Siebzehneck
Das Siebzehneck, 17-Eck oder Heptadekagon (von {{Modul:Vorlage:lang}} Modul:Vorlage:lang:103: attempt to index field 'wikibase' (a nil value) und {{Modul:Vorlage:lang}} Modul:Multilingual:153: attempt to index field 'data' (a nil value))<ref>Wilhelm Pape, Max Sengebusch (Bearb.): Handwörterbuch der griechischen Sprache. 3. Auflage, 6. Abdruck. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1914 (zeno.org [abgerufen am 2. Juli 2024]).</ref> ist eine geometrische Figur, die zur Gruppe der Vielecke (Polygone) gehört. Es ist definiert durch siebzehn Punkte, die durch siebzehn Strecken zu einem geschlossenen Linienzug verbunden sind. Im Folgenden werden ausschließlich das regelmäßige Siebzehneck, das konvex ist, siebzehn gleich lange Seiten hat und dessen Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen, sowie das regelmäßige überschlagene Siebzehneck beschrieben.
Mehr als 2000 Jahre lang war man aufgrund von Fehlversuchen davon überzeugt, das Siebzehneck sei nicht allein mit Zirkel und Lineal konstruierbar. Erst Ende des 18. Jahrhunderts entdeckte der damals achtzehnjährige Carl Friedrich Gauß eine Formel, mit deren Hilfe die Konstruktion gelingt. Die Idee hinter seiner Entdeckung ist, dass Punkte, die sich mit Zirkel und Lineal aus zum Beispiel dem Ursprung <math>(0,0)</math> und dem Punkt <math>(1,0)</math> konstruieren lassen, stets bestimmte lineare oder quadratische Gleichungen erfüllen. Diese Gleichungen haben Koeffizienten, die sich aus den bisher schon konstruierten Punkten mit den vier Grundrechenarten bestimmen lassen. Hintergrund ist, dass von Linealen erzeugte Geraden durch lineare Gleichungen bzw. von Zirkeln erzeugte Kreise durch quadratische Gleichungen gegeben sind. Gauß’ Leistung bestand unter anderem darin, die für das Siebzehneck kritische Größe <math>\cos(\tfrac{2\pi}{17})</math> (mit dem Kosinus <math>\cos</math> und der Kreiszahl <math>\pi</math>) durch eine Verschachtelung von Quadratwurzeln ganzer Zahlen auszudrücken, was eine zwar mühsame, aber dennoch in endlich vielen Schritten ausführbare Konstruktion ermöglicht. Dabei spielen die Eigenschaften der Fermatschen Primzahl <math>17</math> eine entscheidende Rolle. Aus Sicht der modernen Mathematik handelt es sich hierbei um eine Anwendung der Galois-Theorie. In deren Rahmen ist es zudem von Nutzen, die Punkte der Ebene als Werte des Körpers der komplexen Zahlen auszudrücken, da dies das „Rechnen mit Punkten“ vereinfacht.
Die im Folgenden beschriebenen Konstruktionen für ein Siebzehneck sind eine Auswahl aus Lösungen mit sehr unterschiedlichen Vorgehensweisen.
Geschichte
1796.
Principia quibus innititur sectio circuli,
ac divisibilitas eiusdem geometrica in
septemdecim partes etc. Mart. 30. Brunsv.
(Grundlagen, auf die sich die Teilung des Kreises stützt, und zwar dessen geometrische Teilbarkeit in siebzehn Teile etc. 30. März. Braunschweig)
Konstruktionen zu regelmäßigen Vielecken, wie beispielsweise zu Drei-, Vier-, Fünf- und Sechsecken sowie deren Verdoppelungen sind schon seit Euklids Elementen (3. Jahrhundert v. Chr.) bekannt, aber bei z. B. Sieben- oder Neuneck war es niemandem gelungen. In den vielen folgenden Jahrhunderten festigte sich deshalb die Annahme, weitere konstruierbare Vielecke werde man nicht finden.<ref name="Denker">Manfred Denker, Samuel James Patterson: Mathematik. Gauß – der geniale Mathematiker. Ausstellungskatalog: „Wie der Blitz einschlägt, hat sich das Räthsel gelöst“. Hrsg.: Elmar Mittler. Univerlag, Göttingen 2005, ISBN 3-930457-72-5, S. 58, Das Siebzehneck (uni-goettingen.de [PDF; 2,1 MB; abgerufen am 19. April 2024]).</ref> Mehr als 2000 Jahre später waren Erstaunen und Interesse groß, als der achtzehnjährige Gauß am 29. März 1796 im Intelligenzblatt der allgem. Literatur-Zeitung als Stud. der Mathematik zu Göttingen seine neue Entdeckung (vorerst ohne weitere Details) ankündigte.<ref> Titelblatt.</ref>
Am 30. März 1796, also kurz vor seinem 19. Geburtstag (30. April), machte Gauß den ersten Eintrag in seinem Mathematischen Tagebuch. Darin beschrieb er in lateinischer Sprache und in kurzen Worten seine Entdeckung, die zur Konstruierbarkeit des Siebzehnecks führt (siehe nebenstehendes Bild).<ref>Manfred Denker, Samuel James Patterson: Mathematik. Gauß – der geniale Mathematiker. Ausstellungskatalog: „Wie der Blitz einschlägt, hat sich das Räthsel gelöst“. Hrsg.: Elmar Mittler. Univerlag, Göttingen 2005, ISBN 3-930457-72-5, S. 56, Das Mathematische Tagebuch (uni-goettingen.de [PDF; 2,1 MB; abgerufen am 19. April 2024]).</ref>
Die ausführliche Erklärung dazu folgte fünf Jahre später im vorletzten Abschnitt seines Werks Disquisitiones Arithmeticae (1801) („Untersuchungen über höhere Arithmetik“).<ref></ref> Darin zeigte und bewies Gauß u. a. die Formel für den Kosinus des Zentriwinkels, der allein mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist. Wie der Kosinus des Zentriwinkels konstruktiv dargestellt werden kann, enthält das Werk nicht. Noch im selben Jahr, am 21. Juni, stellte Gauß in der St. Petersburger Akademie die Kurzfassung seiner Formel vor (Näheres im Abschnitt Eigenschaften).
