Pseudobewertung

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Vorlage:Hinweisbaustein Eine Pseudobewertung ist eine abgeschwächte Variante eines Betrags.

Definition

Sei <math>R</math> ein unitärer Ring. Eine Abbildung <math>|\cdot| \colon R\to\R_{\geq0}</math> in die nichtnegativen reellen Zahlen wird Pseudobewertung genannt, wenn für alle <math>a,b\in R</math> folgende Eigenschaften gelten:

(1) <math> |a|=0\;\Leftrightarrow\; a=0</math> (Definitheit)

(2) <math> |a-b|\leq |a|+|b|</math>

(3) <math> |a\cdot b|\leq |a|\cdot |b|</math> (Submultiplikativität)

Wird (3) verschärft zu

(3a) <math> |a\cdot b|= |a|\cdot |b|</math> (Multiplikativität),

so ist <math>|\cdot|</math> ein Betrag.

Die Pseudobewertung <math>|\cdot|</math> heißt nicht-archimedisch, wenn

(4) <math> |a+b|\leq \max(|a|,|b|)</math>

gilt.

Eigenschaften

Für eine Pseudobewertung gelten stets

und

<math>|a+b|\leq |a|+|b|</math> (Dreiecksungleichung).

Für eine Pseudobewertung gilt stets <math>|1|\geq 1</math>, für einen Betrag gilt sogar <math>|1|=1</math>.
Jeder unitäre Ring mit Betrag ist notwendigerweise bereits ein Integritätsring (durch die Multiplikativität vererbt sich die Nullteilerfreiheit der reellen Zahlen auf den Ring).
Die Funktion

<math>

\begin{array}{llll} d \; \colon & R \times R & \to \R_{\geq0} \\ & d(a,b) & \mapsto |a-b| \end{array} </math>

definiert die von der Pseudobewertung <math>|\cdot| </math> induzierte Metrik. Sie ist eine Ultrametrik, wenn jener nicht-archimedisch ist.

Beispiele

Sei <math>(R,|\cdot |)</math> ein unitärer Ring mit Pseudobewertung.

Polynomringe mit Pseudobewertung

Dann sind die Polynomalgebren <math>R[X]</math> in einer bzw. <math>R[X_1,\ldots,X_n]</math> in mehreren Veränderlichen selbst wiederum unitäre Ringe (mit der Polynommultiplikation). Die 1-Pseudonorm ist auf diesen Polynomringen eine Pseudobewertung.

Matrizenringe mit Pseudobewertung

Analog sind die Matrizenalgebren <math>R^{n\times n}</math> wiederum unitäre Ringe (hier mit der Matrizenmultiplikation). Hier ist sogar die p-Pseudonorm für jedes reelle p mit <math>1\leq p\leq 2</math> eine Pseudobewertung auf dem Matrizenring.