Artin-Schreier-Theorie

Die Artin-Schreier-Theorie gehört in der Mathematik zur Körpertheorie. Für Körper positiver Charakteristik <math>p</math> beschreibt sie abelsche Galois-Erweiterungen vom Exponenten <math>p</math> und ergänzt damit die Kummer-Theorie. Sie ist benannt nach Emil Artin und Otto Schreier.<ref>Die Originalarbeit ist: Emil Artin, Otto Schreier: Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper. In: Abhandlungen aus dem mathematischen Seminar der Universität Hamburg. Band 5, Nr. 1, 1927, S. 225–231, doi:10.1007/BF02952522. </ref>

Motivation: zyklische Erweiterungen vom Grad p

Sei <math>K</math> ein Körper der Charakteristik <math>p.</math> Der Ausgangspunkt der Artin-Schreier-Theorie ist das Artin-Schreier-Polynom

für ein <math>a\in K.</math> Aus dem kleinen Satz von Fermat oder abstrakter aus den Eigenschaften des Frobeniushomomorphismus folgt: Für <math>c\in\mathbb{F}_p=\Z/p\Z</math> ist <math>f_a(X+c)=f_a(X).</math> Daraus ergibt sich: Ist <math>\omega</math> eine Nullstelle von <math>f_a(X)</math> in einem Erweiterungskörper von <math>K,</math> dann sind die weiteren Nullstellen <math>\omega+1,\omega+2,\dots,\omega+(p-1).</math> Hat <math>f_a(X)</math> keine Nullstelle in <math>K,</math> ist es folglich irreduzibel, und der Erweiterungskörper <math>K(\omega)/K</math> ist galoissch mit Galois-Gruppe <math>\Z/p\Z,</math> erzeugt von <math>\omega\mapsto\omega+1.</math>

Sei umgekehrt <math>L/K</math> eine Galois-Erweiterung vom Grad <math>p</math> und <math>\sigma</math> ein Erzeuger der Galois-Gruppe. Nach dem Normalbasissatz existiert ein <math>x\in L,</math> sodass <math>x,\sigma x,\dots,\sigma^{p-1} x</math> eine Basis von <math>L</math> als <math>K</math>-Vektorraum ist. Nach Konstruktion ist die Spur

<math>\text{Spur}_{L/K}(x)=x+\sigma x+\dots+\sigma^{p-1} x</math>

nicht 0. Setze

<math>\omega=-\frac{1}{\text{Spur}_{L/K}(x)} \sum_{k=1}^{p-1} k\cdot\sigma^k x.</math>

Dann ist

<math>\begin{align}

\sigma(\omega) &= -\frac{1}{\text{Spur}_{L/K}(x)} \sum_{k=1}^{p-1} k\cdot\sigma^{k+1} x \\ &= -\frac{1}{\text{Spur}_{L/K}(x)}\left( \sum_{k=0}^{p-1}(k+1)\cdot\sigma^{k+1} x - \sum_{k=0}^{p-1} \sigma^{k+1} x \right) \\ &= -\frac{1}{\text{Spur}_{L/K}(x)} \sum_{k=1}^p k\cdot\sigma^k x + 1 \\ &= \omega + 1 \end{align}</math> und folglich

<math>\sigma(\omega^p-\omega)=(\sigma\omega)^p-\sigma\omega=(\omega+1)^p-(\omega+1)=\omega^p-\omega.</math>

Daher ist <math>a=\omega^p-\omega</math> invariant unter der Galois-Gruppe, liegt also in <math>K.</math>

Das so konstruierte Element <math>a\in K</math> hängt von der Wahl von <math>x</math> ab, aber in kontrollierter Weise: Ist <math>\omega_1\in L</math> ein anderes Element mit <math>\sigma\omega_1=\omega_1+1,</math> dann ist <math>\sigma(\omega-\omega_1)=(\omega+1)-(\omega_1+1)=\omega-\omega_1,</math> also ist <math>\omega_1=\omega+d</math> mit einem Element <math>d\in K,</math> und

<math>\omega_1^p-\omega_1=(\omega+d)^p-(\omega+d)=\omega^p+d^p-\omega-d=a+(d^p-d).</math>

Folglich ist die Restklasse von <math>a</math> modulo <math>\{d^p-d: d\in K\}</math> eindeutig bestimmt.

