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Formale Potenzreihe

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Die formalen Potenzreihen in der Mathematik sind eine Verallgemeinerung der Polynome der Polynomringe. Wie bei letzteren stehen bei ihnen die ringtheoretischen Eigenschaften im Vordergrund, während bei den Potenzreihen der Analysis der Schwerpunkt auf den analytischen, den {{#if:trim|(Grenzwert-)Eigenschaften,}} liegt.

Gemeinsam ist, dass die Koeffizienten aus einem Ring <math>R</math> genommen werden, der hier sehr beliebig sein kann, wogegen er in der Analysis ausschließlich ein vollständiger Ring ist, meist der Körper <math>\R</math> der reellen oder <math>\Complex</math> der komplexen Zahlen. Ein anderer Unterschied ist, dass die „Variable“ eine Unbestimmte ist, die oft mit Großbuchstaben <math>X</math> (oder <math>T</math>) notiert und der in der formalen Potenzreihe ein „Wert“ nicht zugewiesen wird. Die im Nullpunkt analytischen Potenzreihen der Analysis können auch als formale Potenzreihen aufgefasst werden, da sie wie diese beliebig oft differenzierbar sind und dem Koeffizientenvergleich unterliegen.

Wegen der vielen gemeinsamen Eigenschaften und Begriffsbildungen werden die formalen Laurent-Reihen in diesem Artikel mitbehandelt. Die Definitionen und Eigenschaften sind bei den formalen Laurent-Reihen geringfügig komplexer, enthalten aber sehr häufig die formalen Potenzreihen als Spezialfall.

Unterstützung für das Rechnen mit formalen Potenz- und Laurent-Reihen gibt es in vielen Computeralgebra-Systemen.

Definitionen

Formale Potenzreihe

Für einen kommutativen Ring <math>R</math> mit Einselement (den Ausgangsring) bezeichnet <math>RX</math> den Ring der formalen Potenzreihen über <math>R</math> in der Unbestimmten <math>X</math>. Er ist isomorph zum Ring <math>R^{\N_0}</math> der Folgen

<math>(a_0, a_1,\dotsc)</math>

mit <math>a_n \in R </math>, so dass

<math>a_0+a_1 X+a_2 X^2+\dotsb = \sum_{n=0}^\infty a_n X^n </math>

die zugehörige formale Potenzreihe ist und die Folge <math>(0,1,0,0,\dotsc) </math> der Unbestimmten <math>X </math> entspricht.

Der Ring <math>R</math> in <math>RX</math> wird durch die Abbildung

<math> R \ni a \mapsto (a,0,0,\dotsc)</math>

eingebettet.

Die Folgenglieder <math>a_n </math> werden Koeffizienten genannt. Vergleiche dazu auch Polynomring.

Formale Laurent-Reihe

Der Ring <math>R(\!(X)\!)</math> ist die Lokalisierung von <math>RX</math> am Element <math>X</math>. Er wird Ring der formalen Laurent-Reihen genannt. Er ist genau dann ein Körper, wenn <math>R</math> ein Körper ist, und stimmt dann mit dem Quotientenkörper von <math>RX</math> überein.

Eine formale Laurent-Reihe <math>A(X)\in R(\!(X)\!)</math> kann endlich viele Glieder mit negativem Index haben, sie hat also die Form

<math>A(X) = \sum_{n=m}^\infty a_n X^n </math> mit <math>m\in\Z</math>, <math>a_n\in R</math>.

Diese Reihen können in die Menge<ref>die unter der noch zu definierenden Addition eine additive Gruppe ist, bei der die nachfolgende Definition der Multiplikation aber nicht funktioniert</ref> <math>R^{\Z}</math> von unendlichen Folgen eingebettet und auch als

<math>\begin{array}{ll}

A(X) & = \quad \sum_{n\in\Z} a_n X^n \\ & = \quad \left(a_n\right)_{n\in\Z} \\ & = \quad (\dotsc, a_{-1}, a_0, a_1, \dotsc) \end{array}</math> geschrieben werden unter der Vorschrift, dass fast alle Koeffizienten mit negativem Index verschwinden. Der Unbestimmten <math>X</math> entspricht die Folge:

<math> X = (\dotsc,\,0,\,0,</math> <math>0,</math> <math>1,\,0,\,0,\dotsc) \qquad \in R^{\Z}</math>
<math>\uparrow</math> <math>\uparrow</math>
Index   0 1

Ordnung

Die Funktion

<math>\operatorname{ord}_X \colon </math> <math> R(\!(X)\!) \to </math> <math>\Z \cup \{+\infty\}</math>
<math>A(X) = \sum_{n\in\Z} a_n X^n \; \mapsto \begin{cases}

\\ \\ \end{cases} </math> || <math>+\infty</math> , || falls   <math>A(X) = 0</math> (die Nullreihe)

<math>\min\left\{n\in\Z \mid a_n\ne 0\right\}</math>, falls   <math>A(X) \neq 0</math>

weist einer formalen Laurent-Reihe in der Unbestimmten <math>X</math> ihre Ordnung in der Unbestimmten <math>X</math> zu. Das Minimum <math>\min\left\{n\in\Z \mid a_n\ne 0\right\}</math> existiert für <math>A \ne 0 </math>, weil es nur endlich viele Indizes <math>n < 0 </math> mit <math>a_n\ne 0 </math> gibt.