In seinem Brief an Gerling vom 6. Januar 1819 machte Gauß auf den Druckfehler in Disquisitiones arithmeticae bezüglich seiner Formel aufmerksam:
„<math>\cos\varphi = -\frac{1}{16}+\frac{1}{16}\sqrt{17}+\frac{1}{16}\sqrt{(34-2\sqrt{17})}</math>
- <math>\;\;\;+^* \frac{1}{8}\sqrt{\left\{17+3\sqrt{17}-\sqrt{(34-2\sqrt{17})}-2\sqrt{(34+2\sqrt{17})}\right\“
</math>
Dies ist dieselbe Formel, die in meinen D[isquisitione] A[rithmeticae] p. 662 steht, nur ist dort durch einen Druckfehler statt des <math>+</math>, welches hier mit <math>^*</math> bezeichnet ist, ein <math>-</math> gesetzt, oder, was dasselbe ist, die dortige Formel stellt nicht <math>\cos \varphi</math>, sondern <math>\cos 4\varphi</math>, d. i. <math>\sin\left(\tfrac{90}{17}\right)^\circ</math> vor, also die doppelte Seite des 34-Ecks.
|Autor=Carl Friedrich Gauß |ref=<ref>Carl Friedrich Gauß: Brief an Gerling, vom 6. Januar 1819 in Schriften der Gesellschaft zur Beförderung der gesamten Naturwissenschaften zu Marburg, 15. Band … Otto Elsner Verlagsgesellschaft m. b. H., Berlin 1927. Abgerufen am 19. April 2024.</ref>}}
Die ersten Konstruktionsbeschreibungen für ein Siebzehneck kamen Anfang des 19. Jahrhunderts. Carl Friedrich Gauß erhielt im März 1802 einen Brief von Johann Friedrich Pfaff – ehemals Lehrer und Förderer von Gauß. Pfaff zitierte darin die möglicherweise erste (veröffentlichte) Konstruktion eines Siebzehnecks aus einem Brief seines Kollegen Christoph Friedrich von Pfleiderer.<ref name="Pfleiderer" /> T. P. Stowell sandte 1818 eine Basiskonstruktion an Leybourns mathematische Zeitschrift The Mathematical Repository mit dem Anliegen, den 1806 verfassten Artikel über das Siebzehneck erneut zu drucken.<ref name="Stowell" /><ref name="Leybourn" /> Magnus Georg Paucker fand seine Version eines Siebzehnecks im Jahr 1819. Die vielleicht bekannteste Darstellung zeigte Herbert Richmond 1893.<ref name="Schröder">Herbert Schröder: Wege zur Analysis. 1. Reelle Zahlen. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2001, ISBN 978-3-540-42032-3, S. 10 (eingeschränkte Vorschau in der Google-BuchsucheSkriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:GoogleBook“ ist nicht vorhanden. [abgerufen am 21. April 2024]).</ref> Im Jahr 1897 veröffentlichte L. Gérard ein Siebzehneck, dessen Konstruktion er nur mit einem Zirkel mithilfe des Satzes von Mohr-Mascheroni erstellte. Duane DeTemple wiederum nahm 1991 die sogenannten Carlyle-Kreise zu Hilfe, um seine Lösung des Siebzehnecks zu veröffentlichen. Am 23. Februar 2005 erschien in Göttingen, anlässlich des 150. Todestages von Carl Friedrich Gauß, ein Katalog zur Ausstellung im Alten Rathaus am Markt. Hans Vollmayr erläuterte darin eine Konstruktion des Siebzehnecks, in der als Ansatz die Kurzformel für den Kosinus des Zentriwinkels dient.<ref name="Vollmayr" />
Eigenschaften
Das Besondere an einem regelmäßigen Siebzehneck ist die Tatsache, dass es konstruierbar ist – es kann somit unter alleiniger Verwendung von Zirkel und Lineal (die euklidischen Werkzeuge) gezeichnet werden –, diese Konstruierbarkeit jedoch über Jahrtausende nicht nachgewiesen werden konnte. Der Nachweis gelang erst Carl Friedrich Gauß im Jahr 1796.<ref>H. Maser: Die Teilungen des Kreises, … Artikel 365. In: Carl Friedrich Gauss’ Untersuchungen über höhere Arithmetik. Verlag von Julius Springer, Berlin 1889; Göttinger Digitalisierungszentrum, Universität Göttingen, S. 446 ff., abgerufen am 19. April 2024.</ref> Er zeigte, dass für den Kosinus des Zentriwinkels
- <math>\begin{align}
\cos \left(\frac{2\pi}{17}\right) = \cos \left(\frac{360^\circ}{17}\right) &= \frac{1}{16} \left(-1 + \sqrt{17} + \sqrt{2 \left(17 - \sqrt{17}\right)} + 2 \sqrt{17 + 3 \sqrt{17} - \sqrt{2 \left(17 - \sqrt{17}\right)} - 2 \sqrt{2 \left(17 + \sqrt{17}\right)}}\right)\\ &\approx 0{,}932 \, 472 \, 229 \, 404 \, 355 \, 804 \, 573 \, 115 \, 891 \, 821 \, 56 \end{align}</math>
gilt.<ref group="A">Vgl. Folge A210644 in OEIS.</ref> Somit ist der Zentriwinkel auch geometrisch darstellbar und die verschiedenen Größen des Siebzehnecks wie Seitenlänge, Umfang, Inkreisradius, Diagonale über zwei Seiten und Flächeninhalt lassen sich berechnen.
