Gruppenexponent
Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie versteht man unter dem Gruppenexponenten <math>\exp(G)</math> einer Gruppe <math>(G, \cdot, e)</math> die kleinste natürliche Zahl <math>n > 0</math>, für die <math>g^n=e</math> (Potenz eines Gruppenelements) für alle Gruppenelemente <math>g</math> gilt.<ref>Wikiversity. Abgerufen am 13. August 2012.</ref> Gibt es keine derartige Zahl, so sagt man, <math>G</math> habe Exponent <math>\infty</math> (sie muss dann auch unendliche Ordnung haben).
Eigenschaften
- Nach dem Satz von Lagrange ist der Gruppenexponent für eine endliche Gruppe ein Teiler der Gruppenordnung und somit insbesondere endlich.
- In einer zyklischen Gruppe stimmt der Gruppenexponent mit der Gruppenordnung überein.
- Die Gruppenordnung stimmt genau dann mit dem Gruppenexponenten überein, wenn alle Sylowgruppen der Gruppe zyklisch sind.<ref>matheplanet.com: Beitrag No. 7 von Gockel. Abgerufen am 13. August 2012.</ref>
- Der Gruppenexponent ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Ordnung aller Gruppenelemente.
- Der Gruppenexponent einer Untergruppe ist ein Teiler des Exponenten der ganzen Gruppe.
Beispiele
- Für die primen Restklassengruppen <math>(\Z/n\Z)^\times</math> erhält man den Gruppenexponenten durch die Carmichael-Funktion.
- Der Gruppenexponent von <math>(\Z/p\Z)^\times</math> mit einer Primzahl <math>p</math> ist gleich der Gruppenordnung <math>p-1</math>.
- Der Gruppenexponent von <math>(\Z/8\Z)^\times</math> ist 2 (vergleiche: Die Gruppenordnung ist 4).
- Der Körper <math>\mathbb{F}_q</math> mit <math>q=p^k</math> Elementen, aufgefasst als additive Gruppe, hat Gruppenordnung <math>q</math> und Gruppenexponent <math>p</math> (vergleiche Charakteristik eines Körpers).
- Unendliche Gruppen mit endlichem Exponenten sind bspw. der Polynomring <math>\mathbb{F}_p [X]</math> und der algebraische Abschluss von <math>\mathbb{F}_p</math>, jeweils (wegen der Primzahlcharakteristik <math>p</math>) in der additiven Verknüpfung.
- Jedes Element <math>m/n + \Z</math> der (unendlichen) Torsionsgruppe <math>\Q/\Z</math> hat die endliche Ordnung <math>n</math>, wenn <math>n > 0</math> gilt und <math>m</math> zu <math>n</math> teilerfremd ist. Da die Elementordnungen aber nicht beschränkt sind, ist <math>\exp(\Q/\Z) = \infty</math>.
Siehe auch
Einzelnachweise
<references />