Serre-Vermutung

Vorlage:Hinweisbaustein Die Serre-Vermutung ist ein mathematischer Satz über Galois-Darstellungen und Modulformen, der im Jahr 2006 von Chandrashekhar Khare, Jean-Pierre Wintenberger und Mark Kisin bewiesen wurde. Die Serre-Vermutung impliziert den Modularitätssatz und damit auch den großen Satz von Fermat. Die Serre-Vermutung geht auf eine Vermutung von Jean-Pierre Serre zurück.<ref>Serre, Valeurs propres de opérateurs de Hecke modulo l, Astérisque, Band 24/25, 1975, S. 109–117</ref><ref>Serre, Sur les représentations modulaires de degré 2 de <math>Gal(\overline{\mathbb Q}/ \mathbb Q)</math>, Duke Mathematical Journal, Band 54, 1987, S. 179–230</ref>

Unabhängig von Khare und Wintenberger bewies auch Luis Dieulefait 2004 Spezialfälle der Serre-Vermutung, die für den Beweis des großen Satzes von Fermat ausreichen.

Formulierung

Die Vermutung betrifft Darstellungen (Galois-Darstellungen) der absoluten Galoisgruppe <math>G_\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen <math>\mathbb{Q}</math>. Die absolute Galoisgruppe enthält alle Galoisgruppen von Automorphismen von algebraischen Zahlkörpern, die als endliche galoissche Erweiterungen des Körpers der rationalen Zahlen gegeben sind.

Sei <math>\rho</math> eine absolut irreduzible, stetige und ungerade<ref>Ungerade bedeutet, dass das Element der Galoisgruppe, das der komplexen Konjugation entspricht, in der Darstellung durch die Matrix -1 repräsentiert ist</ref> zweidimensionale Darstellung von <math>G_\mathbb{Q}</math> über einem endlichen Körper

<math>F = \mathbb{F}_{l^r}</math>

der Charakteristik <math>l</math>,

<math> \rho: G_\mathbb{Q} \rightarrow GL_2(F).\ </math>

Nach der Vermutung von Serre wird jede solche Darstellung durch eine Darstellung im Raum der Spitzenformen zur Kongruenzuntergruppe <math>\Gamma_0 (N)</math> der Stufe <math> N=N(\rho) </math>, Gewicht <math> k=k(\rho) </math>, und Nebentypus<ref>Für die Definition der Begriffe siehe Modulform</ref>

<math> \chi : \mathbb{Z}/N\mathbb{Z} \rightarrow F^*\ </math>

festgelegt, wobei Modulformen in Charakteristik <math>l</math> mit Koeffizienten der Fourierentwicklung in <math>F</math> betrachtet werden. Die Wirkung der absoluten Galoisgruppe in dieser Darstellung wird durch die Hecke-Operatoren beschrieben, linearen Abbildungen im Raum der Spitzenformen dieses Typs. Es gibt eine normierte Hecke-Eigenform, sie ist simultane Eigenfunktion aller Heckeoperatoren, mit der Fourierentwicklung

<math> f = q+a_2q^2+a_3q^3+\cdots\ </math>

Spezielle Elemente der absoluten Galoisgruppe <math>G_\mathbb{Q}</math>, die Frobeniuselemente <math>\operatorname{Frob}_p</math> zur Primzahl p, beinhalten wesentliche Informationen zur Arithmetik der Zahlkörper. Nach der Vermutung von Serre gilt weiter für alle Primzahlen <math>p</math>, teilerfremd zu <math>N \, l</math>:

<math> \operatorname{Trace}(\rho(\operatorname{Frob}_p))=a_p\ </math>

und

<math> \det(\rho(\operatorname{Frob}_p))=p^{k-1} \chi(p).\ </math>

Das heißt, Spur und Determinante – und damit im Wesentlichen die Wirkung der Frobeniusabbildung in der betrachteten Darstellung – werden durch die Hecke-Eigenform festgelegt. Serre vermutete sogar (und zeigte dies explizit an Beispielen), dass sich die Parameter der Darstellung <math> \rho </math> (Stufe, Gewicht, Nebentypus) explizit berechnen lassen (starke Serre-Vermutung).

Es war bereits sehr lange durch tiefe Sätze von Gorō Shimura, Pierre Deligne, Barry Mazur und Robert Langlands<ref>Siehe Theorem 3.26 in {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}{{#if: | {{#if: Vorlage:Cite book/ParamBool | Vorlage:Toter Link/archivebot | Vorlage:Webarchiv/archiv-bot }}

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  }}</ref> bekannt, dass man jeder Hecke-Eigenform <math> f\in S_k(N,\chi) </math> eine Darstellung (wie oben gefordert) zuordnen kann. Die Serre-Vermutung behauptet die Umkehrung: Jede irreduzible, stetige und ungerade Darstellung stammt von einer Modulform.

Literatur

Originalarbeiten der Beweise:

Chandrashekhar Khare: Serre's modularity conjecture: The level one case, Duke Mathematical Journal, Band 134, 2006, S. 557–589
Chandrashekhar Khare, Jean-Pierre Wintenberger: Serre’s Modularity Conjecture, Teil 1,2, Inventiones Mathematicae, Band 158, 2009, S. 485–504, 505–586, Teil I (PDF-Datei; 344 kB), Teil II (PDF-Datei; 974 kB)
Khare, Wintenberger: On Serre’s reciprocity conjecture for 2-dimensional mod p representations of Gal(<math>\bar {\mathbb{Q}} /\mathbb{Q}</math>), Annals of Mathematics, Band 169, 2009, S. 229–253
Luis Dieulefait: The level 1 weight 2 case of Serre's conjecture, Revista Matemática Iberoamericana, Band 23, 2007, S. 1115–1124.
Mark Kisin: Modularity of 2-adic Barsotti-Tate representations, Inventiones Mathematicae, Band 178, 2009, S. 587–634, Preprints, Kisin

Zur Serre-Vermutung:

William A. Stein, Ken Ribet: Lectures on Serre’s conjecture, in: Brian Conrad, Karl Rubin (Hrsg.), Arithmetical algebraic geometry (Park City 1999), IAS/Park City Lectures 9, American Mathematical Society, 2001, S. 143–232, pdf
Gabor Wiese: Der Zusammenhang zwischen Modulformen und Zahlkörpern, Essener Unikate Nr. 33, 2007, pdf
L. J. P. Kilford: Modular forms, Imperial College Press 2008, Kapitel 6.2 (Galois representations attached to mod p modular forms), S. 152ff

Einzelnachweise

Weblinks

Serre's Modularity Conjecture 50-minütige Vorlesung von Ken Ribet vom 25. Oktober 2007 (Folien PDF, andere Version der Folien PDF)
Gabor Wiese, Die Serresche Modularitätsvermutung und Computeralgebra, 2010, pdf