Kummer-Theorie

Im mathematischen Teilgebiet der Körpertheorie beschreibt die Kummer-Theorie bestimmte Körpererweiterungen, die man durch Adjunktion <math>n</math>-ter Wurzeln von Elementen des Grundkörpers erhält. Ursprünglich wurde die Theorie von Ernst Eduard Kummer bei seiner Beschäftigung mit der fermatschen Vermutung in den 1840er-Jahren entwickelt.

Die Hauptaussagen der Theorie hängen nicht vom speziellen Grundkörper ab, nur darf dessen Charakteristik kein Teiler von <math>n</math> sein. Eine grundlegende Rolle spielt die Kummer-Theorie in der Klassenkörpertheorie, allgemein ist sie zum Verständnis abelscher Erweiterungen wichtig; sie besagt, dass zyklische Erweiterungen durch Wurzelziehen gewonnen werden können, sofern der Grundkörper genügend Einheitswurzeln enthält.

Kummererweiterungen

Definition

Sei <math>n>1</math> eine natürliche Zahl. Eine Kummer-Erweiterung ist eine Körpererweiterung <math>L/K</math>, für die gilt:

<math>K</math> enthält <math>n</math> verschiedene <math>n</math>-te Einheitswurzeln, also die Nullstellen des Polynoms <math>X^n-1</math>.
<math>L/K</math> hat eine abelsche Galoisgruppe vom Exponenten <math>n</math>. Letzteres bedeutet, dass für alle Elemente <math>\sigma</math> der Galoisgruppe <math>\sigma^n=\operatorname{Id}</math> gilt und <math>n</math> minimal mit dieser Eigenschaft ist.

Beispiele

Ist <math>n=2</math>, so ist die erste Bedingung immer erfüllt, falls <math>K</math> nicht die Charakteristik 2 hat, die beiden Einheitswurzeln sind 1 und −1. Kummer-Erweiterungen sind in diesem Fall zunächst quadratische Erweiterungen <math>L=K(\sqrt a)</math>, wobei <math>a</math> ein nichtquadratisches Element von <math>K</math> ist. Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen zeigt, dass jede Erweiterung vom Grad 2 diese Gestalt besitzt. Ebenfalls Kummer-Erweiterungen für <math>n=2</math> sind biquadratische (durch Adjunktion zweier Quadratwurzeln) und allgemeiner multiquatratische (durch Adjunktion mehrerer Quadratwurzeln) Erweiterungen. Hat <math>K</math> die Charakteristik 2, gibt es keine Kummer-Erweiterungen, da in Charakteristik 2 die Gleichung <math>-1=1</math> gilt, es also keine zwei verschiedenen Einheitswurzeln gibt.

Für <math>n=3</math> gibt es keine Kummer-Erweiterungen der rationalen Zahlen <math>\mathbb Q</math>, da nicht alle drei dritten Einheitswurzeln rational sind. Sei <math>a</math> eine beliebige rationale Zahl, die keine dritte Potenz ist, und <math>L</math> der Zerfällungskörper von <math>X^3-a</math> über <math>\mathbb Q</math>. Sind <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> Nullstellen dieses kubischen Polynoms, so gilt <math>(\alpha/\beta)^3=\alpha^3/\beta^3=a/a=1</math>. Da das kubische Polynom ferner separabel ist, hat es drei verschiedene Nullstellen. Damit liegen auch die beiden nichttrivialen dritten Einheitswurzeln, nämlich <math>\alpha/\beta</math> und <math>\beta/\alpha</math>, in <math>L</math>, sodass <math>L</math> einen Unterkörper <math>K</math> besitzt, der die drei Einheitswurzeln enthält. Dann ist <math>L/K</math> eine Kummer-Erweiterung.

Enthält <math>K</math> allgemeiner <math>n</math> verschiedene <math>n</math>-te Einheitswurzeln, woraus bereits folgt, dass die Charakteristik von <math>K</math> kein Teiler von <math>n</math> ist, so erhält man durch Adjunktion einer <math>n</math>-ten Wurzel eines Elements <math>a</math> von <math>K</math> zum Körper <math>K</math> eine Kummer-Erweiterung. Ihr Grad <math>m</math> ist dabei ein Teiler von <math>n</math>. Als Zerfällungskörper des Polynoms <math>X^n-a</math> ist die Kummer-Erweiterung automatisch galoissch mit zyklischer Galoisgruppe der Ordnung <math>m</math>.

Kummer-Theorie

Die Kummer-Theorie macht Aussagen der umgekehrten Richtung. Ist <math>K</math> ein Körper, der <math>n</math> verschiedene <math>n</math>-te Einheitswurzeln enthält, so besagt sie, dass jede zyklische Erweiterung von <math>K</math> vom Grad <math>n</math> durch das Ziehen einer <math>n</math>-ten Wurzel gewonnen werden kann. Bezeichnet man mit <math>K^\times</math> die multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen Elemente des Körpers <math>K</math>, so stehen die zyklischen Erweiterungen von <math>K</math> vom Grad <math>n</math>, die in einem fest gewählten algebraischen Abschluss liegen, in Bijektion mit den zyklischen Untergruppen von <math>K^\times/(K^\times)^n</math>, also der Faktorgruppe von <math>K^\times</math> nach den <math>n</math>-ten Potenzen.

Die Bijektion kann explizit angegeben werden: Einer zyklischen Untergruppe <math>\Delta \subseteq K^\times/(K^\times)^n</math> wird die Erweiterung <math>K(\Delta^{1/n})</math> zugeordnet, die durch Adjunktion aller <math>n</math>-ten Wurzeln von Elementen aus <math>\Delta</math> zu <math>K</math> entsteht.

Umgekehrt ordnet man der Kummererweiterung <math>L/K</math> die Untergruppe <math>\Delta = K^\times \cap (L^\times)^n</math> zu.

Ordnet diese Bijektion die Gruppe <math>\Delta</math> und die Körpererweiterung <math>L/K</math> einander zu, so gibt es einen Isomorphismus <math>\Delta \cong \operatorname{Hom}(\operatorname{Gal}(L/K), \mu_n)</math>, der gegeben ist durch <math>a \mapsto (\sigma \mapsto \tfrac{\sigma(\alpha)}{\alpha})</math>. Dabei steht <math>\mu_n</math> für die Gruppe der <math>n</math>-ten Einheitswurzeln und <math>\alpha</math> für eine beliebige <math>n</math>-te Wurzel von <math>a\in\Delta</math>.

Verallgemeinerungen

Die oben angegebene Korrespondenz setzt sich fort zu einer Bijektion zwischen Untergruppen <math>\Delta\subseteq K^\times/(K^\times)^n</math> und abelschen Erweiterungen vom Exponenten <math>n</math>. Diese allgemeine Fassung wurde erstmals von Ernst Witt angegeben.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} Die Originalarbeit von Witt ist: {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

In Charakteristik <math>p>0</math> gibt es eine analoge Theorie für zyklische Erweiterungen vom Grad <math>p</math>, die Artin-Schreier-Theorie. Eine Verallgemeinerung für abelsche Erweiterungen vom Exponenten <math>p^n</math> stammt ebenfalls von Witt.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Sie verwendet die in derselben Arbeit eingeführten Wittvektoren.

Fußnoten

Quellen

Jürgen Neukirch: Klassenkörpertheorie. Bibliographisches Institut, Mannheim 1986.
{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}{{#if:|Vorlage:EoM/id}}