Maximales Tensorprodukt

Im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ist das maximale Tensorprodukt von C*-Algebren eine Konstruktion, mit der man aus zwei C*-Algebren <math>A</math> und <math>B</math> eine neue mit <math>A\otimes_{\mathrm{max}} B</math> bezeichnete C*-Algebra erhält. Es handelt sich dabei um die Vervollständigung des mit einer geeigneten Norm versehenen algebraischen Tensorproduktes aus <math>A</math> und <math>B</math>. Die unten vorgestellte Konstruktion geht auf A. Guichardet zurück.<ref>A. Guichardet: Tensor products of C*-algebras, Aarhus University Lecture Notes, Band 12 (1969)</ref>

Konstruktion

Es seien <math>A</math> und <math>B</math> zwei C*-Algebren. Eine C*-Halborm auf dem algebraischen Tensorprodukt <math>A\odot B</math> ist eine Halbnorm <math>\alpha</math>, so dass

<math>\alpha(st)\le \alpha(s)\alpha(t)</math> für alle <math>s,t\in A\odot B</math>
<math>\alpha(s^*s) \,=\, \alpha(s)^2</math> für alle <math>s\in A\odot B</math>

Man kann zeigen, dass <math>\alpha(a\otimes b) \le \|a\|\|b\|</math> für alle <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math>. Für ein Element <math>s= \sum_{i=1}^n a_i\otimes b_i \in A\odot B</math> folgt daher <math>\alpha(s) \le \sum_{i=1}^n\|a_i\|\|b_i\|</math> für jede C*-Halbnorm. Deshalb ist <math>\mu(s):= \sup_\alpha \alpha(s)</math>, wobei <math>\alpha</math> alle C*-Halbnormen durchläuft, endlich, und man bestätigt leicht, dass <math>\mu</math> eine C*-Halbnorm ist, und nach Konstruktion die größte auf <math>A\odot B</math>. Es handelt sich sogar um eine Norm, denn unter den C*-Halbnormen befindet sich die räumliche C*-Norm.

Die Vervollständigung von <math>A\odot B</math> bezüglich dieser maximalen C*-Norm heißt das maximale Tensorprodukt aus <math>A</math> und <math>B</math> und wird mit <math>A\otimes_\mu B</math> bezeichnet<ref>R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, §11.3</ref>, andere Autoren schreiben dafür <math>A\otimes_{\mathrm{max}} B</math> <ref>Gerald. J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-1251-1360-9, Kapitel 6</ref>.

Eigenschaften

Das maximale Tensorprodukt hat folgende nützliche Eigenschaft<ref>Gerald. J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-1251-1360-9, Theorem 6.3.7</ref>:

Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> C*-Algebren und <math>\varphi:A\rightarrow C</math> sowie <math>\psi:B\rightarrow C</math> zwei *-Homomorphismen mit vertauschenden Bildern, das heißt <math>\varphi(a)\psi(b) = \psi(b)\varphi(a)</math> für alle <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math>. Dann gibt es genau einen *-Homomorphismus <math>\pi: A\otimes_{\mathrm{max}} B \rightarrow C</math> mit <math>\pi(a\otimes b) = \varphi(a)\psi(b)</math> für alle <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math>.

Sind <math>A</math> und <math>B</math> C*-Algebren, so heißt ein Paar <math>(\varphi,\psi)</math> ein vertauschendes Paar von Darstellungen von <math>(A,B)</math>, falls <math>\varphi:A\rightarrow L(H)</math> und <math>\psi:B\rightarrow L(H)</math> Hilbertraum-Darstellungen auf demselben Hilbertraum <math>H</math> sind und <math>\varphi(a)\psi(b) = \psi(b)\varphi(a)</math> für alle <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> gilt. Mit dieser Begriffsbildung kann man folgende Formel für die maximale C*-Norm aufstellen<ref>R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 11.3.4</ref>:

Für zwei C*-Algebren <math>A</math> und <math>B</math> und <math>s=\sum_{j=1}^na_j\otimes b_j</math> aus dem algebraischen Tensorprodukt <math>A\odot B</math> gilt

<math> \mu(s) = \sup\{\|\sum_{j=1}^n\varphi(a_j)\psi(b_j)\|;\, (\varphi,\psi) \mbox{ vertauschendes Paar von Darstellungen von } (A,B)\}.</math>

Siehe auch

Einzelnachweise

Literatur

Gerald. J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-1251-1360-9
R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1