Resultate

Sei <math>K</math> ein Körper der Charakteristik <math>p>0.</math>

Sei <math>\wp K=\{d^p-d: d\in K\}.</math> Die Abbildung, die einem Element <math>a\in K</math> den Zerfällungskörper des Polynoms <math>X^p-X-a</math> zuordnet, induziert eine Bijektion von <math>(K/\wp K)\setminus\{0\}</math> auf die Menge der Isomorphieklassen von Galois-Erweiterungen von <math>K</math> vom Grad <math>p.</math>

Die allgemeinere Fassung von Ernst Witt lautet:<ref>Roquette 2001, Kap. 7.2. Die Originalarbeit ist: Ernst Witt: Der Existenzsatz für abelsche Funktionenkörper. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 173, 1935, S. 34–51. </ref>

Sei <math>K^\text{sep}</math> ein separabler Abschluss von <math>K</math> und <math>\wp: K^\text{sep}\to K^\text{sep}</math> der additive Gruppenhomomorphismus <math>x\mapsto x^p-x.</math> Dann gibt es die folgende explizite Bijektion zwischen der Menge der Untergruppen von <math>K/\wp K</math> und der Menge der (nicht notwendigerweise endlichen) abelschen Erweiterungen von <math>K</math> vom Exponenten <math>p</math> (d. h. für jedes Element <math>\sigma</math> der Galoisgruppe gilt <math>\sigma^p=\text{id}</math>): Eine Untergruppe von <math>\Delta\subseteq K/\wp K</math> werde mit ihrem Urbild in <math>K</math> identifiziert. Dann ist <math>K(\wp^{-1}(\Delta))/K</math> die zugehörige abelsche Erweiterung vom Exponenten <math>p.</math> Für endliche Untergruppen <math>\Delta\subseteq K/\wp K</math> ist <math>[K(\wp^{-1}(\Delta)):K]=|\Delta|.</math> Die Umkehrabbildung ordnet einer Erweiterung <math>L/K</math> die Gruppe <math>(K\cap\wp L)/\wp K</math> zu.

Galoiskohomologische Interpretation

Sei weiterhin <math>K</math> ein Körper der Charakteristik <math>p,</math> <math>K^\text{sep}</math> ein separabler Abschluss von <math>K</math> und <math>\wp \colon K^\text{sep}\to K^\text{sep},\ x\mapsto x^p-x.</math> Sei außerdem <math>G_K=\text{Gal}(K^\text{sep}/K)</math> die absolute Galoisgruppe von <math>K.</math> Das Polynom <math>X^p-X-a</math> ist für jedes <math>a\in K^\text{sep}</math> separabel, weil seine Ableitung <math>pX^{p-1}-1=-1</math> ist. Deshalb ist der Homomorphismus <math>\wp \colon K^\text{sep}\to K^\text{sep}</math> surjektiv. Sein Kern ist <math>\mathbb{F}_p=\Z/p\Z.</math> Man erhält also eine kurze exakte Sequenz von <math>G_K</math>-Moduln:

<math>0 \to \Z/p\Z \to K^\text{sep} \stackrel{\wp}{\longrightarrow} K^\text{sep} \to 0.</math>

Sie induziert in der Galoiskohomologie eine lange exakte Sequenz

<math>0 \to \Z/p\Z \to K \stackrel{\wp}{\longrightarrow} K \to \text{Hom}(G_K,\Z/p\Z) \to H^1(G_K, K^\text{sep}) = 0.</math>

Dabei wurde verwendet:

<math>H^0(G_K, K^\text{sep})=K.</math>
<math>H^1(G_K, \Z/p\Z)=\text{Hom}(G_K, \Z/p\Z)</math> (stetige Homomorphismen), weil <math>G_K</math> trivial auf <math>\Z/p\Z</math> operiert.
<math>H^1(G_K, K^\text{sep})=0,</math> weil <math>H^1(G_K, K^\text{sep})=\varinjlim H^1(\text{Gal}(L/K), L)</math> über alle endlichen Galois-Erweiterungen von <math>K</math> ist. Mit einer Verallgemeinerung des oben angegebenen Arguments mit dem Normalbasissatz kann man <math>H^1(\text{Gal}(L/K),L)=0</math> zeigen.

