Filtrierter Kolimes
Im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ist ein filtrierter Kolimes (auch direkter Limes oder induktiver Limes) ein spezieller Kolimes. Er kann in gewissen Fällen als Verallgemeinerung der Vereinigung betrachtet werden.
Elementare Definition (für teilgeordnete Indexmengen)
Die Indexmenge <math>(I,\le)</math> sei eine feste gerichtete Menge.
Ein induktives System <math>(X_i,f_{ij})</math> besteht aus Objekten (beispielsweise Mengen, Gruppen oder topologischen Räumen) <math>X_i</math> für die Indizes <math>i\in I</math> sowie Übergangsabbildungen
- <math>f_{ij}\colon X_i\to X_j</math> für <math>i\le j</math>,
die mit der jeweiligen Struktur verträglich sind (d. h. Mengenabbildungen, Gruppenhomomorphismen, stetige Abbildungen topologischer Räume) und folgende Bedingungen erfüllen
- <math>f_{ii} = \operatorname{id}_{X_i}</math> für alle <math>i</math> die identische Abbildung auf <math>X_i</math> und
- <math>f_{ik}= f_{jk}\circ f_{ij}</math> für alle <math>i \le j \le k</math>.
Der induktive Limes eines induktiven Systems <math>(X_i,f_{ij})</math> ist ein Objekt <math>\mathrm{colim}_nX_n</math> zusammen mit Abbildungen
- <math>u_i\colon X_i\to\mathrm{colim}_n\,X_n</math>,
die mit den <math>f_{ij}</math> kompatibel sind, d. h.
- <math>u_i = u_j\circ f_{ij}</math> für <math>i\le j</math>
mit der folgenden universellen Eigenschaft:
- Kompatible Systeme von Abbildungen der <math>X_i</math> in ein beliebiges Testobjekt <math>T</math> entsprechen Abbildungen von <math>\mathrm{colim}_nX_n</math> nach <math>T</math>.
- Datei:Diagramm zum Kolimes.png
Das bedeutet: Wann immer Abbildungen <math>t_i\colon X_i\to T</math> gegeben sind, für die
- <math>t_i=t_j \circ f_{ij}</math> für <math>i\le j</math>
gilt, gibt es eine eindeutige Abbildung
- <math>c\colon\mathrm{colim}_n\,X_n\to T</math>,
von der die Abbildungen <math>t_i</math> „herkommen“, d. h.
- <math>t_i = c\circ u_i</math>.
Der induktive Limes eines induktiven Systems (Xi, fi,j) von Mengen kann explizit konstruiert werden als eine Menge von Äquivalenzklassen
- <math>\coprod_i X_i/\sim</math>
in der disjunkten Vereinigung <math>\coprod_i X_i</math>. Hierbei sollen Elemente <math>x \in X_i</math> und <math>y \in X_j</math> äquivalent sein, wenn ein <math>k\in I</math> existiert, für das <math>f_{ik}(x) = f_{jk}(y) \in X_k</math> gilt.