Hierbei gelten für <math> \pm\infty </math> die üblichen Maßgaben für Vergleich und Addition:

Für alle <math> n \in \Z </math> gilt <math>-\infty < n < +\infty </math> und <math> +\infty \pm n = +\infty </math>.

Damit lassen sich die formalen Laurent-Reihen als Reihen

<math>\begin{array}{lll}

R(\!(X)\!) & = \quad \bigl\{A(X) = \sum_{n\in\Z} a_n X^n & \big| \; \operatorname{ord}_X(A) > -\!\infty \bigr\} \\ & = \quad \bigl\{\left(a_n\right)_{n\in\Z} \in R^\Z & \big| \; \exists \, u \in \Z \, \forall \, n \in \Z \colon a_n \ne 0 \implies n \ge u \bigr\} \end{array}</math> mit nach unten beschränkter Ordnung und die formalen Potenzreihen

<math>\begin{array}{lll}

RX & = \quad \bigl\{A(X) \in R(\!(X)\!) & \big| \; \operatorname{ord}_X(A) \ge 0 \bigr\} \\ & = \quad \bigl\{(\dotsc, a_{-1}, a_0, a_1, \dotsc) \in R^\Z & \big| \; \forall \, n \in \Z \colon a_n \ne 0 \implies n \ge 0 \bigr\} \end{array}</math> als solche mit nicht-negativer Ordnung charakterisieren.

Der einfacheren Schreibweise halber nehmen wir generell an, dass ein Koeffizient <math>a_n </math> einer formalen Potenz- oder Laurent-Reihe <math>A(X) </math>, falls auf ihn mit einem Index <math>n < \operatorname{ord}_X(A) </math> zugegriffen wird, den Wert 0 liefert.

Addition und Multiplikation

Sei mit

<math>B(X) = \sum_{n\in\Z} b_n X^n </math>

eine zweite formale Potenz- oder Laurent-Reihe gegeben, dann geschieht ihre Addition

<math>A(X) + B(X) = \sum_{n\in\Z} (a_n+b_n) X^n </math>

komponentenweise. Dabei ergibt die Summe zweier formaler Potenzreihen wieder eine formale Potenzreihe.

Die Multiplikation

<math>A(X) \; B(X) = \sum_{n=\operatorname{ord}_X(A)+\operatorname{ord}_X(B)}^\infty \Bigl( \sum_{i=\operatorname{ord}_X(A)}^{n - \operatorname{ord}_X(B)} a_i \, b_{n-i}\Bigr) X^n </math>

ist eine Faltung. Wieder ergibt das Produkt zweier formaler Potenzreihen eine formale Potenzreihe.

Eigenschaften

  • Für die Ringoperationen Addition und Multiplikation gelten die Gesetze der kommutativen Ringe.
  • Die formale Potenz- oder Laurent-Reihe, bei der alle Koeffizienten 0 sind, heißt Nullreihe. Sie ist das neutrale Element 0 der Addition in beiden Ringen, <math>RX</math> und <math>R(\!(X)\!)</math>.
  • Ein Skalar <math>a \in R </math> multipliziert sich wie in der üblichen Skalarmultiplikation. Damit ist 1 die Einsreihe.
  • {{#invoke:Vorlage:Anker|f |errCat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Anker |errHide=1}}Koeffizientenvergleich: Zwei formale Potenz- oder Laurent-Reihen <math>\textstyle A(X) = \sum_{n\in\Z} a_n X^n </math> und <math>\textstyle B(X) = \sum_{n\in\Z} b_n X^n </math> sind genau dann gleich, wenn sie in allen Koeffizienten
<math>\forall n\in\Z : a_n = b_n </math>
übereinstimmen.
  • Die Einheiten von <math>RX</math> sind genau diejenigen formalen Potenzreihen, deren Absolutglied (konstantes Glied) <math>a_0</math> eine Einheit in <math>R</math> ist (s. a. den § Multiplikatives Inverses).
  • Ist <math>R</math> ein noetherscher Ring, ein Integritätsring oder ein lokaler Ring, so gilt das jeweils auch für <math>RX</math>.
  • Der Polynomring <math>R[X]</math> lässt sich in <math>RX</math> homomorph (und injektiv) einbetten als ein Ring von Folgen mit nur endlich vielen nicht-verschwindenden Koeffizienten.
    Ist <math>K</math> ein Körper, so lässt sich der rationale Funktionenkörper <math>K(X)</math> in <math>K(\!(X)\!)</math> homomorph (und injektiv) einbetten.
    Es gelten die Einbettungen
<math>\begin{array}{ccc}

K[X] & \rightarrow & KX \\ \downarrow & & \downarrow \\ K(X) & \rightarrow & K(\!(X)\!) \end{array}</math>

mit den Quotientenkörpern in der unteren Zeile.