Für die Betrachtung von Erweiterungen vom Grad <math>p</math> ist die allgemeine Aussage aber nicht erforderlich: Sei <math>L/K</math> eine Galois-Erweiterung vom Grad <math>p.</math> Dann ist <math>\text{Gal}(L/K)\cong\Z/p\Z,</math> und durch Verkettung mit der Projektion <math>G_K\to\text{Gal}(L/K)</math> erhält man einen Homomorphismus <math>h \colon G_K\to\Z/p\Z.</math> Mit der Einbettung <math>\Z/p\Z\to K^\text{sep}</math> erhält man einen 1-Kozykel <math>c\in H^1(G_K, K^\text{sep}),</math> der aber schon in der Untergruppe <math>H^1(\text{Gal}(L/K), L)</math> liegt. Das oben konstruierte Element <math>\omega\in L</math> hat die Eigenschaft <math>c(\sigma)=\sigma\omega-\omega</math> für alle <math>\sigma\in\text{Gal}(L/K),</math> also ist <math>c</math> ein 1-Korand. Die allgemeine gruppenkohomologische Konstruktion zeigt, dass <math>\wp(\omega)</math> ein Urbild von <math>h</math> unter dem Verbindungshomomorphismus ist.

Ist umgekehrt <math>a\in K</math> gegeben, kann man ein Urbild <math>\omega\in\wp^{-1}(a)</math> wählen, und der Homomorphismus <math>h \colon G_K\to\Z/p\Z</math> ist <math>h(\sigma)=\sigma\omega-\omega.</math> Der Kern von <math>h</math> und <math>L=K(\omega)</math> entsprechen einander unter der Galois-Korrespondenz.

Also ist der sich aus der langen exakten Sequenz ergebende Isomorphismus <math>K/\wp K\to\text{Hom}(G_K,\Z/p\Z)</math> mit der weiter oben erläuterten expliziten Konstruktion identisch.

Für die allgemeinere Aussage über Untergruppen muss man noch Untergruppen von <math>\text{Hom}(G_K,\Z/p\Z)</math> mit Erweiterungen vom Exponenten <math>p</math> identifizieren: Einer Untergruppe <math>\Delta\subseteq\text{Hom}(G_K,\Z/p\Z)</math> entspricht der Fixkörper von <math>\textstyle \bigcap_{h\in\Delta}\ker(h),</math> einer abelschen Erweiterung <math>L/K</math> vom Exponenten <math>p</math> entspricht die Untergruppe der Homomorphismen, die über den Quotienten <math>G_K\to\text{Gal}(L/K)</math> faktorisieren.

Artin-Schreier-Symbol und Klassenkörpertheorie

Das Artin-Schreier-Symbol ist eine Ergänzung zum Potenzrestsymbol und dient wie dieses der expliziten Beschreibung der lokalen Reziprozitätsabbildung und führt so zu einer Teilaussage des Existenzsatzes der lokalen Klassenkörpertheorie. Sei <math>K</math> ein lokaler Körper der Charakteristik <math>p>0,</math> d. h. isomorph zu einem formaler Laurentreihenkörper <math>\mathbb{F}_q((T))</math> für eine Potenz <math>q=p^e.</math> Das Artin-Schreier-Symbol entsteht aus der kohomologischen Paarung

<math>K/\wp K\times G_K\to\Z/p\Z</math>

durch Verkettung mit der Reziprozitätsabbildung <math>({-},{*}/K) \colon K^*\to G_K^\text{ab}.</math> Ist <math>a\in K</math> und <math>\omega\in K^\text{sep}</math> mit <math>\wp(\omega)=a</math> und <math>b\in K^*,</math> dann gilt:

<math>[a,b)=(b,{*}/K)\omega-\omega.</math>

Das Artin-Schreier-Symbol induziert eine nicht ausgeartete Bilinearform

<math>K/\wp K\times K^*/(K^*)^p\to\Z/p\Z.</math>

Weitere Eigenschaften sind:

Es gilt <math>[a,b)=0</math> genau dann, wenn <math>b</math> eine Norm in der Erweiterung <math>K(\omega)/K</math> ist.
Es gilt <math>[a,a)=0</math> für alle <math>a\in K^*.</math>

Das Artin-Schreier-Symbol hat die folgende explizite Beschreibung: Sei <math>dT</math> ein Symbol, <math>\Omega=\mathbb{F}_q((T))\cdot dT</math> der eindimensionale, von <math>dT</math> aufgespannte Vektorraum sowie

<math>d \colon \mathbb{F}_q((T))\to\Omega,\ \ \sum a_n T^n\mapsto\left(\sum a_n\cdot nT^{n-1}\right) dT</math>

und die Residuenabbildung

<math>\text{res} \colon \Omega\to\mathbb{F}_q,\ \ \left(\sum a_n T^n\right) dT \mapsto a_{-1}.</math>

