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Das Buch der Beweise

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Das BUCH der Beweise ({{#invoke:Vorlage:lang|full|CODE=en|SCRIPTING=Latn|SERVICE=englisch}}) ist ein Buch der Mathematiker Martin Aigner und Günter M. Ziegler und versteht sich als eine Sammlung besonders eleganter mathematischer Beweise. Es wurde erstmals 1998 auf Englisch und 2002 auf Deutsch herausgegeben sowie in weiteren Sprachen veröffentlicht.

Das Buch ist dem Mathematiker Paul Erdős gewidmet und der Titel bezieht sich auf eine Idee von Erdős, dass es perfekte Beweise zu mathematischen Sätzen gibt, seine platonische Auffassung der Mathematik deutlich machend:

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Erdős verwies in Vorträgen häufig scherzhaft auf „Das Buch“ (The Book), wobei eine der bekanntesten Aussagen ist, man brauche als Mathematiker zwar nicht an Gott zu glauben, jedoch sollte man an das Buch glauben ({{ 

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}}).<ref>Aigner, Ziegler im Vorwort von Das Buch der Beweise.</ref><ref>Paul Hoffman: The Man who only loved numbers. 1998, Kapitel 1 Straight from the Book.</ref> Nach den Aussagen von Erdős’ engem Mitarbeiter Béla Bollobás nahm er die Idee allerdings nicht allzu ernst.<ref>{{ 

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            }} 
       }}
  }} Interview, Universität Singapur, 2007, PDF.</ref> Wenn er einem Mathematiker ein Kompliment für ein in seinen Augen besonders elegantes Theorem machen wollte, pflegte er zu sagen, der Beweis „würde geradeheraus aus dem Buch“ kommen ({{
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             | {{{ref}}} }}

}}).<ref>Hoffman: The Man who only loved numbers. S. 26.</ref>

Erdős beteiligte sich noch mit Notizen und Vorschlägen an den Ausarbeitungen, verstarb aber noch vor der Veröffentlichung des Buches.<ref>Aigner, Ziegler, Vorwort zu Das Buch der Beweise.</ref>

Die Autoren bemühten sich, nur Beweise zu wählen, die mit den Kenntnissen des Mathematik-Grundstudiums verständlich sind.

Das Buch behandelt die fünf Bereiche Zahlentheorie, Geometrie, Analysis, Kombinatorik und Graphentheorie in 40 Kapiteln. Das Kusszahlenproblem (Problem der 13 Kugeln) wurde ab der zweiten Auflage weggelassen, da sich der Beweis, der einer Skizze von John Leech von 1956 folgte und diese zu vervollständigen suchte, als unvollständig erwies und der Versuch seiner Ergänzung als zu umfangreich.

Kapitel

Zahlentheorie

Geometrie

  • Kapitel 9: Hilberts drittes Problem: Zerlegung von Polyedern, nach den Verbesserungen und Vervollständigungen von Max Dehns Beweis durch Hugo Hadwiger, Kagan, Boltjanski und andere.
  • Kapitel 10: Satz von Sylvester und Tibor Gallai: Für jede Anordnung von n Punkten in der Ebene, die nicht alle auf einer Geraden liegen, gibt es eine Gerade, die genau zwei der Punkte enthält. Gegeben wird der Beweis von L. M. Kelly, den Coxeter 1948 veröffentlichte. Auch Verallgemeinerungen des Satzes von Nicolaas Govert de Bruijn und Erdős werden behandelt.
  • Kapitel 11: eine von P. R. Scott 1970 ausgesprochene Vermutung, dass <math>n \geq 3</math> Punkte in der Ebene, die nicht alle auf einer Geraden liegen, mindestens n-1 Steigungen der durch je zwei Punkte verlaufenden Geraden haben. Präsentiert wird der Beweis von Eli Goodman, Ricky Pollack und Peter Ungar (1982).
  • Kapitel 12: Drei Anwendungen der Eulerschen Polyederformel (für die der Beweis von Staudts präsentiert wird). Unter anderem wird ein weiterer Beweis des Satzes von Sylvester und Gallai daraus abgeleitet (nach Norman Steenrod) und ein Satz von Georg Pick (1899): Jedes elementare Dreieck, das heißt mit Eckpunkten, die auf einem ganzzahligen Gitter liegen, das aber keine weiteren Gitterpunkte enthält, hat den Flächeninhalt <math>\tfrac 12</math>.
  • Kapitel 13: Der Starrheitssatz für dreidimensionale Polyeder von Augustin Louis Cauchy, mit dem Beweis von Cauchy.
  • Kapitel 14: Die Frage der maximalen Anzahl sich paarweise berührender d-dimensionaler Simplizes in d Dimensionen. Ergebnisse von Joseph Zaks und Micha Perles werden präsentiert.
  • Kapitel 15: Eine Vermutung von Erdős (1950), dass jede Menge von mehr als <math>2^d</math> Punkten im d-dimensionalen euklidischen Raum mindestens einen Winkel zwischen den Verbindungslinien der Punkte liefert, der kein spitzer Winkel ist. Beweis von Ludwig Danzer und Branko Grünbaum (1962), wobei sie gleichzeitig eine erweiterte Vermutung von Victor Klee bewiesen.
  • Kapitel 16: Die Widerlegung der Borsuk-Vermutung über die Zerlegung konvexer Mengen im d-dimensionalen Raum (zuerst durch Jeff Kahn und Gil Kalai 1994), mit dem Beweis von A. Nilli.<ref name=":0" />

