Monomordnung
Eine Monomordnung oder Termordnung <math>\leq</math> ist eine lineare Ordnung auf der Menge der Monome über einer endlichen Variablenmenge. Monomordnungen werden zur Definition der Division mit Rest von Polynomen in mehreren Variablen benötigt. Eine Gröbnerbasis bzgl. <math>\leq</math> definiert den Rest dieser Division eindeutig.
Definition
Eine lineare Ordnung <math>\leq</math> auf der Menge
- <math>M := \{ x^\alpha=x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n} \mid \alpha=(\alpha_1,\dotsc,\alpha_n)\in \Z_{\geq 0}^n\} </math>
der Monome in den Variablen <math>x_1,\dots,x_n</math> heißt Monomordnung, falls gilt
(1) Für alle Monome <math>x^\alpha, x^\beta, x^\gamma \in M</math> gilt
- <math>x^\alpha \leq x^\beta \Rightarrow x^{\alpha+\gamma} \leq x^{\beta+\gamma}</math>
(2) Das Monom <math>1</math> ist das kleinste Monom, also
- <math>\forall x^\alpha \in M: 1 \leq x^\alpha</math>
Äquivalente Definitionen
Es sind auch andere äquivalente Definitionen üblich. So ist es etwa möglich die Bedingung (2) durch eine andere Bedingung auszutauschen. In der Literatur<ref>D. A. Cox, J. B. Little, D. O’Shea: Ideals, Varieties, and Algorithms. 2007, 2.2. Definition 1, Lemma 2.</ref> finden sich zum Beispiel:
(2') Die Ordnung <math>\leq </math> ist eine Wohlordnung
oder auch äquivalenten dazu
(2*) Bezüglich der Ordnung <math>\leq</math> gibt es keine unendlichen absteigenden Ketten <math>x^{\alpha_1}> x^{\alpha_2} > x^{\alpha_3} > \cdots</math> von Monomen.
Die Eigenschaft (2*) ist Grundlage vieler Terminierungsbeweise für Algorithmen im Zusammenhang mit Gröbnerbasen.
Beispiele für Monomordnungen
Monome in einer Variablen
Falls wir nur eine Variable haben, also <math>n=1</math> gilt, gibt es nur eine Monomordnung <math>\leq </math>. Aus der Definition einer Monomordnung folgt nämlich direkt, dass in diesem Fall <math>1=x^0\leq x^1\leq x^2\leq \dotsc</math> sein muss.
(Rein) Lexikalische Ordnung
Bezüglich der lexikalischen oder lexikographischen Ordnung <math>\leq_\mathrm{lex}</math> gilt <math> x^\alpha \leq_\mathrm{lex} x^\beta </math> genau dann, wenn der am weitesten links stehende, von Null verschiedene Eintrag von <math>\alpha-\beta </math> negativ ist. Das heißt, es kann rekursiv definiert werden
- <math> x^\alpha \leq_\mathrm{lex} x^\beta\Leftrightarrow (\alpha_1 < \beta_1)\mbox{ oder }(\alpha_1 = \beta_1\mbox{ und } x_2^{\alpha_2}\cdots x_n^{\alpha_n} \leq_\mathrm{lex} x_2^{\beta_2}\cdots x_n^{\beta_n}).</math>
Totalgradordnung
Die Totalgradordnung oder graduierte lexikalische Ordnung <math>\leq_\mathrm{tdeg}</math> ist definiert durch
- <math>x_1^{e_1}\cdots x_n^{e_n} \leq_\mathrm{tdeg} x_1^{f_1}\cdots x_n^{f_n} \Leftrightarrow\left(\sum_{i=1}^n e_i < \sum_{i=1}^n f_i\right)\mbox{ oder }\left(\sum_{i=1}^n e_i = \sum_{i=1}^n f_i\mbox{ und } x_1^{e_1}\cdots x_n^{e_n} \leq_\mathrm{lex} x_1^{f_1}\cdots x_n^{f_n}\right)</math>
Grad-revers-lex-Ordnung (Degree reverse lexicographical order)