Operationen und weitere Eigenschaften

Koeffizientenextraktion

Der Operator zur Extraktion des Koeffizienten zum Grad <math>m \in \Z </math> aus der Potenz- oder Laurent-Reihe <math>\textstyle A(X) = \sum_{n\in\Z} a_n X^n </math> in <math>X </math> wird geschrieben als

<math> \left[ X^m \right] A(X). </math>

Er ist eine Projektion der rechts davon stehenden formalen Reihe auf die {{#if:trim|<math>m</math>-te}} Komponente in <math>R^{\Z}</math>. Damit ist

<math> \left[ X^m \right] A(X) = \left[ X^m \right] \sum_{n\in\Z} a_n X^n = a_m</math>

und

<math>A(X) = \sum_{n\in\Z} X^n \left[ Y^n \right] A(Y) </math> .

Bei formalen Potenzreihen <math>A(X) </math> ist für <math>m < 0 </math> definitionsgemäß {{#if:trim|}}

Leitkoeffizient

Die Ordnung <math>\operatorname{ord} </math> hat eine gewisse Analogie zur Gradfunktion in Polynomringen. So heißt der Koeffizient

<math>l(A) := \begin{cases}

\\ \\ \end{cases} </math> || style="width:15.5em" | <math>\textstyle a_{\operatorname{ord}(A)} = \left[ X^{\operatorname{ord}(A)} \right] A(X) </math> , || falls   <math>A(X) \neq 0</math>

<math>0</math> , falls   <math>A(X) = 0</math>

auch Leitkoeffizient.

Es gilt für alle <math> A, B \in R(\!(X)\!)</math>

  • <math>\operatorname{ord}(A\cdot B)\geq\operatorname{ord}(A)+\operatorname{ord}(B)</math>
(Enthält <math>R</math> keine Nullteiler – präziser: sind die Leitkoeffizienten keine Nullteiler –, dann gilt die Gleichheit.)
  • <math>\operatorname{ord}(A+B)\geq\min\{\operatorname{ord}(A),\operatorname{ord}(B)\}</math>.

Die Funktion

<math>|A| := 2^{-\!\operatorname{ord}(A)}</math>

erfüllt alle Forderungen einer nicht-archimedischen Pseudobewertung.

Ist <math>K</math> ein Körper, dann ist <math>\operatorname{ord} </math> eine (diskrete) Bewertung (ein logarithmisch geschriebener nicht-archimedischer Betrag, engl. valuation) mit dem Ring <math>KX</math> als dem (oben erwähnten) zugehörigen Bewertungsring. Man erkennt die <math>I</math>-adische Topologie wieder, wo <math>I := (X)</math> das von <math>X</math> erzeugte Ideal der Vielfachen von <math>X</math> ist. Es ist das zugehörige maximale Ideal und <math>K</math> der Restklassenkörper.

Potenzierung

Für <math> n\in\N_0 </math> ist

<math> \bigl( A(X) \bigr)^n = \left( \sum_{k=0}^\infty a_k X^k \right)^n =: \sum_{m=0}^\infty c_m X^m </math>

mit

<math> c_0 = a_0^n </math>

und rekursiv

<math> c_m \, m \, a_0 = \sum_{k=1}^m (kn - m+k) \, a_{k} \, c_{m-k} </math>     für <math> m\in\N </math>,

also beispielsweise

<math> c_1 = \binom{n}1 a_0^{n-1} a_1 </math>,
<math> c_2 = \binom{n}1 a_0^{n-1} a_2 + \binom{n}2 a_0^{n-2} a_1^2 </math>,
<math> c_3 = \binom{n}1 a_0^{n-1} a_3 + \binom{n}{n\!-\!2,1,1} a_0^{n-2} a_1 a_2 + \binom{n}3 a_0^{n-3} a_1^3 </math>, ... .

Die <math>c_m </math> sind Polynome in den <math>a_k </math> mit ganzzahligen (multinomialen) Koeffizienten, auch wenn die Rekursionsformel nur dann in einfacher Weise nach <math>c_m </math> aufzulösen ist, wenn <math>m </math> und <math>a_0 </math> im Ring <math>R </math> invertierbar sind. (Für den Fall <math>a_0=0 </math> s. a. den § Komposition.)