Am 21. Juni 1801 stellte Gauß der St. Petersburger Akademie für seine obige Formel eine sogenannte Kurzfassung in drei Schritten vor, die sich aus der Gruppierung von Summen einzelner Kosinuswerte ergibt. Friedrich L. Bauer beschrieb sie 2009 in seinem Buch Historische Notizen zur Informatik im Kapitel Carl Friedrich Gauß, das 17-Eck und MATHEMATICA<ref name="Bauer">Friedrich L. Bauer: Carl Friedrich Gauß, das 17-Eck und MATHEMATICA, Die Methode der Gruppierung. In: Historische Notizen zur Informatik. Hrsg.: Springer Link. Springer, Berlin, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-85789-1, S. 407–414 (Preview [abgerufen am 18. Mai 2024]).</ref> ausführlich, es sei deshalb hier nur das Ergebnis der Kurzfassung erwähnt.
Mit den darin u. a. eingeführten Hilfsgrößen
- <math>q := \cos \left(\frac{2\pi}{17} \right) + \cos \left(4 \cdot\frac{2\pi}{17} \right)</math> und
- <math>q' := \cos \left(3 \cdot\frac{2\pi}{17} \right) + \cos \left(5 \cdot\frac{2\pi}{17} \right)</math>
gilt somit für den Kosinus des Zentriwinkels auch:<ref>Hans Vollmayr: 17 gleiche Ecken und Kanten mit Zirkel und Lineal. In: Göttinger Bibliotheksschriften 30. „Wie der Blitz einschlägt, hat sich das Räthsel gelöst“. Carl Friedrich Gauß in Göttingen. Hrsg.: Elmar Mittler. Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Göttingen 2005, ISBN 3-930457-72-5, S. 103 (Das Siebzehneck: die Zeichnung → „…, so dass uns am Schluss nur noch die Gleichung … bleibt.“ [PDF; abgerufen am 19. April 2024]).</ref><ref name="Bauer" />
- <math>\cos \left(\frac{2\pi}{17}\right) = \frac{1}{2}q + \sqrt{\frac{1}{4}q^2 - \frac{1}{2}q'} = \frac{1}{2}\cdot\left(q + \sqrt{q^2 - 2q'}\right)</math>
| <ref>Lennart Råde, Bertil Westergren, Übersetzer: Peter Vachenauer: Springers Mathematische Formeln, Taschenbuch für Ingenieure, Naturwissenschaftler,
Informatiker, Wirtschaftswissenschaftler. 3 Geometrie und Trigonometrie, Reguläres Polygon (n-Ecken). 3. Auflage. Springer, Berlin 2000, ISBN 978-3-540-67505-1, S. 70.</ref> Größen eines regelmäßigen Siebzehnecks mit der Seitenlänge <math>s</math>, dem Umkreisradius <math>r_{\rm u}</math> und dem Zentriwinkel <math>\textstyle \mu = \tfrac{2\pi}{17}</math> | |||
|---|---|---|---|
| Seitenlänge | <math>s = 2\cdot\sin\left(\frac{180^\circ}{17}\right)\cdot r_u </math> | <math>\approx 0{,}367499 \cdot r_u</math> | |
| Umfang | <math>U = 17s</math> | <math>\approx 6{,}247484 \cdot r_u</math> | |
| Inkreisradius | <math>r_{\rm i} = \frac{s}{2}\cdot\cot\left(\frac{180^\circ}{17}\right)</math> | <math>\approx 0{,}982973 \cdot r_u</math> | |
| Diagonale über zwei Seiten | <math>d_2 = 2\cdot\sin(\mu)\cdot r_u</math> | <math>\approx 0{,}722483 \cdot r_u</math> | |
| Flächeninhalt | <math>A = \frac{1}{4}\cdot 17s^2\cdot\cot\left(\frac{180^\circ}{17}\right)</math> | <math>\approx 3{,}070554 \cdot r_u^2</math> | |
| Innenwinkel | <math>\phi = 180^\circ - \mu = \frac{15}{17} \cdot 180^\circ</math> | <math>\approx 158{,}823529^\circ</math> | |
In der Tabelle bezeichnet <math>\sin</math> den Sinus und <math>\cot</math> den Kotangens.
Die Symmetriegruppe des Siebzehnecks ist die Diedergruppe <math>D_{17}</math>.
Mathematischer Hintergrund
In der mathematischen Theorie, präziser der Algebra, wird eine Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal auf algebraische Gleichungen zurückgeführt.