Analysis

Kombinatorik

Graphentheorie

  • Kapitel 33: Problem von Jeff Dinitz (1978) über Graphenfärbung, bewiesen von Fred Galvin 1995 nach Vorarbeit von Jeanette Janssen (1992). Ist es möglich, die Zellen eines n×n-Quadrats so zu färben, dass die Farben in jeder Reihe und Spalte verschieden sind? Dabei wird jeder Zelle eine Palette (Liste) von n Farben zugewiesen, die auch von Zelle zu Zelle verschieden sein kann. Galvin bewies, dass es möglich ist.
  • Kapitel 34: Der Fünf-Farben-Satz mit Farblisten (wie im Dinitz-Problem) mit dem Beweis von Carsten Thomassen (1979).
  • Kapitel 35: Das Problem der Museumswächter von Victor Klee, mit der Lösung von Vašek Chvátal: Bei n Wänden sind mindestens <math>\lfloor \frac {n}{3} \rfloor</math> Wachen nötig für die „schlechtestmögliche“ Anordnung der Wände.<ref>Chvatal, in: Journal of Combinatorial Theory. Bd. 18, 1975, S. 39.</ref>
  • Kapitel 36: der Satz von Turan in der extremalen Graphentheorie, für den fünf Beweise gegeben werden (unter anderem von Turan, Erdős).
  • Kapitel 37: Berechnung der Kapazität von Kommunikationskanälen und Graphen nach Claude Shannon (mit einem Beweis von Laszlo Lovasz).
  • Kapitel 38: Beweis der Vermutung von Martin Kneser (1955) über die Färbungszahl von Kneser-Graphen, für den nach dem Beweis von Laszlo Lovasz 1978 Imre Bárány und Joshua Greene (2002) vereinfachte Beweise gaben. Präsentiert wird der Beweis von Greene.
  • Kapitel 39: Der Freundschaftssatz der Graphentheorie von Erdős, Alfred Renyi und Vera T. Sós (mit deren Beweis).
  • Kapitel 40: Anwendungen der probabilistischen Methode in der Graphentheorie nach Erdős und Rényi, zum Beispiel auf die Abschätzung von Ramsey-Zahlen.<ref name=":0" />

Sonstiges

  • Andere Mathematiker haben ihre eigenen Kandidaten veröffentlicht, zum Beispiel Sergei Tabachnikov.<ref>Tabachnikov, Proofs (not) from the book, Mathematical Intelligencer, 2014, Nr. 2</ref>
  • Der Zahlentheoretiker Godfrey Harold Hardy verfasste im Jahr 1940 den Essay „Apologie eines Mathematikers“, in dem er sich grundsätzlich mit der Frage nach der Ästhetik in der Mathematik auseinandersetzt und auch die Frage nach den „elegantesten Beweisen“ stellt.
  • George Pólya wurde bekannt durch sein Buch „Vom Lösen mathematischer Probleme“ (egl. „How to solve it“), das zuerst 1945 bei Princeton University Press erschien, in 17 Sprachen übersetzt wurde und sich über eine Million Mal verkaufte.<ref>Schule des Denkens. Vom Lösen mathematischer Probleme („How to solve it“). 4. Aufl. Francke Verlag, Tübingen 1995, ISBN 3-7720-0608-6 (Sammlung Dalp).
-  Englische Ausgabe: How to solve it, Princeton University Press 2004 (mit Vorwort von John Horton Conway, erweiterte Ausgabe)</ref>

Quellen und Weblinks

Verweise

<references />

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