Multiplikatives Inverses

Die formale Potenzreihe <math>\textstyle A(X) = \sum_{n=0}^\infty a_n X^n \in RX </math> hat genau dann ein multiplikatives Inverses <math>\textstyle B(X) := \sum_{n=0}^\infty b_n X^n \in RX </math>, wenn das Absolutglied

<math>a_0 = \left[ X^0 \right] A(X) </math>

invertierbar ist im Ring <math>R </math>. Dann ist auch

<math>\operatorname{ord}_X(A) = 0 </math>

und rekursiv

<math>\begin{align}

b_0 &= a_0^{-1} \\ b_n &= -a_0^{-1} \sum_{i=1}^n a_i b_{n-i}\qquad \qquad (n \ge 1). \end{align}</math> Ist <math>K </math> ein Körper, dann ist eine formale Potenzreihe genau dann invertierbar in <math>KX</math>, wenn das Absolutglied nicht 0 ist, das heißt, wenn sie nicht durch <math>X </math> teilbar ist.

{{#invoke:Vorlage:Anker|f |errCat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Anker |errHide=1}}Ist bei der formalen Potenzreihe <math>A(X) </math> das Absolutglied <math>a_0 = 0 </math> oder handelt es sich um eine formale Laurent-Reihe, dann lässt sich bei invertierbarem Leitkoeffizienten <math>l(A) = a_{\operatorname{ord}_X(A)} </math> die Reihe <math>A(X) </math> in <math>R(\!(X)\!) </math> über den Zwischenschritt

<math>B(X) := X^{-\!\operatorname{ord}_X(A)} A(X) \in KX </math>

multiplikativ invertieren mit dem Ergebnis:

<math>A(X)^{-1} = X^{-\!\operatorname{ord}_X(A)} B(X)^{-1} \in K(\!(X)\!) </math>

Ist <math>K </math> ein Körper, dann ist <math>K(\!(X)\!)</math> der Quotientenkörper von <math>KX</math>.

Division

Ist der Divisor <math>A(X) </math> invertierbar in <math>RX </math>, dann hat der Quotient

<math>C(X) = \sum_{n=0}^\infty c_n X^n := Z(X)/A(X) = \Bigl(\sum_{n=0}^\infty z_n X^n \Bigr) \; / \; \Bigl(\sum_{n=0}^\infty a_n X^n \Bigr) </math>

zweier Potenzreihen <math>Z(X) </math> und <math>A(X) </math> nach dem Rechenschema

{{#switch:|digits|digits 2=Vorlage:Str replace|digits 3=Vorlage:Str replace|digits 4=Vorlage:Str replace|#default=Quotient}}
Dividend Divisor
<math>(z_0 </math> <math>+ z_1 X </math> <math>+ z_2 X^2 </math> <math>+ \dotsb ) </math> <math>/ </math> <math>(a_0 </math> <math>+ a_1 X </math> <math>+ a_2 X^2 </math> <math>+ \dotsb ) </math> <math>= </math>
<math>{-a_0 \tfrac{z_0}{a_0}} </math> <math>{- a_1 c_0 X} </math> <math>{- a_2 c_0 X^2} </math> <math>- \dotsb </math> <math>\tfrac{z_0}{a_0} \;\, = </math> <math> c_0 </math>  
<math> (z_1\!-\!a_1 c_0) X </math> <math> +(z_2\!-\!a_2 c_0) X^2 </math> <math>+ \dotsb </math>
<math> {-a_0 \tfrac{z_1 - a_1 c_0}{a_0} X} </math> <math> {-a_1 c_1 X^2} </math> <math>- \dotsb </math> <math>+ \tfrac{z_1 - a_1 c_0}{a_0} X = </math> <math> +c_1 X </math>
<math> (z_2\!-\!a_2 c_0\!-\!a_1 c_1) X^2 </math> <math>+ \dotsb </math>
<math> {\; \; -a_0 \tfrac{z_2 - a_2 c_0 - a_1 c_1}{a_0} X^2} </math> <math>- \dotsb </math> <math>+ \tfrac{z_2 - a_2 c_0 - a_1 c_1}{a_0} X^2 = </math> <math> +c_2 X^2 </math>
<math>+ \dotsb </math>
<math>- \dotsb </math> <math>+ \dotsb </math>

der in der Monomordnung gespiegelten Polynomdivision rekursiv die Koeffizienten

<math>\begin{align}

c_n =& a_0^{-1} \left(z_n - \sum_{i=1}^n a_i c_{n-i}\right) \qquad \qquad (n \ge 0). \\ \end{align}</math>

Der Zwischenschritt im § Multiplikatives Inverses deutet an, wie sich das gezeigte Rechenschema zu einem Divisionsalgorithmus in <math>R(\!(X)\!) </math> ausbauen lässt.

Inverses von Polynomen

Für Körper <math>K</math> lässt sich der Körper <math>K(X)</math> der rationalen Funktionen (Polynomquotienten) der Form

<math>

\frac{Z(X)}{A(X)} = \frac{z_0 + z_1 X + \dotsb + z_e X^e}{a_0 + a_1 X + \dotsb + a_d X^d} </math> in den Körper <math>K(\!(X)\!)</math> in ähnlicher Weise wie <math>K[X]</math> in <math>KX</math> einbetten. Ein wichtiges Beispiel ist

<math>K(X) \ni \quad \frac{1}{1-X} = \sum_{n=0}^\infty X^n \quad \in K(\!(X)\!) </math>.

