Bertrandsches Postulat

Das Bertrandsche Postulat (auch Satz von Bertrand-Tschebyschow) ist ein mathematisches Theorem, das besagt, dass für jede natürliche Zahl <math>n > 1</math> mindestens eine Primzahl <math>p</math> mit <math>n < p < 2\,n</math> existiert.

Diese Behauptung wurde zuerst 1845 von dem Mathematiker Joseph Bertrand aufgestellt, der sie für natürliche Zahlen bis 3.000.000 bewies.<ref>J. Bertrand: Mémoire sur le nombre de valeurs que peut prendre une fonction quand on y permute les lettres qu’elle renferme. In: Journal de l’École Royale Polytechnique. 30 (18), 1845, S. 123–140 (französisch).</ref>

Datei:Bertrand.jpg

Joseph Louis François Bertrand (1822–1900) – Namensgeber des Bertrandsches Postulat

Den ersten vollständigen Beweis für alle natürlichen Zahlen lieferte Tschebyschow fünf Jahre später.<ref>Tchebichef: Mémoire sur les nombres premiers. (1850), Mémoires de l’académie impériale des sciences de St.-Pétersbourg 7, 1854, S. 17–33; Journal de mathématiques pures et appliquées 1^re série 17, 1852, S. 366–390.
In: A. Markoff, N. Sonin (Hrsg.): Oeuvres de P. L. Tchebychef. Tome I. St.-Pétersbourg 1899, S. 51–70 (französisch; im Internet-Archiv).</ref> Einen weiteren, einfacheren Beweis gab der indische Mathematiker S. Ramanujan an, der dabei auch Ramanujan-Primzahlen einführte.<ref>S. Ramanujan: A proof of Bertrand’s postulate. In: Journal of the Indian Mathematical Society. 11, 1919, S. 181–182 (englisch).</ref> 1932 lieferte auch Paul Erdős einen einfachen Beweis.

Ramanujan bewies eine Verallgemeinerung, die Existenz von Ramanujan-Primzahlen <math>R_n</math>, so dass für alle <math>x \geq R_n</math> zwischen <math> x</math> und <math>\frac {x}{2}</math> mindestens <math>n</math> Primzahlen liegen.

Beweis für n ≤ 4000

Für die ersten 4000 natürlichen Zahlen lassen sich einfach Primzahlen angeben, sodass die Behauptung gilt. In der Folge

<math>2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163, 317, 631, 1259, 2503, 4001</math> (Folge A295262 in OEIS)

von Primzahlen ist jedes Folgenglied kleiner als das Doppelte des vorhergehenden. Somit gilt die Behauptung für <math>n \le 4000.</math>

Literatur

• Das BUCH der Beweise. Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-42535-7 (3. Auflage: ISBN 978-3-642-02258-6).

Einzelnachweise

<references />

Weblinks

• {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Bertrand’s Postulate. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}