Krulltopologie

Die Krulltopologie, nach Wolfgang Krull, ist eine Topologie auf der Galoisgruppe einer nicht notwendigerweise endlichen Körpererweiterung <math>L/K</math>, so dass diese zu einer so genannten topologischen Gruppe wird.

Definition für Galoiserweiterungen

Es sei <math>L/K</math> eine nicht notwendigerweise endliche galoissche Körpererweiterung. Für eine unendliche Erweiterung bedeute dabei galoissch, dass die Erweiterung separabel ist und zu jeder endlichen Teilerweiterung <math>K\subseteq M\subseteq L</math> auch die normale (und mithin galoisssche) Hülle von <math>M</math> enthält.

Zur Definition der Krull-Topologie<ref>Vgl. {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref>Siehe {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> betrachte man zunächst die Mengen

<math>\mathcal{E} := \{M \mid K \subseteq M \subseteq L , [M:K]< \infty \}</math> der über <math>K</math> endlichen Teilerweiterungen und
<math>\mathcal{N} := \{M \mid K \subseteq M \subseteq L , [M:K]< \infty \text{ und } M/K \text{ galoissch}\}</math> der über <math>K</math> endlichen und normalen Teilerweiterungen.

Es ist <math>\mathcal{N} \subseteq \mathcal{E}</math>.

Man definiert auf der Gruppe <math>G(L/K) := \operatorname{Aut_K(L)}</math> eine offene Umgebungsbasis des neutralen Elements als das Mengensystem <math>\{G(L/M)\mid M \in \mathcal{E} \}</math>.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> (Diese Umgebungsbasis enthält Untergruppen von endlichem Index, die Fixgruppen von Zwischenkörpern sind.) Dadurch wird <math>G(L/K)</math> zu einer topologischen Gruppe.
Dieselbe Topologie wird durch die offene Umgebungsbasis <math>\{G(L/M)\mid M \in \mathcal{N} \}</math> erzeugt, die nur die Normalteiler aus obiger Umgebungsbasis enthält.
Versieht man die endlichen Galoisgruppen <math>G(M/K) \;(M\in \mathcal{N})</math> mit der diskreten Topologie und den projektiven Limes <math>\projlim_{M\in\mathcal{N}} G(M/K)</math> mit der Limestopologie, so erhält man einen kanonischen Isomorphismus topologischer Gruppen:

<math>G(L/K) \cong \projlim_{M\in\mathcal{N}} G(M/K)</math>

Mit dieser Darstellung ist ersichtlich, dass <math>G(L/K)</math> eine proendliche Gruppe ist.

Hauptsatz der Galoistheorie

Die Bedeutung der Krulltopologie liegt darin begründet, dass sie es ermöglicht, den Hauptsatz der Galoistheorie auf unendliche Galoiserweiterungen auszudehnen: Ist <math>L/K</math> eine unendliche Galoiserweiterung, so gibt es eine kanonische Bijektion zwischen Teilerweiterungen <math>K\subseteq M\subseteq L</math> und abgeschlossenen Untergruppen von <math>G(L/K)</math>: Einer Erweiterung <math>M</math> entspricht die Untergruppe

<math>G(L/M)\subseteq G(L/K),</math>

einer Untergruppe <math>U\subseteq G(L/K)</math> die Erweiterung

<math>L^U=\{x\in L\mid \sigma x=x\ \mathrm{f\ddot ur\ alle}\ \sigma\in U\}.</math>

Eine Teilerweiterung <math>M/K</math> ist genau dann normal (und damit galoissch), wenn <math>G(L/M)</math> ein Normalteiler in <math>G(L/K)</math> ist; die Galoisgruppe <math>G(M/K)</math> ist kanonisch isomorph zum Quotienten <math>G(L/K)/G(L/M)</math>.

Darstellungen

Es sei <math>K</math> ein Körper und <math>K^{\mathrm{sep}}</math> ein separabler Abschluss von <math>K</math>. Weiter sei <math>V</math> ein Vektorraum (über irgendeinem Körper). Versieht man <math>\mathrm{GL}(V)</math> mit der diskreten Topologie, so sind Darstellungen von <math>G(K^{\mathrm{sep}}/K)</math> auf <math>V</math> genau dann stetig, wenn sie über einen endlichen Quotienten <math>G(M/K)</math> für eine endliche Erweiterung <math>M/K</math> faktorisieren. Die Kategorie der stetigen Darstellungen von <math>G(K^{\mathrm{sep}}/K)</math> ist also in diesem Sinne die Vereinigung aller Kategorien von Darstellungen der Gruppen <math>G(M/K)</math> für endliche Erweiterungen <math>M/K</math>.

Verallgemeinerung: Nicht notwendig algebraische Erweiterungen

Es sei <math>L/K</math> eine beliebige Körpererweiterung (also nicht notwendig eine algebraische Erweiterung, geschweige denn normal oder separabel). Die Krulltopologie auf der Gruppe <math>\operatorname{Aut}(L/K)</math> der Körperautomorphismen von <math>L</math>, die <math>K</math> elementweise festlassen, ist diejenige Topologie, für die die Untergruppen

<math>G(S)=\{\sigma\in\operatorname{Aut}(L/K)\mid \sigma s=s\ \mathrm{f\ddot ur\ alle}\ s\in S\}</math>

für endliche Teilmengen <math>S\subseteq L</math> eine Umgebungsbasis des Einselementes bilden. <math>\operatorname{Aut}(L/K)</math> wird mit dieser Topologie zu einer topologischen Gruppe.

Einzelnachweise