Allgemeiner:
Ist

<math>A(X) = \sum_{n=0}^d a_n X^n </math>

ein von 0 verschiedenes Polynom, dann ist mit <math>k:=\operatorname{ord}_X(A) \in \N_0 </math> der (Leit-)Koeffizient <math>a_k \ne 0</math> invertierbar in <math>K </math> und mit

<math>C(X) := X^{-k} \, A(X) =: \sum_{n=0}^{d-k} a_{n+k} X^{n+k} \in KX </math>

<math>\operatorname{ord}_X(C) = 0 </math>. Damit ist <math>C(X) </math> multiplikativ invertierbar in <math>KX </math> mit dem multiplikativen Inversen <math>D(X) := C(X)^{-1} \in KX</math>. Das multiplikative Inverse von <math>A(X) </math> ist dann

<math>\begin{array}{rll}

B(X) =& \sum_{n=-k}^\infty b_n X^n \\

=& X^{-k} \, D(X) & \qquad \bigl(\in K(\!(X)\!) \, \bigr) \\

=& X^{-k} \, C(X)^{-1} \\ =& X^{-k} \, \bigl(X^{-k} \, A(X) \bigr)^{-1} \\ =& A(X)^{-1} \end{array}</math> mit den Koeffizienten

<math>\begin{array}{lll}

b_{-k} &= a_k^{-1} \\ b_n &= -a_k^{-1} \sum_{i=k+1}^{\min(d,2k+n)} a_i b_{k+n-i} & \quad (n \ge -k+1). \end{array}</math>

Beispiel
Ist <math>A(X) = 1 - X - X^2 </math>, dann ist <math>b_0 = b_1 = 1</math> und <math>b_n = b_{n-1} + b_{n-2} </math> für <math>n \ge 2 </math>. Die <math>b_n </math> sind also die (um 1 Position verschobene) Fibonacci-Folge und <math>X/A(X) = X \, B(X) </math> ihre erzeugende Funktion.
Somit ist ein Polynomquotient <math>B = 1/A </math> an seiner Koeffizientenfolge <math>\left(b_n\right) </math> nicht so leicht als rational zu erkennen wie eine rationale Zahl an ihrer periodischen g-adischen Entwicklung.

<math>K(\!(X)\!)</math> ist die Vervollständigung des Körpers <math>K(X)</math> bezüglich der im § Konvergenz beschriebenen Metrik.

Konvergenz

Eine formale Potenzreihe

<math>A(X) = \sum_{n=0}^\infty a_n X^n </math>

ist unter der Metrik

<math>\operatorname{d}(A,B) := |A-B| = 2^{-\!\operatorname{ord}(A-B)}</math>.

Grenzwert der Folge von Polynomen <math>\bigl(A_k (X)\bigr)_{k\in\N} </math> mit

<math>A_k(X) := \sum_{n=0}^k a_n X^n </math> .

Das einschlägige Konvergenzkriterium ist ein Cauchy-Kriterium für Folgen, und <math>RX </math> ist die Vervollständigung des Polynomrings <math>R[X]</math> bezüglich dieser Metrik.

Diese Metrik erzeugt die Krulltopologie in den Ringen <math>RX</math> und <math>R(\!(X)\!)</math>.

Zwei Folgen von formalen Laurent-Reihen <math>\bigl(A_k (X)\bigr)_{k\in\N} \in R(\!(X)\!) </math> und <math>\bigl(B_l (X)\bigr)_{l\in\N} \in R(\!(X)\!) </math> haben genau dann denselben Grenzwert, wenn es zu jedem <math>\varepsilon > 0 </math> ein <math>N \in \Z </math> gibt, so dass für alle <math>k,l > N</math>

<math>|A_k (X) - B_l (X)| < \varepsilon </math>

ist, was nichts Anderes bedeutet, als dass für ausreichend große Indizes die Differenzen von Gliedern der beiden Folgen durch beliebig hohe Potenzen von <math>X</math> teilbar sind – kurz: dass die beiden Grenzwerte gleiche Koeffizienten haben.

Zur Konvergenz von Potenzreihen und Laurent-Reihen für „eingesetzte Werte“ von <math>X</math> (aufgefasst als Variable) in reeller/komplexer Metrik siehe Laurent-Reihe#Konvergenz von Laurent-Reihen.

