^2,\ldots, a^{2^{n-1}},b,ba,ba^2,\ldots,ba^{2^{n-1}}\}</math>

Beispiel

Die kleinste Quasi-Diedergruppe hat die Ordnung <math>16</math> und wird von zwei Elementen <math>a</math> und <math>b</math> erzeugt, die die Gleichungen <math>a^8 = b^2 = 1</math> und <math>bab = a^3</math> erfüllen. Da <math>b^2=1</math>, folgt aus der letzten Gleichung nach Rechtsmultiplikation mit <math>b</math>, dass <math>ba = a^3b</math>. Also kann man in einer beliebigen Folge von <math>a</math>'s und <math>b</math>'s jedes vor einem <math>a</math> stehende <math>b</math> hinter das <math>a</math> bringen, wenn man dieses durch <math>a^3</math> ersetzt. Daraus folgt dann, dass alle Elemente dieser Gruppe von der Form <math>1,a,a^2,\ldots, a^7,b,ab,\ldots, a^7b</math> sind. Ferner lassen sich mit obigen Gleichungen sämtliche Multiplikationen in der Gruppe bestimmen. Als Beispiel betrachten wir die beiden Produkte aus <math>a^2</math> und <math>a^3b</math>:

<math>a^2\cdot a^3b = a^5b</math> (denn <math>a^2a^3=a^5</math>)

<math>a^3b\cdot a^2 = a^3a^3ba = a^3a^3a^3b = a^9b = ab</math> (zweimal <math>b</math> nach rechts bringen und <math>a^8=1</math> verwenden)

