Absolute Galoisgruppe

Die absolute Galoisgruppe <math> G_K </math> eines Körpers <math> K </math> ist die Galoisgruppe, welche zum separablen Abschluss <math> K^\mathrm{sep}/K </math> gehört. Sie ist eindeutig bis auf Isomorphie. Im Allgemeinen ist die Körpererweiterung <math> K^\mathrm{sep}/K </math> von unendlichem Grad, weshalb der Hauptsatz der Galoistheorie als solcher nicht mehr anwendbar ist. Das Studium von <math> G_K </math> verspricht Information über sämtliche endlichen galoisschen Körpererweiterungen <math> L/K </math>, insbesondere Hinweise zur Lösung des Umkehrproblems der Galoistheorie.

Beispiele

Für einen perfekten Körper <math> K </math> ist der separable Abschluss gleich dem algebraischen Abschluss, also <math> K^\mathrm{sep}=\overline{K} </math>.
Wegen <math> \overline{\mathbb{R}}=\mathbb{C} </math> ist <math> G_{\mathbb{R}}=\{\mathrm{id},c\} </math>, wobei <math> c </math> die komplexe Konjugation bezeichnet.
Für <math> K=\mathbb{Q} </math> wurde bisher keine explizite Charakterisierung von <math> G_K </math> gefunden. Man erhofft sich Aussagen aus dem Satz von Belyi, nach dem <math> G_K </math> treu auf bestimmten Graphen, den sogenannten dessins d' enfants, operiert. Die Absolute Galoisgruppe über den rationalen Zahlen ist wichtig in der Zahlentheorie und Gegenstand der inzwischen bewiesenen Serre-Vermutung.
Wenn <math> \mathbb{F}_q </math> der Körper mit <math> q </math> Elementen ist, gilt <math> G_{\mathbb{F}_q}=\lim_{\longleftarrow} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=: \hat{\mathbb{Z}

} </math>, wobei auf der rechten Seite der projektive Limes von <math> \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}~(n \in \mathbb{N}) </math>, die Gruppe der proendlichen Zahlen, steht.

Literatur

Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie, Springer-Verlag.