Verkettung (Komposition)

Eine formale Potenzreihe <math>\textstyle P(X) := \sum_{i=1}^\infty p_i X^i = p_1 X + p_2 X^2 + \cdots</math> ohne Absolutglied lässt sich in eine formale Potenz- oder Laurent-Reihe <math>\textstyle A(X) := \sum_{n\in\Z} a_j X^j </math> mit dem Ergebnis

<math>\begin{array}{lll}

C(X) & := & (A\circ P)(X) := A(P(X)\!) \\ & = & \sum_{j\in\Z} a_j \bigl(P(X)\bigr)^j \\ & = & \sum_{j\in\Z} a_j \left( \sum_{i=1}^\infty p_i X^i \right)^j \\ & =: & \sum_{n\in\Z} c_n X^n \end{array}</math> einsetzen (mit ihr verketten).
Für die Einsetzbarkeit der Potenzreihe <math>P(X) </math> ist wichtig, dass sie keinen konstanten Term (kein Absolutglied) hat, dass also <math>\operatorname{ord}_X(P) \ge 1</math> ist. Denn dann hängt <math>c_n </math> nur von einer endlichen Anzahl von Koeffizienten ab.

Ist <math>A(X)</math> eine Potenzreihe, also <math>\operatorname{ord}_X(A) \ge 0</math>, dann ist auch <math>C(X)</math> eine Potenzreihe, und für die Koeffizienten <math>c_n</math> gilt die Formel

<math>c_n = [X^n] \, \sum_{j=0}^\infty a_j \left( \sum_{i=1}^\infty p_i X^i \right)^j = \sum_{j\in\N_0,\, \vert \boldsymbol{i}\vert=n} a_j p_{i_1} p_{i_2} \cdots p_{i_n}</math>

mit <math>\boldsymbol{i} := (i_1, \ldots , i_n) </math> und <math>\vert \boldsymbol{i}\vert := i_1 + \cdots + i_n </math> (s. Multiindex#Konventionen der Multiindex-Schreibweise).

Andernfalls, wenn es <math>n < 0</math> mit <math>a_n \ne 0 </math> gibt, dann können Potenzen <math>P(X)^n </math> mit negativem Exponenten über das multiplikative Inverse <math>P(X)^{-1} </math> gebildet werden.

Die <math>c_n </math> sind Polynome in den <math>p_i, \dotsc, a_j, \dotsc</math> mit ganzzahligen Koeffizienten. Eine explizitere Darstellung findet sich im

{{#if: Formel von Faà di Bruno|{{#ifexist:Formel von Faà di Bruno|

|{{#if: |{{#ifexist:{{{2}}}|

→ Haupt{{#if:|seite|artikel}}: [[{{{2}}}{{#if: ||{{{titel2}}}}}]]{{#if: |{{#ifexist:{{{3}}}| und [[{{{3}}}{{#if: ||{{{titel3}}}}}]]|}}|}}

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→ Haupt{{#if:|seite|artikel}}: [[{{{3}}}{{#if: ||{{{titel3}}}}}]]

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Formale Differentiation

Die formale Ableitung der formalen Potenz- oder Laurent-Reihe <math>\textstyle A(X) = \sum_{n\in\Z} a_n X^n </math> wird mit <math>\operatorname{D}_X A(X) = \operatorname{D}A(X) = \operatorname{D}A</math> oder (wie in der Analysis) mit <math>A^\prime</math> bezeichnet:

<math>\operatorname{D}A(X) = \sum_{n\in\Z} n a_n X^{n-1} </math> .

Dabei ergibt die Ableitung einer formalen Potenzreihe wieder eine formale Potenzreihe. Sie ist eine {{#if:trim|<math>R</math>-Derivation,}} und sie gehorcht den bekannten Rechenregeln der Differentialrechnung einschließlich der Kettenregel:

<math>\operatorname{D}(A\circ B)(X) = (\operatorname{D}A)\left(B(X)\right) \cdot \operatorname{D}B(X)</math> .

Bezogen auf die Ableitung verhalten sich formale Potenz- oder Laurent-Reihen wie (unendliche) Taylor-Reihen oder Laurent-Reihen. Tatsächlich ist für <math>k\leq m</math>

<math>\left[ X^{m-k} \right] (\operatorname{D}^k A)(X) = \prod_{j=0}^{k-1}(m-j) \, \left[ X^m \right]A(X) = k! \, \binom{m}{k} \, a_m </math>

und

<math>\left[ X^0 \right] (\operatorname{D}^m A)(X) = m! \, a_m </math> .

Damit sind in einem Ring mit von 0 verschiedener Charakteristik immer nur endlich viele formale Ableitungen von der Nullreihe verschieden. Ferner gilt

<math>\operatorname{ord}(A^\prime) \ge \operatorname{ord}(A) -1 </math> .

Für Reihen mit   <math>\operatorname{ord}(A) \; l(A) \; \ne 0 </math>   gilt das Gleichheitszeichen.

