Funktionenkörper
(Algebraische) Funktionenkörper sind in der Mathematik algebraische Entsprechungen geometrischer Objekte. Funktionenkörper über endlichen Körpern spielen auch in der algebraischen Zahlentheorie eine wichtige Rolle.
Algebraische Definition
Es sei <math>k</math> ein Körper. Dann heißt ein transzendenter Erweiterungskörper <math>K/k</math> von endlichem Transzendenzgrad ein (algebraischer) Funktionenkörper.
Der algebraische Abschluss von <math>k</math> in <math>K</math> heißt Konstantenkörper.
Funktionenkörper im engeren Sinne sind Funktionenkörper vom Transzendenzgrad 1 über einem endlichen Körper. Zusammen mit den algebraischen Zahlkörpern bilden sie die Klasse der globalen Körper.
Geometrische Definition
Ist <math>X</math> ein ganzes algebraisches Schema über einem Körper <math>k</math>, so heißt der Halm der Strukturgarbe im generischen Punkt Funktionenkörper von <math>X</math>. Er ist ein Funktionenkörper über <math>k</math> im algebraischen Sinne.
Beispiel
Die rationalen Funktionen auf einer (irreduziblen) Varietät bilden einen Funktionenkörper.
Literatur
- Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer, 2006, ISBN 9783540376637, S. 99 ff.