Der Entdeckung der Konstruierbarkeit des Siebzehnecks durch Zirkel und Lineal von Gauß liegt eine Auflösung der Kreisteilungsgleichung <math>x^{17} - 1 = 0</math> zugrunde, deren Lösungen – es handelt sich um die siebzehnten Einheitswurzeln – in der Gaußschen Zahlenebene der komplexen Zahlen ein regelmäßiges Siebzehneck mit Umkreisradius 1 bilden. Diese Gleichung kann allein durch den Gebrauch geschachtelter Quadratwurzeln gelöst werden (siehe oben für den Realteil <math>\cos(\tfrac{2\pi}{17})</math> der Lösung <math>\zeta = e^{2\pi i/17}</math>, die entgegen dem Uhrzeigersinn zur Lösung 1 am nächsten liegt). Wichtig dabei ist, dass komplexe Zahlen einerseits als Punkte einer Ebene dargestellt werden können, andererseits aber mit ihnen gerechnet werden kann. Gauß erkannte 1796 als 18-Jähriger diese Möglichkeit „[d]urch angestrengtes Nachdenken … am Morgen … (ehe ich aus dem Bette aufgestanden war)“<ref name="Bewersdorff">Zitiert nach Jörg Bewersdorff: Algebra für Einsteiger. Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie. Springer Spektrum, 6. Auflage 2019, ISBN 978-3-658-26151-1, S. 90, doi:10.1007/978-3-658-26152-8_7.</ref> aufgrund allgemeiner zahlentheoretischer Eigenschaften von Primzahlen, in diesem Fall konkret der Primzahl 17: Die modulo einer Primzahl <math>p</math> gebildeten, von 0 verschiedenen Restklassen <math>1, \dotsc, p - 1</math> können nämlich als Potenzen <math>g^0=1, g^1=g, g^2, \dotsc, g^{p-2}</math> einer geeignet gewählten Zahl <math>g</math>, Primitivwurzel genannt, dargestellt werden. Im Fall <math>p = 17</math> kann konkret <math>g = 3</math> gewählt werden, wie eine rekursive Berechnung der Potenzen zeigt:
- <math>\begin{align}
3^0 & \equiv ~~1 \pmod{17}, \\
3^1 & \equiv ~~3 \pmod{17}, \\
3^2 & \equiv ~~9 \pmod{17}, \\
3^3 & \equiv 10 \pmod{17}, \\ \end{align}</math>
verfährt man so weiter, ergeben sich der Reihe nach die Restklassen <math>13, \; 5, \; 15, \; 11, \; 16, \; 14, \; 8, \; 7, \; 4, \; 12, \; 2, \; 6</math> modulo <math>17</math>. Sortiert man nun die von 1 verschiedenen 17. Einheitswurzeln entsprechend, das heißt in der Reihenfolge
- <math>\zeta,\ \zeta^3,\ \zeta^9,\ \zeta^{10},\ \zeta^{13},\ \zeta^5,\ \zeta^{15},\ \zeta^{11},\ \zeta^{16},\ \zeta^{14},\ \zeta^8,\ \zeta^7,\ \zeta^4,\ \zeta^{12},\ \zeta^2,\ \zeta^6,</math>
so erhält man durch Teilsummation von jeder zweiten, jeder vierten, beziehungsweise jeder achten Einheitswurzel aus dieser Auflistung die sogenannten Gaußschen Perioden: zwei 8-gliedrige Perioden mit je 8 Summanden, vier 4-gliedrige Perioden mit je 4 Summanden und acht 2-gliedrige Perioden mit je 2 Summanden. Aufgrund prinzipieller Eigenschaften oder aber durch explizite Berechnung lässt sich dafür zeigen:<ref group="A">Details siehe Bewersdorff, S. 92–96.</ref>
- Die beiden 8-gliedrigen Perioden sind Lösungen einer quadratischen Gleichung mit ganzen Koeffizienten.
- Die vier 4-gliedrigen Perioden sind Lösungen von zwei quadratischen Gleichungen, deren Koeffizienten aus den 8-gliedrigen Perioden berechenbar sind.
- Die acht 2-gliedrigen Perioden sind Lösungen von vier quadratischen Gleichungen, deren Koeffizienten aus den 4-gliedrigen Perioden berechenbar sind.
Dabei gilt für die zweigliedrige Periode zur „ersten“ Einheitswurzel <math>\zeta + \zeta^{16} = \zeta + \zeta^{-1} = 2 \cos(\tfrac{2\pi}{17})</math>.
Der beschriebene Ansatz lässt sich analog für jede Primzahl der Form <math>2^{2^k}+1</math> durchführen. Fünf solche Primzahlen, die Fermatsche Primzahlen genannt werden, sind bekannt: 3, 5, 17, 257, 65537. Daher gehören auch das regelmäßige 257-Eck und das regelmäßige 65537-Eck zu den konstruierbaren Polygonen.
Geometrische Konstruktionen
Konstruktion nach Christoph Friedrich von Pfleiderer
Johann Friedrich Pfaff schrieb am 22. März 1802 aus Helmstedt einen Brief an Gauß (erstmals veröffentlicht 1917). Darin zitierte er aus einem Brief – den er von Christoph Friedrich von Pfleiderer erhalten hatte – die folgende möglicherweise erste (veröffentlichte) Konstruktion eines regelmäßigen Siebzehnecks.<ref name="Pfleiderer">Carl Friedrich Gauß: Carl Friedrich Gauß Werke. Kleinere Veröffentlichungen. Hrsg.: Königliche Gesellschaft der Wissenschaften. Zehnter Band, erste Abteilung. B. G. Teubner, Leipzig 1917, IV. Über das regelmäßige Siebzehneck. 1. Pfaff an Gauß. Helmstedt, 22. März 1802., S. 120–121 (uni-goettingen.de [abgerufen am 9. Mai 2024]).</ref>
Mit Weiterführung der Konstruktion.<ref name="Pfleiderer" /> Darin ist zu beachten: Das Bestimmen des Punktes <math>Q</math> (rot) ergibt einen sehr geringen Abstand zum Punkt <math>F</math>.
Der 14. Konstruktionsschritt liefert die erste Seitenlänge <math>HB</math> und zugleich das Ende der Darstellung nach Ch. F. von Pfleiderer. Ist Bestimmen und Verbinden der Eckpunkte jeweils ein Konstruktionsschritt, braucht das fertige Siebzehneck davon 29.
