C*-dynamisches System

C*-dynamische Systeme werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um eine Konstruktion, mit der man aus einer C*-Algebra und einer lokalkompakten Gruppe, die in gewisser Weise auf der C*-Algebra operiert, eine neue C*-Algebra gewinnt. Diese Konstruktion verallgemeinert die klassischen dynamischen Systeme, bei denen die Gruppe der ganzen Zahlen auf einem kompakten Hausdorffraum operiert. Der Prototyp eines C*-dynamischen Systems ist die irrationale Rotationsalgebra.

Definition

Unter einem C*-dynamischen System versteht man ein Tripel <math>(A,G,\alpha)</math> bestehend aus einer C*-Algebra <math>A</math>, einer lokalkompakten Gruppe <math>G</math> und einem Homomorphismus <math>\alpha\colon G\rightarrow \mathrm{Aut}(A), s\mapsto \alpha_s</math> von <math>G</math> in die Gruppe der *-Automorphismen von <math>A</math>, so dass alle Abbildungen <math>G\rightarrow A, s\mapsto \alpha_s(a),\, a\in A</math> stetig sind.<ref> Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-12-549450-5, 7.4.1</ref> (Unter Morphismen auf C*-Algebren versteht man stets solche, die auch die Involution erhalten; man schreibt nur <math>\mathrm{Aut}(A)</math>, es sind aber *-Automorphismen gemeint.)

Der einfachste und für viele Anwendungen wichtige Fall ist <math>G=\Z</math>. Da die Gruppe <math>\Z</math> diskret ist, entfällt die Stetigkeitsbedingung. Ferner ist <math>\alpha</math> bereits durch <math>\alpha_1 \in \mathrm{Aut}(A)</math> festgelegt. Ein C*-dynamisches System mit Gruppe <math>\Z</math> ist also nichts weiter als eine C*-Algebra mit einem ausgezeichneten Automorphismus.

Kovariante Darstellungen

Bekanntlich kann man sowohl C*-Algebren als auch lokalkompakte Gruppen auf Hilberträumen darstellen. Ist <math>(A,G,\alpha)</math> ein C*-dynamisches System und sind <math>\pi\colon A\rightarrow B(H)</math> eine Hilbertraum-Darstellung von <math>A</math> und <math>u\colon G\rightarrow B(H), s\mapsto u_s</math> eine unitäre Darstellung von <math>G</math> auf demselben Hilbertraum, so nennt man das Paar <math>(\pi,u)</math> eine kovariante Darstellung, falls

<math>\pi(\alpha_s(a)) = u_s\pi(a)u_s^*</math> für alle <math>a\in A</math> und <math>s\in G</math>.

Mittels einer kovarianten Darstellung wird also die durch <math>\alpha</math> vermittelte Gruppenoperation von <math>G</math> auf <math>A</math> durch unitäre Operatoren dargestellt.<ref> Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-12-549450-5, 7.4.8</ref>

Das Kreuzprodukt

Ist <math>(A,G,\alpha)</math> ein C*-dynamisches System, so definiert man auf dem Raum <math>K(A,G,\alpha)</math> der stetigen Funktionen <math>G\rightarrow A</math> mit kompaktem Träger für <math>x,y\in K(A,G,\alpha)</math> und <math>\beta \in \Complex</math>:

<math> (\beta x)(t) := \beta x(t) </math>
<math> (x+y)(t) := x(t) + y(t) </math>
<math> (x\star y)(t) := \int_G x(s)\alpha_s(y(s^{-1}t)) \,\mathrm{d}\mu(s) </math>
<math> (x^*)(t) := \Delta(t)^{-1}\alpha_t(x(t^{-1})^*) </math>
<math> \|x\|_1 := \int_G \|x(s)\| \, \mathrm{d}\mu(s) </math>

Dabei ist <math>t\in G</math>, <math>\mu</math> ein links-Haarsches Maß auf <math>G</math> und <math>\Delta</math> die modulare Funktion von <math>G</math>. Man rechnet nach, dass <math>K(A,G,\alpha)</math> durch diese Definitionen zu einer normierten Algebra mit isometrischer Involution wird. Das von <math>\alpha</math> abhängige Produkt <math>\star</math> nennt man Kreuzprodukt. Die Vervollständigung ist dann eine Banach-*-Algebra, die mit <math>L^1(A,G,\alpha)</math> bezeichnet wird.<ref> Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-12-549450-5, 7.6.1</ref>

Ist <math>(\pi,u)</math> eine kovariante Darstellung des C*-dynamischen Systems <math>(A,G,\alpha)</math> auf einem Hilbertraum <math>H</math>, so wird durch

<math>(\pi\times u)(x) := \int_G \pi(x(t))u_t\,\mathrm{d}\mu(t), \quad x\in L^1(A,G,\alpha)</math>

eine nicht-degenerierte Hilbertraum-Darstellung von <math>L^1(A,G,\alpha)</math> definiert. Ist umgekehrt eine nicht-degenerierte Hilbertraum-Darstellung von <math>L^1(A,G,\alpha)</math> gegeben, so gibt es genau eine kovariante Darstellung des C*-dynamischen Systems, so dass sich die gegebene *-Darstellung gemäß obiger Formel ergibt. Die Kenntnis aller kovarianten Darstellungen des C*-dynamischen Systems entspricht daher der Kenntnis aller nicht-degenerierten *-Darstellungen der zugehörigen <math>L^1</math>-Algebra.<ref> Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-12-549450-5, Theorem 7.6.4</ref>

Die einhüllende C*-Algebra von <math>L^1(A,G,\alpha)</math> wird mit <math>C^*(A,G,\alpha)</math> oder <math>A \ltimes_\alpha G</math> bezeichnet und heißt das Kreuzprodukt des C*-dynamischen Systems<ref> Thomas Skill: Toeplitz-Quantisierung symmetrischer Gebiete auf Grundlage der C*-Dualität, Teubner-Verlag (2011), ISBN 3-8348-1541-1, Kap. 4.1: Gruppen-C*-Algebren und Kreuzprodukte von C*-Algebren</ref><ref> Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-12-549450-5, 7.6.5</ref>. Die kovarianten Darstellungen eines C*-dynamischen Systems führen somit zu nicht-degenerierten Hilbertraum-Darstellungen von <math>A \ltimes_\alpha G</math> und umgekehrt.