Hier gilt<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Winfried Bruns|Winfried Bruns: }}{{#if:|{{#if:Computer-Algebra|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Computer-Algebra}}]{{#if:PDF| (PDF)}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.home.uni-osnabrueck.de/wbruns/brunsw/CompAlg.pdf%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Computer-Algebra}}}}%7C[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.home.uni-osnabrueck.de/wbruns/brunsw/CompAlg.pdf}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Computer-Algebra}}}}]}}{{#if:PDF| (PDF{{#if:{{#if: 2019-07-31 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}
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Matrix-Ordnungen
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<math> x^\alpha \leq_\mathrm{A} x^\beta\Leftrightarrow (A\alpha \leq_\mathrm{lex} A\beta).</math>
Insbesondere kann man jede beliebige Monomordnung als Matrixordnung in <math>\R^{n \times n}</math>darstellen. So ergibt sich beispielsweise für die Totalordnung (graduiert lexikographische Ordnung) folgende Matrix: <math> \begin{pmatrix} 1 & 1&...&1&1 \\ 1 & 0 & ... & 0&0\\0&1&...&0&0\\...&...&...&...&...\\0&0&...&1&0 \end{pmatrix}</math>. Die Grad-revers-lex-Ordnung kann folgendermaßen in eine Matrix umgesetzt werden: <math> \begin{pmatrix} 1 & 1&...&1&1 \\ 0 & 0 & ... & 0&-1\\0&0&...&-1&0\\...&...&...&...&...\\0&-1&...&0&0 \end{pmatrix}</math>.
Blockordnungen oder Eliminationsordnungen
Jedes Monom <math>m</math> über einer Variablenmenge <math>X \cup Y</math> kann auf eindeutige Weise in ein Produkt <math>m_x m_y</math> zerlegt werden, so dass in <math>m_x</math> nur Variablen aus <math>X</math> und in <math>m_y</math> nur Variablen aus <math>Y</math> vorkommen. Mit dieser Schreibweise wird für gegebene Monomordnungen <math>\leq_x</math> und <math>\leq_y</math> auf Monomen über den Variablen aus <math>X</math> bzw. <math>Y</math> die Blockordnung <math>\leq_{x > y}</math> auf Monomen in <math>X \cup Y</math> definiert als
- <math>m \leq_{x > y} n \mbox{ genau dann, wenn }(m_x <_x n_x)\mbox{ oder }
(m_x = n_x\mbox{ und } m_y \leq_y n_y)</math>
Begriffe im Zusammenhang mit Polynomen
Eine Monomordnung erlaubt es die Monome in einem Polynom anzuordnen. Für ein Polynom <math>f(x)=\sum_\alpha a_\alpha x^\alpha \in k[x]=k[x_1,\dotsc,x_n]</math> kann dann zum Beispiel der Multigrad <math>\mbox{multideg}_\leq(f)</math>, der Leitkoeffizient <math>\mbox{LC}_\leq(f)</math>, das Leitmonom <math>\mbox{LM}_\leq(f)</math> oder der Leitterm <math>\mbox{LT}_\leq(f)</math> von <math>f</math> bezüglich der Monomordnung <math>\leq </math> definiert werden.<ref>D. A. Cox, J. B. Little, D. O’Shea: Ideals, Varieties, and Algorithms. 2007, 2.2. Definition 7.</ref> Es gilt
- <math>\mbox{multideg}_\leq(f):= \max_{\alpha\in \Z_{\geq 0}^n, a_\alpha\neq 0} \alpha,\quad \mbox{LC}_\leq(f):= a_{\mbox{multideg}_\leq(f)}, \quad\mbox{LM}_\leq(f):= x^{\mbox{multideg}_\leq(f)}, \quad\mbox{LT}_\leq(f):= \mbox{LC}_\leq(f)\mbox{LM}_\leq(f)= a_{\mbox{multideg}_\leq(f)}x^{\mbox{multideg}_\leq(f)}.</math>
Für den Polynomring in einer Variablen ergeben sich daraus die üblichen Definitionen für den Grad des Polynoms, seinen Leitkoeffizienten und seinen Leitterm.
Literatur
- T. Becker, V. Weispfenning: Gröbner Bases, a computational approach to commutative algebra. Springer-Verlag, 1993, ISBN 3-540-97971-9.
- {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}
Einzelnachweise
<references />