Im oben genannten Brief an Gauß erklärte J. F. Pfaff mit Pfleiderers Worten dessen Konstruktion zum Siebzehneck (freie Übersetzung):<ref name="Pfleiderer" />
„}CH{“
Vorlage:Zitat: Doppelangabe 1=Text=Vorlage:Zitat: Doppelangabe 2=Autor=Vorlage:Zitat: Doppelangabe 3=Quelle=
Konstruktion nach T. P. Stowell
Das Finden der folgenden Basiskonstruktion eines regelmäßigen Siebzehnecks aus dem Jahr 1818 ist W. E. Heal aus Wheeling in Indiana zu verdanken. Er stellte in der mathematischen Zeitschrift The Analyst im März 1877 zur Konstruktion der Polygone 17-Eck und 257-Eck allein mit Zirkel und Lineal, die Frage: „Wie wird dies bewiesen?“ <ref></ref> J. E. Hendricks, Herausgeber von The Analyst, beantwortete in der Ausgabe vom Mai 1877, Nr. 3 seine Frage, darin zitierte er auch T. P. Stowell aus Rochester, N. Y.: „Vielleicht würde es einige Ihrer Leser interessieren, einen in [Thomas Leybourns] Mathematical Repository (Band I, 2. Folge) 1806 veröffentlichten Artikel erneut zu drucken.“<ref name="Leybourn"></ref> Da der Platz für eine vollständige Veröffentlichung des Artikels aus der angegebenen Quelle nicht zur Verfügung stand, wurde in The Analyst nur ein Ausschnitt davon sowie die von T. P. Stowell gesendete und Leybourns Mathematical Repository 1818 zugeschriebene Konstruktion eines Polygons mit 17 Seiten eingefügt.<ref name="Stowell"></ref><ref group="A">In Leybourns Mathematical Repository 1806 ist kein Hinweis auf eine Abbildung (Fig.) der Konstruktion auf z. B. Plate II 27 to 51 (zwischen der Seite 80 und 81). Folgt man dem Eintrag in The Analyst 1877, so stammt T. P. Stowells Konstruktion spätestens aus dem Jahr 1818.</ref>
Mit Weiterführung der Basiskonstruktion<ref name="Stowell" /> aus dem Jahr 1818 sowie Ergänzung von <math>\overline{OK}</math> als mittlerer Proportionale<ref name="Magdeburg">Universität Magdeburg: A.14 Mittelwerte. Mittlere Proportionale. Seite 2, Punkt b) und Bild b). (PDF), abgerufen am 19. April 2024.</ref> von <math>\overline{OH}</math> und <math>\overline{OQ}</math> bzw. <math>\overline{OI}</math>
Der 14. Konstruktionsschritt liefert die erste Seitenlänge <math>AN</math> und zugleich das Ende der Basiskonstruktion nach T. P. Stowell. Ist Bestimmen und Verbinden der Eckpunkte jeweils ein Konstruktionsschritt, braucht das fertige Siebzehneck davon 29.
Konstruktionsbeschreibung von T. P. Stowell (Übersetzung):
„}OC{“
Vorlage:Zitat: Doppelangabe 1=Text=Vorlage:Zitat: Doppelangabe 2=Autor=Vorlage:Zitat: Doppelangabe 3=Quelle=
Konstruktion nach Georg Paucker
Magnus Georg Paucker legte 1819 seine geometrische Konstruktionsanleitung für das Siebzehneck der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst vor, wo sie 1822 veröffentlicht wurde.<ref>Magnus Georg Paucker: Geometrische Verzeichnung des regelmäßigen Siebzehn-Ecks und Zweyhundertsiebenundfunfzig-Ecks in den Kreis. In: Jahresverhandlungen der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst. Band 2, 1822, S. 160–219 (Beschreibung S. 187–188 [abgerufen am 19. April 2024]).</ref> Er schreibt dazu in der Einleitung seines Artikels:
„Ein merkwürdiges Beyspiel von der Schwierigkeit, neue Sätze in der Geometrie zu entdecken, liefert die Aufgabe, reguläre Polygone, ohne mechanische Eintheilung des Quadranten oder Beyhülfe eines Winkelmessers, in einen Kreis zu zeichnen.“
Mit Weiterführung bis zum fertigen Siebzehneck, Schritt 17: Abtragen der Diagonalen über zwei Seiten. Ist Bestimmen und Verbinden der Eckpunkte jeweils ein Konstruktionsschritt, braucht das fertige Siebzehneck davon 31.
Die folgende Konstruktionsanleitung enthält die Konstruktion nach Magnus Georg Paucker<ref>Magnus Georg Paucker: Geometrische Verzeichnung des regelmäßigen Siebzehn-Ecks und Zweyhundertsiebenundfunfzig-Ecks in den Kreis. In: Jahresverhandlungen der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst. Band 2, 1822 (Tafel I, Fig. 12 [abgerufen am 19. April 2024]).</ref> sowie deren Weiterführung bis zum fertigen Siebzehneck. Die in der Originalzeichnung von Paucker enthaltenen Radien und die meisten Diagonalen dienen der Darstellung von in seiner Originalbeschreibung stehenden Formeln und sind für die geometrische Konstruktion nicht erforderlich. Sie wurden hier weggelassen.
- Zeichne auf dem Durchmesser <math>|pa|</math> um den Mittelpunkt <math>m</math> den Umkreis des werdenden 17-Ecks.
- Errichte den Durchmesser <math>|pA| = |pa|</math> senkrecht zu <math>|pa|</math>.
- Halbiere den Radius <math>|mp|</math> in <math>B</math>.
- Verlängere <math>|pa|</math> ab <math>p</math>.
- Trage die Strecke <math>\overline{AB}</math> ab <math>B</math> auf die Verlängerung ab, Schnittpunkt ist <math>C</math>.
- Halbiere <math>|pA|</math> in <math>D</math>.
