Irrationale Rotationsalgebra

Die irrationalen Rotationsalgebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtet. Es handelt sich um eine Klasse von C*-Algebren, die sich aus der C*-Algebra der stetigen, komplexwertigen Funktionen auf dem Einheitskreis zusammen mit einer Rotation dieses Einheitskreises um einen irrationalen Winkel ergeben.

Konstruktion

Datei:IrrationaleRotationsalgebra.png

V dreht den Definitionsbereich von Funktionen <math>\mathbb{T}\to \Complex</math>

Im Folgenden sei <math>\theta</math> eine fest gewählte irrationale Zahl. Betrachte den <math>\Complex</math>-Hilbertraum <math>L^2(\R/\Z)</math> der quadratintegrierbaren Funktionen, wobei wie üblich die Kreisgruppe <math>\R/\Z</math> mittels <math>t\mapsto e^{2\pi i t}</math> mit dem Einheitskreis <math>\mathbb{T}=\{z\in \Complex: |z|=1\}</math> identifiziert wird, und darauf die beiden wie folgt definierten unitären Operatoren <math>U</math> und <math>V</math>:

<math>Uf \,:=\, zf</math>, wobei <math>z(t) = e^{2\pi i t}</math>

und

<math>Vf(t) \,:=\, f(t-\theta)\,.</math>

<math>U</math> ist ein Multiplikationsoperator und <math>V</math> rotiert eine Funktion um den Winkel <math>\theta</math>.

Die von <math>U</math> und <math>V</math> erzeugte C*-Algebra <math>C^*(U,V)\subset B(L^2(\mathbb{T}))</math> heißt daher die irrationale Rotationsalgebra zum Winkel <math>\theta</math> und wird mit <math>A_\theta</math> bezeichnet.<ref group="D">Kapitel VI: Irrational Rotation Algebra</ref>

Eigenschaften

Leicht bestätigt man <math>UV=e^{2\pi i \theta}VU</math>, in der Tat ist

<math> = z(t)f(t-\theta)= e^{2\pi i \theta} z(t-\theta)f(t-\theta) = e^{2\pi i \theta}(zf)(t-\theta)</math>

<math> = e^{2\pi i \theta}(Uf)(t-\theta) = e^{2\pi i \theta}VUf(t)</math>.

Die irrationale Rotationsalgebra hat folgende universelle Eigenschaft, die sie bis auf Isomorphie charakterisiert: Ist <math>A</math> eine C*-Algebra, die von zwei unitären Operatoren <math>\tilde{U}</math> und <math>\tilde{V}</math> erzeugt wird, die die Relation <math>\tilde{U}\tilde{V}=e^{2\pi i \theta}\tilde{V}\tilde{U}</math> erfüllen, so gibt es genau einen *-Isomorphismus <math>A_\theta\rightarrow A</math> mit <math>U\mapsto \tilde{U}</math> und <math>V\mapsto \tilde{V}</math>.<ref group="D">Theorem VI.1.4</ref>

<math>A_\theta</math> ist einfach, das heißt die Algebra enthält keine zweiseitigen *-Ideale außer <math>\{0\}</math> und sich selbst.

Es gibt eine eindeutige Spur <math>\tau:A_\theta\rightarrow \Complex</math>, das heißt, es gibt genau ein lineares Funktional <math>\tau:A_\theta\rightarrow \Complex</math> mit <math>\tau(a^*a)\ge 0</math> für alle <math>a\in A_\theta</math>, <math>\tau(ab)=\tau(ba)</math> für alle <math>a,b \in A_\theta</math> und <math>\tau(I) = 1</math>, wobei <math>I</math> das Einselement in <math>A_\theta</math> sei.<ref group="D">Satz VI.1.3</ref>

Die Gruppe der invertierbaren Elemente liegt dicht in <math>A_\theta</math>.<ref>I. Putnam: The invertibles are dense in the irrational rotation C*-algebras, J. reine angewandte Mathematik, Band 140 (1990), Seiten 160–166</ref>

Die irrationalen Rotationsalgebren sind nuklear.