Formales Residuum

Sei <math>K</math> ein Körper der Charakteristik 0. Dann ist die Abbildung

<math>\operatorname{D}\colon K(\!(X)\!)\to K(\!(X)\!)</math>

eine <math>K</math>-Derivation, die

<math>\ker \operatorname{D}=K</math>
<math>\operatorname{im} \operatorname{D}= \left \{A\in K(\!(X)\!) : [X^{-1}]A=0 \right \}</math>

erfüllt. Das zeigt, dass der Koeffizient von <math>X^{-1}</math> in <math>A</math> von besonderem Interesse ist; er wird formales Residuum von <math>A</math> genannt und mit <math>\operatorname{Res}(A)</math> notiert. Die Abbildung

<math>\operatorname{Res}\colon K(\!(X)\!)\to K</math>

ist <math>K</math>-linear, und man hat die exakte Sequenz

<math>0 \to K \to K(\!(X)\!) \; \xrightarrow[\operatorname{D}] \;\, K(\!(X)\!) \; \xrightarrow[\operatorname{Res}] \;\, K \to 0</math>.
Ein paar Regeln aus der Differentialrechnung

Für alle <math>A = \textstyle \sum_{n\in\Z} a_n X^n, B\in K(\!(X)\!)</math> gilt:

i. <math>\operatorname{Res}(A^\prime)=0</math>.
ii. <math>\operatorname{Res}(A B^\prime)=-\operatorname{Res}(A^\prime B)</math>.
iii. <math>A\neq 0</math> <math>\implies \, \operatorname{Res}(A^\prime/A)=\operatorname{ord}(A)</math>.
iv. <math>\operatorname{ord}(B)>0</math> <math>\implies \, \operatorname{Res}\left(\!( A\circ B) B^\prime\right) = \operatorname{ord}(B)\operatorname{Res}(A)</math>.
v. <math>[X^n]A(X)=\operatorname{Res}\left(X^{-n-1}A(X)\right).</math>

Eigenschaft (i) ist Teil der exakten Sequenz.
Eigenschaft (ii) folgt aus (i), wenn auf <math>(A B)^\prime=A^\prime B+A B^\prime</math> angewendet.
Eigenschaft (iii): Jedes <math>A\in K(\!(X)\!)</math> kann als <math>A=:X^m B</math> mit <math>m:=\operatorname{ord}(A)</math> und <math>C \in KX</math> geschrieben werden, woraus <math>A^\prime/A = mX^{-1}+C^\prime/C.</math> Wegen <math>\operatorname{ord}(C)=0</math> ist <math>C</math> invertierbar in <math>KX\subset \operatorname{im}(\operatorname{D}) = \ker(\operatorname{Res}),</math> woraus <math>\operatorname{Res}(A^\prime/A)=m</math> folgt.
Eigenschaft (iv): Da <math>\operatorname{im}(\operatorname{D}) = \ker(\operatorname{Res}),</math> kann man <math>A=a_{-1} X^{-1}+F^\prime,</math> mit <math>F \in KX</math> schreiben. Folglich ist <math>(A\circ B)B^\prime= a_{-1} B^{-1}B^\prime+(F^\prime\circ B)B^\prime = a_{-1} B^\prime/B + (F \circ B)^\prime</math> und (iv) folgt aus (i) und (iii).
Eigenschaft (v) folgt direkt aus der Definition.

Inverses der Komposition (Umkehrfunktion)

Hat die formale Potenzreihe <math>\textstyle A(X) = \sum_{n=1}^\infty a_n X^n \in RX</math> den Koeffizienten <math> \left[ X^0 \right] A(X) = 0 </math> und ist <math>\left[ X^1 \right] A(X) = a_1 </math> invertierbar in <math>R</math>, dann lässt sich das Inverse der Komposition, die (formale) Umkehrfunktion, <math>\textstyle B(X) := A^{-1}(X) = \sum_{n=1}^\infty b_n X^n</math> von <math>A</math> bilden. Ihre Koeffizienten <math>b_n </math> sind ganzzahlige Polynome in <math>a_1^{-1}</math> und den <math>a_n (n\ge 2) </math>.

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Etwas schwächer, aber leichter hinzuschreiben, sind die Aussagen:

Ist <math>K </math> ein Körper der Charakteristik 0, dann wird die Formel
<math>b_n = 1/n \left[ X^{n-1} \right] \left( \frac{X}{A(X)} \right)^n </math> <math>(\mathbf{I}) </math>
als eine weitere Version der Lagrangeschen Inversionsformel gehandelt.<ref>A. Sokal</ref><ref>J. Hofbauer</ref>
Etwas breiter einsetzbar ist die Formel:
Ist <math>\textstyle C(X) = \sum_{n=0}^\infty c_n X^n \in KX</math> beliebig, dann ist
<math>(C\circ A^{-1})(X) = c_0 + \sum_{n=1}^\infty \frac{X^n}{n} \left[ Y^{n-1} \right] C^\prime(Y) \left( \frac{Y}{A(Y)} \right)^n </math> <math>(\mathbf{II}) </math>

Es gibt verschiedene Formulierungen der Lagrangeschen Inversionsformel (dazu gehört die Formel von Lagrange-Bürmann) häufig mithilfe von höheren Ableitungen und Bell-Polynomen.