- Halbiere <math>\overline{pC}</math> in <math>E</math>.
- Trage die Strecke <math>\overline{ED}</math> ab <math>E</math> auf die Verlängerung ab, Schnittpunkt ist <math>F</math>.
- Errichte den Radius <math>|mG|</math> senkrecht zu Durchmesser <math>|pa|</math>.
- Halbiere <math>\overline{mC}</math> in <math>H</math>.
- Trage die Strecke <math>\overline{HG}</math> ab <math>H</math> auf <math>|pa|</math> ab, Schnittpunkt ist <math>I</math>.
- Konstruiere den Halbkreis über <math>|pF|</math>.
- Konstruiere den Halbkreis über <math>|pI|</math>, Schnittpunkt mit <math>|mG|</math> ist <math>K</math>.
- Zeichne die Parallele zu <math>|mp|</math> ab <math>K</math>, Schnittpunkt mit Halbkreis über <math>|pF|</math> ist <math>L</math>.
- Fälle das Lot von L auf <math>\overline{mH}</math>, Fußpunkt ist <math>M</math>. Es ist <math>|pM|</math> die Seite des 34-Ecks.
- Von hier aus zwei Möglichkeiten als Beispiele:
- Ziehe einen Halbkreis um <math>p</math> mit dem Radius <math>|pM|</math>, damit ergibt sich auf dem Umkreis der Punkt <math>i</math> und ein z. B. mit <math>j</math> bezeichneter Punkt. Die Strecke <math>\overline{ij}</math> ist die gesuchte Seite des 17-Ecks.
- bis 30. Trage die Seite <math>|ij|</math> vierzehnmal auf dem Umkreis ab und verbinde die so gefundenen Punkte zu einem vollständigen 17-Eck.
- oder:
- Es gilt auch <math>\overline{MF}=\overline{pc}</math>, demzufolge trage <math>\overline{MF}</math> auf dem Umfang in Richtung Punkt <math>a</math> ab und du erhältst Punkt <math>c</math>.
- Trage <math>\overline{ac}</math>, also die Diagonale über zwei Seiten, von <math>a</math> beginnend weitere Male auf dem Umfang ab, bis alle Ecken markiert sind und verbinde jeweils abschließend die so gefundenen Punkte zu einem vollständigen 17-Eck.
Konstruktion nach Herbert Richmond
Im Jahr 1825 legte Johannes Erchinger eine Konstruktion der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen vor, die Gauß daraufhin in den Göttingischen Gelehrten Anzeigen besprach. Eine zeichnerische Darstellung dieses Siebzehnecks ist nicht überliefert.<ref>Carl Friedrich Gauß: Göttingische Gelehrte Anzeigen. Band 87, Nr. 203, 19. Dezember 1825, S. 2025–2027 (books.google.de [abgerufen am 19. April 2024]).</ref><ref group="A">Siehe hierzu die Frage auf der Diskussionsseite: Konstruktion des Siebzehnecks nach Erchinger?</ref> Die folgende einfachere und bekannteste Konstruktion stammt von Herbert William Richmond aus dem Jahr 1893.<ref name="Richmond">Herbert W. Richmond: A Construction for a regular polygon of seventeen sides. In: The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics. Band 26, 1893, S. 206–207 (Beschreibung und Abbildung Fig. 6 [abgerufen am 19. April 2024]).</ref>
In der Konstruktionsbeschreibung lässt es Richmond offen, auf welche Art und Weise schließlich die Seitenlänge des Siebzehnecks zu finden ist. Es gibt dafür drei Möglichkeiten. Für die ersten beiden nimmt man entweder die Länge der Sehne <math>|AP_3|</math> oder <math>|P_3P_5|</math> in den Zirkel und trägt sie auf dem Umkreis so oft ab, bis alle Eckpunkte gegeben sind.<ref name="Richmond" /> Die dritte Möglichkeit wäre: Man halbiert den Kreisbogen <math>OP_3P_5</math> mithilfe der Mittelsenkrechten, erhält so den Eckpunkt <math>P_4</math> und trägt abschließend die Seitenlänge <math>|P_3P_4|</math> oder <math>|P_4P_5|</math> dreizehnmal auf dem Umkreis ab. Die folgende Konstruktion nutzt dafür die Sehnenlänge (Diagonale) <math>|P_3P_5|</math>.
Der 27. Konstruktionsschritt liefert den letzten Eckpunkt <math>P_1</math>. Ist Bestimmen und Verbinden der Eckpunkte jeweils ein Konstruktionsschritt, braucht das fertige Siebzehneck davon 27.
Konstruktionsbeschreibung
- Ziehen des Umkreises mit beliebigem Radius um den Mittelpunkt <math>O</math>.
- Zeichnen eines Durchmessers durch den Mittelpunkt <math>O</math> Schnittpunkt mit Umkreis ist <math>A</math>, später zusätzlich mit <math>P_{17}</math> bezeichnet.
- Errichten eines Radius senkrecht zu <math>|AO|</math> auf <math>O</math> bis zum Umkreis; Schnittpunkt mit Umkreis ist <math>B</math>.
- Halbieren des Radius <math>|BO|</math>.
- Nochmaliges Halbieren ergibt ein Viertel des Radius <math>|BO|</math> im Punkt <math>I</math>; <math>I</math> liegt näher an <math>O</math>; Verbinden des Punktes <math>I</math> mit <math>A</math>.
- Halbieren des Winkels <math>OIA</math>.
- Nochmaliges Halbieren des Winkels ergibt im Punkt <math>E</math> ein Viertel des Winkels <math>OIA</math>; <math>E</math> liegt näher an <math>O</math>.