Ist speziell <math>A=\Complex</math>, so operiert jede lokalkompakte Gruppe <math>G</math> trivial auf <math>\Complex</math>, das heißt <math>\alpha_s = \mathrm{id}_{\Complex}</math> für alle <math>s\in G</math>, und obige Konstruktion liefert die Gruppen-C*-Algebra <math>C^*(G)</math>. Die Konstruktion des Kreuzproduktes verallgemeinert daher die Konstruktion der Gruppen-C*-Algebra.

Das reduzierte Kreuzprodukt

Wie im Falle der Gruppen-C*-Algebren betrachtet man auch für C*-dynamische Systeme <math>(A,G,\alpha)</math> linksreguläre Darstellungen, allerdings erhält man hier für jede gegebene Hilbertraum-Darstellung von <math>A</math> eine solche.

Ist <math>\pi \colon A\rightarrow B(H)</math> eine Hilbertraum-Darstellung von <math>A</math>, so konstruiert man eine kovariante Darstellung <math>(\tilde{\pi}, \lambda)</math> auf dem Hilbertraum <math>L^2(G,H)</math> aller messbaren Funktionen <math>\xi\colon G\rightarrow H</math> mit <math>\textstyle \int_G\|\xi(t)\|^2\,\mathrm{d}\mu(s) < \infty</math> durch folgende Formeln:

<math>(\tilde{\pi}(a)\xi)(t) = \pi(\alpha_{t^{-1}}(a))(\xi(t))</math>
<math>(\lambda_s\xi)(t) = \xi(s^{-1}t)</math>,

wobei <math>a\in A</math>, <math>s,t\in G</math> und <math>\xi \in L^2(G,H)</math>. Man rechnet nach, dass hierdurch tatsächlich eine kovariante Darstellung definiert ist. Ist nun speziell <math>\pi_u\colon A\rightarrow H_u</math> die universelle Darstellung von <math>A</math>, so heißt der Normabschluss von <math>(\tilde{\pi_u}\times \lambda)(L^1(A,G,\alpha))</math> in <math>B(L^2(G,H_u))</math> das reduzierte Kreuzprodukt des C*-dynamischen Systems; dieses wird mit <math>C_r^*(A,G,\alpha)</math> oder <math>A \ltimes_{\alpha r} G</math> bezeichnet.<ref> Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-12-549450-5, 7.7.4</ref>

Betrachtet man wieder den Spezialfall <math>A = \Complex</math> mit der trivialen Operation der Gruppe <math>G</math>, so liefert die Konstruktion des reduzierten Kreuzproduktes genau die reduzierte Gruppen-C*-Algebra.

Da die kovariante Darstellung <math>(\tilde{\pi},\lambda)</math> zu einer *-Darstellung des Kreuzproduktes <math>A \ltimes_\alpha G</math> führt, erhält man einen surjektiven Homomorphismus <math>A \ltimes_\alpha G \rightarrow A \ltimes_{\alpha r} G</math>, den man ebenfalls die linksreguläre Darstellung nennt. Wie im Falle von Gruppen-C*-Algebren gilt folgender Satz<ref> Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-12-549450-5, Theorem 7.7.7</ref>:

Ist <math>(A,G,\alpha)</math> ein C*-dynamisches System mit mittelbarer Gruppe <math>G</math>, so ist die linksreguläre Darstellung <math>A \ltimes_\alpha G \rightarrow A \ltimes_{\alpha r} G</math> ein Isomorphismus.

Speziell für kompakte und für abelsche Gruppen (wichtiger Spezialfall <math>\Z</math>) muss man also nicht zwischen <math>A \ltimes_{\alpha} G</math> und <math>A \ltimes_{\alpha r} G</math> unterscheiden, denn diese Gruppen sind mittelbar.

Klassische dynamische Systeme

Klassische dynamische Systeme sind Operationen der Gruppe <math>\Z</math> auf einem kompakten Hausdorffraum <math>X</math>. Genauer ist ein Homöomorphismus <math>\sigma\colon X\rightarrow X</math> gegeben, und dieser definiert die Gruppenoperation <math>\Z\times X \rightarrow X, (n,x)\mapsto \sigma^n(x)</math>. <math>\sigma</math> definiert auch einen Automorphismus auf der C*-Algebra <math>C(X)</math> der stetigen Funktionen <math>X\rightarrow \Complex</math>, der <math>f\in C(X)</math> auf <math>f\circ \sigma^{-1}</math> abbildet. Damit liegt ein C*-dynamisches System <math>(C(X), \Z, \alpha)</math> vor, wobei <math>\alpha_n(f) = f\circ \sigma^{-n}</math>. Es können dann Beziehungen zwischen dem klassischen dynamischen System <math>(X,\sigma)</math> und der C*-Algebra <math>C(X)\ltimes_\alpha \Z</math> aufgestellt werden.<ref>K. R. Davidson: C*-Algebras by Example, American Mathematical Society (1996), ISBN 0-8218-0599-1, Kapitel VIII.3</ref> Der Prototyp dieser Konstruktion ist die irrationale Rotationsalgebra.

Siehe auch

Einzelnachweise