Nukleare C*-Algebra

Die im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachteten nuklearen C*-Algebren bilden eine große Klasse von C*-Algebren, die wichtige Teilklassen umfasst. Die nuklearen C*-Algebren sind im Zusammenhang mit Eindeutigkeitsfragen bezüglich Tensorprodukten eingeführt worden; daher rührt auch der Name nuklear, der in Anspielung auf die nuklearen Räume aus der Theorie der lokalkonvexen Räume gewählt wurde.

Definition

Sind <math>A</math> und <math>B</math> zwei C*-Algebren, so kann man auf dem algebraischen Tensorprodukt <math>A\odot B</math> auf mehrere Arten eine C*-Norm <math>\alpha</math> definieren, das heißt eine Norm <math>\alpha</math>, so dass

<math>(A\odot B,\alpha)</math> ist eine normierte Algebra
<math>\alpha(s^*s) \,=\, \alpha(s)^2</math> für alle <math>s\in A\odot B</math>

gilt. Eine C*-Algebra <math>A</math> heißt nuklear, wenn es für jede C*-Algebra <math>B</math> genau eine solche C*-Norm auf <math>A\odot B</math> gibt.

Da es auf <math>A\odot B</math> stets eine minimale C*-Norm, nämlich die Norm des räumlichen Tensorproduktes, und eine maximale C*-Norm gibt, bedeutet die Nuklearität für eine C*-Algebra <math>A</math>, dass für jede C*-Algebra <math>B</math> die minimale und maximale C*-Norm auf <math>A\odot B</math> zusammenfallen. M. Takesaki sprach in diesem Zusammenhang von C*-Algebren mit der Eigenschaft T<ref>M. Takesaki: On the cross-norm of the direct product of C*-algebras, Tohoku Mathematical Journal, Band 10 (1958), Seiten 111–122</ref>, die Bezeichnung nukleare C*-Algebra geht auf C. Lance zurück.

Beispiele

Kommutative C*-Algebren sind nuklear. Das eindeutig bestimmte Tensorprodukt fällt in diesem Fall mit dem injektiven Tensorprodukt zusammen<ref>R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Lemma 11.3.5</ref>.

Allgemeiner sind alle postliminalen C*-Algebren nuklear, wie bereits in der unten erwähnten Arbeit von Takesaki gezeigt wurde.

Endlich-dimensionale C*-Algebren sind nuklear, denn diese sind endliche direkte Summen von Matrix-Algebren <math>M_n</math> und es ist <math>M_n \otimes B \cong M_n(B)</math> für jede C*-Algebra <math>B</math> mit der im Artikel über das räumliche Tensorprodukt beschriebenen Norm auf <math>M_n(B)</math>.

Die reduzierte Gruppen-C*-Algebra <math>C_r^*(G)</math> einer zusammenhängenden oder mittelbaren Gruppe <math>G</math> ist nuklear. Für diskrete Gruppen gilt nach einem Satz von C. Lance auch die Umkehrung: Für eine diskrete Gruppe ist <math>C_r^*(G)</math> genau dann nuklear, wenn <math>G</math> mittelbar ist.<ref>C. Lance: On Nuclear C*-Algebras, Journal of Functional Analysis, Band 12 (1973), Seiten 157–176, Theorem 4.2</ref>

<math>C^*(F_2), C_r^*(F_2)</math> und <math>L(\ell^2)</math> sind Beispiele für C*-Algebren, die nicht nuklear sind, wobei <math>F_2</math> die von 2 Elementen erzeugte freie Gruppe und <math>\ell^2</math> der Folgenraum der quadratsummierbaren Folgen ist.

Eigenschaften

Abgeschlossene zweiseitige Ideal und Quotienten nuklearer C*-Algebren sind wieder nuklear.

Ist umgekehrt <math>0\rightarrow J \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow 0</math> eine kurze exakte Sequenz von C*-Algebren mit nuklearen <math>J</math> und <math>B</math>, so ist auch <math>A</math> nuklear.<ref>Gerald. J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-12-511360-9, Theorem 6.5.3</ref>

Unter-C*-Algebren nuklearer C*-Algebren sind im Allgemeinen nicht wieder nuklear. Genau dann sind alle Unter-C*-Algebren einer nuklearen C*-Algebra wieder nuklear, wenn die C*-Algebra postliminal ist.<ref>B. Blackadar: Nonnuclear subalgebras of C*-algebras, Journal of Operator Theory, Band 14 (1985), Seiten 347–350</ref>

Induktive Limiten von nuklearen C*-Algebren sind wieder nuklear, daher sind alle AF-C*-Algebren nuklear<ref>R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Satz 11.3.12</ref>.

Ist <math>(A,G,\alpha)</math> ein C*-dynamisches System mit einer nuklearen C*-Algebra <math>A</math> und einer mittelbaren Gruppe <math>G</math>, so ist auch das verschränkte Produkt <math>A \ltimes_\alpha G</math> nuklear<ref>Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Theorem 15.8.2</ref>. Insbesondere sind die irrationalen Rotationsalgebren nuklear.

Eine C*-Algebra <math>A</math> ist genau dann nuklear, wenn die Identität <math>\mathrm{id}_A</math> punktweiser Normlimes vollständig positiver, 1-beschränkter Operatoren endlichen Ranges ist, das heißt, es gibt ein Netz <math>(P_i)_{i\in I}</math> vollständig positiver Operatoren mit <math>\mathrm{dim}P_i(A)<\infty</math> und <math>\|P_i\| \le 1</math> für alle <math>i\in I</math> und <math>\textstyle \lim_{i\in I}\|P_i(a)-a\| = 0</math> für alle <math>a\in A</math>.<ref>B. Blackadar: K-Theory for Operator-Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Theorem 15.8.1</ref>

Eine Von-Neumann-Algebra heißt hyperfinit, wenn sie eine aufsteigende Folge endlich-dimensionaler *-Algebren enthält, deren Vereinigung bezüglich der schwachen Operatortopologie dicht liegt. Eine C*-Algebra ist genau dann nuklear, wenn ihre einhüllende Von-Neumann-Algebra hyperfinit ist. Siehe<ref>Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Theorem 15.8</ref><ref> Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-12-549450-5, 8.15.15</ref> für weitere äquivalente Charakterisierungen.

Einzelnachweise

it:C*-algebra#C*-algebra nucleare