(Die Konstruktion ist unabhängig vom Isomorphismus <math>K\cong\mathbb{F}_q((T)).</math>) Für <math>a\in K</math> und <math>b\in K^*</math> ist dann:<ref>Formel erstmals angegeben von Hermann Ludwig Schmid, siehe Roquette 2001, Kap. 7.1. Die Originalarbeit ist: Hermann Ludwig Schmid: Über das Reziprozitätsgesetz in relativ-zyklischen algebraischen Funktionenkörpern mit endlichem Konstantenkörper. In: Mathematische Zeitschrift. Band 40, 1935, S. 91–109. </ref>

<math>[a,b)=\text{Spur}_{\mathbb{F}_q/\mathbb{F}_p}\ \text{res}\left(a\cdot\frac{db}{b}\right).</math>

Aus dieser Formel kann man nachweisen, dass das Artin-Schreier-Symbol wie behauptet nicht ausgeartet ist. Daraus folgt, dass ein Element in <math>K^*,</math> das für jede Galois-Erweiterung <math>L/K</math> vom Grad <math>p</math> in der Normengruppe <math>N_{L/K}L^*</math> liegt, eine <math>p</math>-te Potenz ist. Daraus folgt, dass der Schnitt aller Normengruppen trivial ist, ein wesentlicher Schritt (je nach Zugang) im Beweis des lokalen Existenzsatzes.<ref>Serre 1979, XIV §6</ref>

Die lokalen Artin-Schreier-Symbole lassen sich auch zu einer globalen Paarung

<math>\mathbb{A}_K/\wp\mathbb{A}_K\times I_K/I_K^p\to\Z/p\Z</math>

(dabei <math>\mathbb{A}_K</math> der Adelring und <math>I_K=\mathbb{A}_K^*</math> die Idelgruppe) zusammensetzen und für den Beweis des globalen Existenzsatzes im Funktionenkörperfall benutzen.<ref>André Weil: Basic Number Theory. 3. Auflage. Springer, New York 1974, ISBN 0-387-06935-6, Kap. XIII §7. Shokichi Iyanaga: The Theory of Numbers. North-Holland, Amsterdam 1975, ISBN 0-444-10678-2, Kap. V §4. </ref>

Geometrische Sichtweise

Im Zentrum der geometrischen Betrachtung steht der Artin-Schreier-Morphismus

<math>\wp=F-1: \mathbb{G}_a\to\mathbb{G}_a,</math>

der als Lang-Isogenie für die additive Gruppe <math>\mathbb{G}_a=\mathbb{A}^1</math> aufgefasst werden kann (<math>F</math> ist der relative Frobeniusmorphismus). <math>\wp</math> ist eine (zusammenhängende und mithin nicht triviale) étale Galois-Überlagerung mit Gruppe <math>\Z/p\Z.</math> Die Existenz von <math>\wp</math> zeigt, dass die geometrische étale Fundamentalgruppe der affinen Geraden nicht trivial ist, im Unterschied zur Situation in Charakteristik 0.

Ein Körperelement <math>a\in K</math> entspricht einem Morphismus <math>a: \text{Spec }K\to\mathbb{G}_a,</math> und die Faser von <math>\wp</math> über <math>a</math> ist entweder der triviale <math>\Z/p\Z</math>-Torsor oder die durch das Polynom <math>X^p-X-a</math> definierte Artin-Schreier-Erweiterung von <math>K.</math>

Zum Artin-Schreier-Torsor assoziierte Garben sind relevant für die Fourier-Deligne-Transformation.<ref>Reinhardt Kiehl, Rainer Weissauer: Weil Conjectures, Perverse Sheaves and l-adic Fourier Transform. Springer, Berlin 2001, ISBN 3-540-41457-6. </ref>

Artin-Schreier-Witt-Theorie

Die hier skizzierte Theorie verallgemeinert die Artin-Schreier-Theorie auf Erweiterungen, deren Exponent eine Potenz von <math>p</math> ist. Sie ist der Inhalt der Arbeit von Witt, in der er die Wittvektoren einführt.<ref>Ernst Witt: Zyklische Körper und Algebren der Charakteristik p vom Grad pⁿ. Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik p. In: J. Reine Angew. Math. Band 176, 1936, S. 126–140. </ref> Der erste Teil ist eine allgemeine Aussage über abelsche Erweiterungen von Körpern der Charakteristik <math>p,</math> der zweite Teil eine explizite Beschreibung eines Teils der lokalen Klassenkörpertheorie im Fall von Funktionenkörpern.