- Errichten einer Senkrechten auf <math>\overline{EI}</math> mit Fußpunkt <math>I</math>.
- Halbierung des <math>90^\circ</math>-Winkels; Schnittpunkt mit Durchmesser ist <math>F</math> und Winkel <math>FIE</math> ist <math>45^\circ</math>.
- Konstruktion des Thaleskreises über <math>|AF|</math>; Schnittpunkt mit <math>|BO|</math> ist <math>K</math>.
- Ziehen des Halbkreises um den Mittelpunkt <math>E</math> mit dem Radius <math>|EK|</math>; Schnittpunkte mit dem Durchmesser sind <math>N_3</math> und <math>N_5</math> (dabei liegt <math>N_3</math> sehr nahe beim Mittelpunkt des Thaleskreises über <math>|AF|</math>).
- Errichten der Senkrechten auf die Mittelachse ab <math>N_3</math>; Schnittpunkt mit dem Umkreis ist der Eckpunkt <math>P_3</math> des Siebzehnecks; der Kreisbogen <math>OAP_3</math> ist somit <math>\tfrac{3}{17}</math> des Umkreisumfanges.
- Errichten der Senkrechten auf die Mittelachse ab <math>N_5</math>; Schnittpunkt mit dem Umkreis ist der Eckpunkt <math>P_5</math>; der Kreisbogen <math>OAP_5</math> ist somit <math>\tfrac{5}{17}</math> des Umkreisumfanges.
- bis 27. Ein vierzehnmaliges Abtragen der Diagonale <math>|P_3P_5|</math> auf dem Umkreis, ab dem Eckpunkt <math>P_5</math> gegen den Uhrzeigersinn, ergibt der Reihe nach die Eckpunkte <math>P_7,\;P_9,\;P_{11},\;P_{13},\;P_{15},\;P_2,\;P_4,\;P_6,\;P_8,\;P_{10},\;P_{12},\;P_{14};P_{16} </math> und <math>P_1</math>; das abschließende Verbinden der so gefundenen Punkte <math>P_1,\;P_2</math>, …, <math>\;P_{17}</math> vervollständigt das 17-Eck.
Konstruktion nach L. Gérard
Pietro Ermenegildo Daniele, ein italienischer Mathematiker (1875–1949), beschreibt im sechsten Artikel seines Werkes Über die Konstruktionen des regulären Siebzehnecks eine Konstruktion nach L. Gérard<ref>Ermenegildo Daniele: Über die Konstruktionen des regulären Siebzehnecks. (PDF) § 4. Die Konstruktion von Gérard. In: RCIN.org.pl. S. 171 ff. bzw. 183, Konstruktion S. 184, archiviert vom Vorlage:IconExternal am 9. Oktober 2022; abgerufen am 5. Mai 2024.</ref> mithilfe des Satzes von Mohr-Mascheroni.
Gérards Siebzehneck – allein mit einem Zirkel konstruiert – wurde in Mathematische Annalen (48. Band) im Jahr 1897 veröffentlicht.<ref>Felix Klein, Walther Dyck, Adolph Mayer: Mathematische Annalen. Inhalt des achtundvierzigsten Bandes. In: gdz.sub.uni-goettingen.de. Göttinger Digitalisierungszentrum, 1897, abgerufen am 19. April 2024.</ref><ref>L. Gérard: Mathematische Annalen. Construction du polygone régulier de 17 côtés au moyen du seul compas. In: gdz.sub.uni-goettingen.de. Göttinger Digitalisierungszentrum, 8. Juli 1896, S. 390–392, abgerufen am 19. April 2024.</ref>
- Um die Erklärungen von Daniele zum mathematischen Hintergrund (§ 4. Die Konstruktion von Gérard, ab Seite 183) nachvollziehen zu können, wurden die Bezeichnungen der Schnittpunkte übernommen. In der folgenden Konstruktion entsteht jeder Schnittpunkt durch das Kreuzen zweier Kreise. Für eine bessere Übersichtlichkeit ersetzen kurze Kreisbögen die entsprechenden Kreise (siehe Animation).
Mithilfe des Satzes von Mohr-Mascheroni ohne Lineal allein mit Zirkel konstruiert.
Drei Eckpunkte <math>D, P</math> und <math>P'</math> sind mit dem 19. Konstruktionsschritt gefunden. Ein fertiges Siebzehneck bedarf deren 33.
Konstruktionsbeschreibung (in Klammer die Bildnummer):
- (1) Es beginnt mit einem Kreis mit beliebigem Radius <math>|OA|</math> um den Mittelpunkt <math>O</math>.
- (2), (3), (4) Nun trägt man im Uhrzeigersinn dreimal den Radius <math>|OA|</math> auf den Umkreis des entstehenden Siebzehnecks auf, dabei ergeben sich die Schnittpunkte <math>B, C</math> sowie der erste Eckpunkt <math>D.</math>
Es folgt die Ermittlung des Mittelpunktes <math>M</math> des Radius <math>|OA|</math>.
- (5) Zwei Kreisbögen um <math>A</math> mit dem Radius <math>|AD|</math> und zwei Kreisbögen um <math>D</math> mit dem Radius <math>|DB|</math> erzeugen die Schnittpunkte <math>G</math> und <math>G'</math>.
- (6) Je ein Kreisbogen um <math>G</math> und <math>G'</math> mit Radius <math>|DB|</math> liefert den Schnittpunkt <math>M.</math>
Es geht weiter mit dem Bestimmen der noch erforderlichen Schnittpunkte <math>X</math> bis <math>Z_1</math>.