Insgesamt erhalten wir die folgende Verknüpfungstafel

<math>\,\cdot</math>	<math>\,1</math>	<math>\,a</math>	<math>\,a^2</math>	<math>\,a^3</math>	<math>\,a^4</math>	<math>\,a^5</math>	<math>\,a^6</math>	<math>\,a^7</math>	<math>\,b</math>	<math>\,a b</math>	<math>\,a^2 b</math>	<math>\,a^3 b</math>	<math>\,a^4 b</math>	<math>\,a^5 b</math>	<math>\,a^6 b</math>	<math>\,a^7 b</math>
<math>\,1</math>	<math>\,1</math>	<math>\,a</math>	<math>\,a^2</math>	<math>\,a^3</math>	<math>\,a^4</math>	<math>\,a^5</math>	<math>\,a^6</math>	<math>\,a^7</math>	<math>\,b</math>	<math>\,a b</math>	<math>\,a^2 b</math>	<math>\,a^3 b</math>	<math>\,a^4 b</math>	<math>\,a^5 b</math>	<math>\,a^6 b</math>	<math>\,a^7 b</math>
<math>\,a</math>	<math>\,a</math>	<math>\,a^2</math>	<math>\,a^3</math>	<math>\,a^4</math>	<math>\,a^5</math>	<math>\,a^6</math>	<math>\,a^7</math>	<math>\,1</math>	<math>\,a b</math>	<math>\,a^2 b</math>	<math>\,a^3 b</math>	<math>\,a^4 b</math>	<math>\,a^5 b</math>	<math>\,a^6 b</math>	<math>\,a^7 b</math>	<math>\,b</math>
<math>\,a^2</math>	<math>\,a^2</math>	<math>\,a^3</math>	<math>\,a^4</math>	<math>\,a^5</math>	<math>\,a^6</math>	<math>\,a^7</math>	<math>\,1</math>	<math>\,a</math>	<math>\,a^2 b</math>	<math>\,a^3 b</math>	<math>\,a^4 b</math>	<math>\,a^5 b</math>	<math>\,a^6 b</math>	<math>\,a^7 b</math>	<math>\,b</math>	<math>\,a b</math>
<math>\,a^3</math>	<math>\,a^3</math>	<math>\,a^4</math>	<math>\,a^5</math>	<math>\,a^6</math>	<math>\,a^7</math>	<math>\,1</math>	<math>\,a</math>	<math>\,a^2</math>	<math>\,a^3 b</math>	<math>\,a^4 b</math>	<math>\,a^5 b</math>	<math>\,a^6 b</math>	<math>\,a^7 b</math>	<math>\,b</math>	<math>\,a b</math>	<math>\,a^2 b</math>
<math>\,a^4</math>	<math>\,a^4</math>	<math>\,a^5</math>	<math>\,a^6</math>	<math>\,a^7</math>	<math>\,1</math>	<math>\,a</math>	<math>\,a^2</math>	<math>\,a^3</math>	<math>\,a^4 b</math>	<math>\,a^5 b</math>	<math>\,a^6 b</math>	<math>\,a^7 b</math>	<math>\,b</math>	<math>\,a b</math>	<math>\,a^2 b</math>	<math>\,a^3 b</math>
<math>\,a^5</math>	<math>\,a^5</math>	<math>\,a^6</math>	<math>\,a^7</math>	<math>\,1</math>	<math>\,a</math>	<math>\,a^2</math>	<math>\,a^3</math>	<math>\,a^4</math>	<math>\,a^5 b</math>	<math>\,a^6 b</math>	<math>\,a^7 b</math>	<math>\,b</math>	<math>\,a b</math>	<math>\,a^2 b</math>	<math>\,a^3 b</math>	<math>\,a^4 b</math>
<math>\,a^6</math>	<math>\,a^6</math>	<math>\,a^7</math>	<math>\,1</math>	<math>\,a</math>	<math>\,a^2</math>	<math>\,a^3</math>	<math>\,a^4</math>	<math>\,a^5</math>	<math>\,a^6 b</math>	<math>\,a^7 b</math>	<math>\,b</math>	<math>\,a b</math>	<math>\,a^2 b</math>	<math>\,a^3 b</math>	<math>\,a^4 b</math>	<math>\,a^5 b</math>
<math>\,a^7</math>	<math>\,a^7</math>	<math>\,1</math>	<math>\,a</math>	<math>\,a^2</math>	<math>\,a^3</math>	<math>\,a^4</math>	<math>\,a^5</math>	<math>\,a^6</math>	<math>\,a^7 b</math>	<math>\,b</math>	<math>\,a b</math>	<math>\,a^2 b</math>	<math>\,a^3 b</math>	<math>\,a^4 b</math>	<math>\,a^5 b</math>	<math>\,a^6 b</math>
<math>\,b</math>	<math>\,b</math>	<math>\,a^3 b</math>	<math>\,a^6 b</math>	<math>\,a b</math>	<math>\,a^4 b</math>	<math>\,a^7 b</math>	<math>\,a^2 b</math>	<math>\,a^5 b</math>	<math>\,1</math>	<math>\,a^3</math>	<math>\,a^6</math>	<math>\,a</math>	<math>\,a^4</math>	<math>\,a^7</math>	<math>\,a^2</math>	<math>\,a^5</math>
<math>\,a b</math>	<math>\,a b</math>	<math>\,a^4 b</math>	<math>\,a^7 b</math>	<math>\,a^2 b</math>	<math>\,a^5 b</math>	<math>\,b</math>	<math>\,a^3 b</math>	<math>\,a^6 b</math>	<math>\,a</math>	<math>\,a^4</math>	<math>\,a^7</math>	<math>\,a^2</math>	<math>\,a^5</math>	<math>\,1</math>	<math>\,a^3</math>	<math>\,a^6</math>
<math>\,a^2 b</math>	<math>\,a^2 b</math>	<math>\,a^5 b</math>	<math>\,b</math>	<math>\,a^3 b</math>	<math>\,a^6 b</math>	<math>\,a b</math>	<math>\,a^4 b</math>	<math>\,a^7 b</math>	<math>\,a^2</math>	<math>\,a^5</math>	<math>\,1</math>	<math>\,a^3</math>	<math>\,a^6</math>	<math>\,a</math>	<math>\,a^4</math>	<math>\,a^7</math>
<math>\,a^3 b</math>	<math>\,a^3 b</math>	<math>\,a^6 b</math>	<math>\,a b</math>	<math>\,a^4 b</math>	<math>\,a^7 b</math>	<math>\,a^2 b</math>	<math>\,a^5 b</math>	<math>\,b</math>	<math>\,a^3</math>	<math>\,a^6</math>	<math>\,a</math>	<math>\,a^4</math>	<math>\,a^7</math>	<math>\,a^2</math>	<math>\,a^5</math>	<math>\,1</math>
<math>\,a^4 b</math>	<math>\,a^4 b</math>	<math>\,a^7 b</math>	<math>\,a^2 b</math>	<math>\,a^5 b</math>	<math>\,b</math>	<math>\,a^3 b</math>	<math>\,a^6 b</math>	<math>\,a b</math>	<math>\,a^4</math>	<math>\,a^7</math>	<math>\,a^2</math>	<math>\,a^5</math>	<math>\,1</math>	<math>\,a^3</math>	<math>\,a^6</math>	<math>\,a</math>
<math>\,a^5 b</math>	<math>\,a^5 b</math>	<math>\,b</math>	<math>\,a^3 b</math>	<math>\,a^6 b</math>	<math>\,a b</math>	<math>\,a^4 b</math>	<math>\,a^7 b</math>	<math>\,a^2 b</math>	<math>\,a^5</math>	<math>\,1</math>	<math>\,a^3</math>	<math>\,a^6</math>	<math>\,a</math>	<math>\,a^4</math>	<math>\,a^7</math>	<math>\,a^2</math>
<math>\,a^6 b</math>	<math>\,a^6 b</math>	<math>\,a b</math>	<math>\,a^4 b</math>	<math>\,a^7 b</math>	<math>\,a^2 b</math>	<math>\,a^5 b</math>	<math>\,b</math>	<math>\,a^3 b</math>	<math>\,a^6</math>	<math>\,a</math>	<math>\,a^4</math>	<math>\,a^7</math>	<math>\,a^2</math>	<math>\,a^5</math>	<math>\,1</math>	<math>\,a^3</math>
<math>\,a^7 b</math>	<math>\,a^7 b</math>	<math>\,a^2 b</math>	<math>\,a^5 b</math>	<math>\,b</math>	<math>\,a^3 b</math>	<math>\,a^6 b</math>	<math>\,a b</math>	<math>\,a^4 b</math>	<math>\,a^7</math>	<math>\,a^2</math>	<math>\,a^5</math>	<math>\,1</math>	<math>\,a^3</math>	<math>\,a^6</math>	<math>\,a</math>	<math>\,a^4</math>

Siehe auch

Literatur

Bertram Huppert: Endliche Gruppen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Bd. 134, {{#invoke:URIutil|{{#ifeq:1|1|linkISSN|targetISSN}}|0072-7830|0}}{{#ifeq:1|0|[!]

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}}). Band 1. Springer, Berlin u. a. 1967, S. 90–93.