Sei wieder <math>K</math> ein Körper der Charakteristik <math>p,</math> <math>K^\text{sep}</math> ein separabler Abschluss von <math>K</math> und <math>G_K=\text{Gal}(K^\text{sep}/K)</math> die absolute Galois-Gruppe von <math>K.</math> Sei <math>W_n</math> die Gruppe der <math>p</math>-typischen Wittvektoren der Länge <math>n</math> und <math>F</math> der Frobeniushomomorphismus

<math>(x_0,\dots,x_{n-1})\mapsto(x_0^p,\dots,x_{n-1}^p).</math>

Mit

<math>\wp: W_n(K^\text{sep})\to W_n(K^\text{sep}),\ \ x\mapsto F(x)-x</math>

ist

<math>0\to\Z/p^n\Z\to W_n(K^\text{sep})\stackrel{\wp}{\longrightarrow} W_n(K^\text{sep})\to 0</math>

eine exakte Sequenz von <math>G_K</math>-Moduln, wobei <math>\Z/p^n\Z\cong W_n(\mathbb{F}_p)</math> verwendet wurde. Die Galois-Kohomologie <math>H^1(G_K, W_n)</math> verschwindet, weil die Quotienten bezüglich der <math>V</math>-Filtrierung isomorph zu <math>K^\text{sep}</math> sind und <math>H^1(G_K,K^\text{sep})=0</math> gilt (siehe oben). Also ist <math>H^1(G_K,\Z/p^n\Z)\cong W_n(K)/\wp W_n(K),</math> und wie oben erhält man daraus eine Korrespondenz zwischen abelschen Erweiterungen, deren Exponent ein Teiler von <math>p^n</math> ist, und Untergruppen von <math>W_n(K)/\wp W_n(K).</math><ref>Nathan Jacobson: Basic Algebra II. W. H. Freeman and Company, San Francisco 1980, ISBN 0-7167-1079-X, Kap. 8.11. Nicolas Bourbaki: Éléments de mathématique. Algèbre commutative. Chapitres 8 et 9. Springer, Berlin 2006, ISBN 3-540-33942-6, Kap. IX §1 Ex. 19-21. </ref>

Sei <math>K\cong\mathbb{F}_q((T))</math> ein lokaler Körper (formale Laurentreihen). Zu einem Wittvektor <math>a\in W_n(K)</math> und einem Körperelement <math>b\in K^*</math> definiert Witt eine zentrale einfache Algebra <math>A_{[a,b)},</math> die von <math>u</math> und den kommutierenden Elementen <math>v_0,\dots,v_{n-1}</math> mit den Relationen

erzeugt wird. Dabei wird mit <math>v=(v_0,\dots,v_{n-1})</math> als einem Wittvektor gerechnet, und <math>v^u</math> steht für den Wittvektor <math>(u v_0 u^{-1},\dots,u v_{n-1} u^{-1}).</math> Sei <math>\omega\in W_n(K^\text{sep})</math> mit <math>\wp(\omega)=a</math> und <math>L=K(\omega)=K(\omega_0,\dots,\omega_{n-1}),</math> außerdem <math>({-},L/K)</math> die Reziprozitätsabbildung. Das Artin-Schreier-Witt-Symbol ist definiert als

<math>[a,b)=(b,L/K)(\omega)-\omega\in W_n(\mathbb{F}_p)\cong\tfrac{1}{p^n}\Z/\Z\subset\Q/\Z;</math>

es ist eine nichtausgeartete bilineare Paarung

<math>W_n(K)/\wp W_n(K)\times K^*/(K^*)^{p^n}\to\Q/\Z.</math>

Es ist <math>[a,b)=0</math> genau dann, wenn <math>b\in N_{L/K}(K^*)</math> gilt. Der Wert des Symbols ist gleich der Invariante der zentralen einfachen Algebra: <math>[a,b)=\text{inv}(A_{[a,b)}).</math> Witt gibt auch eine Beschreibung der Invariante als ein auf Wittvektoren von Laurentreihen fortgesetztes Residuum.<ref>Siehe auch: Lara Thomas: Ramification groups in Artin-Schreier-Witt extensions. In: Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux. Band 17, Nr. 2, 2005, S. 689–720 (online). </ref>

Literatur

Jürgen Neukirch, Alexander Schmidt, Kay Wingberg: Cohomology of Number Fields. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-66671-0, Kap. VI §1.
Peter Roquette: Class Field Theory in Characteristic p, its Origin and Development. In: Class Field Theory, its Centenary and Prospect. Math. Soc. Japan, Tokyo 2001, S. 549–631.
J.-P. Serre: Local Fields. Springer, Berlin 1979, ISBN 3-540-90424-7.

Fußnoten