Beispiel

Die zu

<math>A(X) := X - \frac{a X^2}{1!} + \frac{a^2 X^3}{2!} \mp \cdots = X \exp(-a X) = \frac{X}{\exp(a X)} </math>

inverse Reihe ist

<math>B(X) := \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(n a \right)^{n-1}}{n!} X^n </math> ,

denn es ist <math>(\mathbf{I}) </math>

<math>b_n = 1/n \left[ X^{n-1} \right] \frac{X}{A(X)} = 1/n \left[ X^{n-1} \right] \exp(a X) = \frac{\left(n a \right)^{n-1}}{n!} </math> ,

woraus die Behauptung.

Universelle Eigenschaft

Der Ring <math>RX</math> kann durch die folgende universelle Eigenschaft charakterisiert werden:
Sei <math>B</math> eine kommutative assoziative Algebra über dem kommutativen und unitären Ring <math>R</math>. Ist nun <math>I</math> ein Ideal von <math>R</math> derart, dass die <math>I</math>-adische Topologie auf <math>B</math> vollständig ist, und ist <math>x\in I,</math> dann gibt es ein eindeutiges <math>\Phi\colon RX\to B</math> mit den folgenden Eigenschaften:

  • <math>\Phi(X)=x</math>
  • <math>\Phi</math> ist ein Homomorphismus von <math>R</math>-Algebren
  • <math>\Phi</math> ist stetig.

In mehreren Unbestimmten

Ist <math>R</math> ein kommutativer Ring mit 1, dann sind <math>R_1 := RX_1</math> und <math>{}_1\!R := R(\!(X_1)\!)</math> kommutative Ringe mit 1 und damit auch rekursiv

<math>R_m := R_{m-1}X_m =: RX_1 , \dotsc , X_m</math>

und

<math>{}_m\!R := {}_{m-1}\!R(\!(X_m)\!) =: R(\!(X_1 , \dotsc , X_m)\!)</math>.

Dabei kommt es nicht auf die Reihenfolge der <math>X_1, \dotsc, X_m </math> an, m. a. W.: die Ringe aller Permutationen sind isomorph, und man kann jeden Zwischenring als Ausgangsring auffassen.

Allgemein versteht man jede Summe

<math>A(X_1, \dotsc, X_m) = \sum_{n_1,\dotsc,n_m \in \Z} a_{n_1,\dotsc,n_m}X_1^{n_1}\dotsm X_m^{n_m}</math>

von Monomen der Form <math>a_{n_1,\dotsc,n_m}X_1^{n_1}\dotsm X_m^{n_m}</math> mit ganzzahligen Exponenten <math>n_1,\dotsc,n_m</math> als formale Reihe in mehreren Unbestimmten, und zwar als Potenzreihe, wenn alle Koeffizienten mit einer negativen Indexkomponente <math>n_i </math> verschwinden, oder als Laurent-Reihe, wenn es eine untere Schranke <math>u \in \Z </math> mit <math>a_{n_1,\dotsc,n_m} \ne 0 \implies \forall i : n_i \ge u </math> gibt.

Durch eine Monomordnung ist es möglich, die Monome entsprechend anzuordnen und dadurch Begriffe wie Leitkoeffizient zu verallgemeinern.

Die Größe <math>n_1+\dotsb+n_m</math> heißt der Totalgrad eines Monoms <math>X_1^{n_1}\dotsm X_m^{n_m}</math>. Haben die (nichtverschwindenden) Monome einer formalen Potenz- oder Laurent-Reihe alle denselben Totalgrad, so ist sie eine homogene Reihe; bei einer formalen Potenzreihe handelt es sich dann um ein homogenes Polynom.

Beim Operator zur Koeffizientenextraktion

<math>\left[ X_m^{n_m} \right] A(X_1, \dotsc, X_m) </math>

aus der Potenz- oder Laurent-Reihe <math>A </math> müssen konstruktionsbedingt alle Monome, in denen die Unbestimmte <math>X_m </math> den Grad <math>n_m </math> hat, als Potenz- oder Laurent-Reihe in den anderen Unbestimmten <math>X_1, \dotsc, X_{m-1} </math> zusammengefasst werden.

Bei der obigen sukzessiven Bildung von <math>R_2 := R_1X_2 = \bigl(RX_1\bigr)X_2 </math> geht die Topologie des Ausgangsrings, hier: <math>R_1 := RX_1 </math>, verloren: die Topologie des Teilraums <math>R_1 </math> in <math>R_2 = R_1X_2 </math> ist konstruktionsgemäß die diskrete. Man kann aber auch, wenn solches nicht erwünscht ist, das Ergebnis <math>RX_1,X_2 </math> mit dem Produkt der Topologien von <math>RX_1 </math> und <math>RX_2 </math> ausstatten. Für Ringe <math>R(\!(X_1,X_2)\!)</math> von formalen Laurent-Reihen gilt Entsprechendes.

Siehe auch

Literatur

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Einzelnachweise und Anmerkungen

<references/>

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