Alternative Konstruktion

Hier wird eine alternative Konstruktion der irrationalen Rotationsalgebra auf dem Folgenraum <math>\ell^2 = \ell^2(\Z)</math> mit der Orthonormalbasis <math>(e_n)_{n_\in \Z}</math> vorgestellt. Man definiere die unitären Operatoren <math>U,V\in B(\ell^2)</math> durch:

<math>Ue_n \,=\, e_{n+1}</math> (zweiseitiger Shift),

<math>Ve_n \,=\, e^{-2\pi i n \theta}e_n</math> (unendliche Diagonalmatrix).

Dann bestätigt man leicht <math>UVe_n = e^{-2\pi i n \theta}e_{n+1} = e^{2\pi i \theta}VUe_n</math>, woraus <math>UV = e^{2\pi i \theta}VU</math> folgt. Wegen der oben erwähnten universellen Eigenschaft der irrationalen Rotationsalgebra erhält man daraus <math>A_\theta \cong C^*(U,V) \subset B(\ell^2)</math>.

K-Theorie

Nach einem Satz von Marc Rieffel<ref>M. A. Rieffel: C*-algebras associated with irrational rotations, Pacific J. Math., Band 93 (1981), Seiten 415–429</ref> gibt es zu jedem <math>\alpha\in (\Z+\theta \Z)\cap [0,1]</math> eine Projektion <math>P\in A_\theta</math> mit <math>\tau(P)=\alpha</math>, wobei <math>\tau</math> die eindeutige Spur auf <math>A_\theta</math> sei.

Da <math>(\Z+\theta \Z,(\Z+\theta \Z)\cap \R^+, (\Z+\theta \Z)\cap [0,1])</math> eine unperforierte, skalierte, kommutative Gruppe mit der Rieszschen Zerlegungseigenschaft ist (für diese Begriffe siehe Geordnete abelsche Gruppe), gibt es nach dem Satz von Effros-Handelman-Shen bis auf Isomorphie genau eine AF-C*-Algebra <math>\mathcal{A}_\theta</math>, die diese Gruppe als K₀-Gruppe hat, und es liegt nahe die C*-Algebra <math>A_\theta</math>, die selbst keine AF-C*-Algebra ist, mit <math>\mathcal{A}_\theta</math> in Verbindung zu bringen. Tatsächlich konnten M. Pimsner und D. Voiculescu eine Einbettung <math>A_\theta \rightarrow \mathcal{A}_\theta</math> konstruieren<ref>M. Pimsner, D. Voiculescu: Imbedding the irrational rotation algebra into an AF algebra, Journal of Operator Theory, Band 4 (1980), Seiten 93–118</ref>. Daraus folgt zunächst <math>K_0(A_\theta) \cong \Z + \theta\Z</math> und dann<ref group="D">Korollar VI.5.3</ref>:

Zwei irrationale Rotationsalgebren <math>A_\theta</math> und <math>A_\eta</math> sind genau dann isomorph, wenn <math>\eta = \pm\theta \,\mathrm{mod}\, \Z</math> ist.

Kreuzprodukt

Die irrationale Rotationsalgebra ist der Prototyp des Kreuzproduktes eines C*-dynamischen Systems. Ist <math>\alpha\in \mathrm{Aut}(C(\mathbb{T}))</math> durch <math>(\alpha(f))(t) \,:=\, f(t-\theta)</math> definiert und ist <math>\sigma:\Z\rightarrow \mathrm{Aut}(C(\mathbb{T})),\, n\mapsto \alpha^n</math>, so ist <math>(C(\mathbb{T}),\Z,\sigma)</math> ein C*-dynamisches System und es ist <math>A_\theta \cong C(\mathbb{T})\ltimes_\sigma \Z</math>.<ref group="D">Beispiel VIII.1.1</ref>

Einzelnachweise

K. R. Davidson: C*-Algebras by Example, American Mathematical Society (1996), ISBN 0-821-80599-1: <references group="D"/>