- (7) <math>X\colon</math> je ein Kreisbogen um <math>A</math> und <math>D</math> mit Radius <math>|AC|,</math>
- (8) <math>F</math> und <math>F'\colon</math> zwei Kreisbögen um <math>A</math> mit Radius <math> |OX|,</math>
- (9) <math>K</math> und <math>K'\colon</math> zwei Kreisbögen um <math>M</math> mit Radius <math>|OA|,</math>
- (10) <math>E_1</math> und <math>E_2\colon</math> je einen Kreisbogen um <math>K</math> und <math>K'</math> mit Radius <math>|OX|,</math>
- (11), (12) <math>L_1</math> und <math>L'_1\colon</math> je einen Kreisbogen um <math>F</math> und <math>F'</math> mit Radius <math>|OE_1|</math> sowie zwei Kreisbögen um <math>E_1</math> mit Radius <math>|OA|,</math>
- (13) <math>E_{11}\colon</math> je einen Kreisbogen um <math>L_1</math> und <math>L'_1</math> mit Radius <math>|E_1X|,</math>
- (14), (15) <math>L_2</math> und <math>L'_2\colon</math> je einen Kreisbogen um <math>F</math> und <math>F'</math> mit Radius <math>|OE_2|</math> sowie zwei Kreisbögen um <math>E_2</math> mit Radius <math>|OA|,</math>
- (16) <math>E_{21}\colon</math> je ein Kreisbogen um <math>L_2</math> und <math>L'_2</math> mit Radius <math>|E_2X|,</math>
- (17) <math>N</math> und <math>N'\colon</math> je zwei Kreisbögen um <math>O</math> und <math>E_{21}</math> mit Radius <math>|AE_{11}|,</math>
- (18) <math>Z_1\colon</math> je ein Kreisbogen um <math>N</math> und <math>N'</math> mit Radius <math>|E_{11}B|.</math>
- (19) Jetzt bedarf es nur noch zweier Kreisbögen um <math>Z_1</math> mit Radius <math>|OA|</math>, um zwei weitere Eckpunkte <math>P</math> und <math>P'</math> zu erhalten.
- Die Abstände <math>|DP|</math> und <math>|DP'|</math> entsprechen jeweils einer Seitenlänge des entstehenden Siebzehnecks.
- (20) bis (33) Abschließend liefert das vierzehnmalige Abtragen der Seitenlänge <math>|DP|</math> auf dem Umkreis ein allein mit dem Zirkel erstelltes regelmäßiges Siebzehneck.
Konstruktion nach Duane DeTemple
Duane W. DeTemple veröffentlichte im Jahr 1991 in der mathematischen Zeitschrift The American Mathematical Monthly eine Konstruktion des Siebzehnecks. Für seine Lösung verwendete er vier Carlyle-Kreise; benannt nach dem Historiker Thomas Carlyle (1795–1881). Der junge Schotte Carlyle lehrte Mathematik, bevor er sich der Literatur zuwandte. Damals fand er diese elegante geometrische Methode für die quadratische Gleichung und folglich auch für die Polygone Fünfeck, Siebzehneck, 257-Eck und 65537-Eck.<ref name="DeTemple">Duane W. DeTemple: <templatestyles src="Webarchiv/styles.css" />Carlyle Circles and the Lemoine Simplicity of Polygon Constructions. ( vom 11. August 2011 im Internet Archive). In: The American Mathematical Monthly. Band 98, No. 2 (Feb. 1991), S. 101–104 (Modul:JSTOR * Modul:JSTOR:170: attempt to index field 'wikibase' (a nil value)), abgerufen am 19. April 2024.</ref>
Der 16. Konstruktionsschritt liefert den ersten Eckpunkt <math>P_1</math>. Ist Bestimmen und Verbinden der Eckpunkte jeweils ein Konstruktionsschritt, braucht das fertige Siebzehneck davon 30.
Konstruktionsbeschreibung:
- Zeichne die <math>x</math>-Achse und setze darauf den Punkt <math>O.</math>
- Zeichne um <math>O</math> den Einheitskreis <math>c_1</math> mit Radius <math>r_1,</math> Schnittpunkte mit <math>c_1</math> sind <math>P_0</math> und <math>Q.</math>
- Konstruiere die <math>y</math>-Achse vom Umkreis <math>c_1</math> des entstehenden 17-Ecks, Schnittpunkt mit <math>c_1</math> ist <math>A.</math>
- Halbiere den Radius <math>|OQ|</math> in <math>Q'.</math>
- Ziehe den Kreisbogen <math>c_2</math> mit dem Radius <math>|Q'P_0|</math> um <math>Q'.</math>
- Errichte eine Senkrechte auf dem Radius <math>|OQ|</math> ab <math>Q',</math> Schnittpunkt mit <math>c_2</math> ist <math>M_0.</math>
- Ziehe den Carlyle-Kreisbogen <math>Cc_1</math> um <math>M_0</math> durch <math>A</math> so, dass er die <math>x</math>-Achse vom Umkreis <math>c_1</math> zweimal trifft, Schnittpunkte sind <math>H_{0,2}</math> und <math>H_{1,2}.</math>
- Halbiere die Strecke <math>\overline{OH_{0,2}}</math> in <math> M_{0,2}.</math>
- Halbiere die Strecke <math>\overline{OH_{1,2}}</math> in <math>M_{1,2}.</math>
- Ziehe den Carlyle-Kreisbogen <math>Cc_2</math> um <math>M_{1,2}</math> ab <math>A</math> bis auf die <math>x</math>-Achse, Schnittpunkt ist <math>H_{1,4}.</math>
- Ziehe den Carlyle-Kreisbogen <math>Cc_3</math> um <math>M_{0,2}</math> ab <math>A</math> bis auf die <math>x</math>-Achse, Schnittpunkt ist <math>H_{0,4}.</math>
- Trage <math>\overline{OH_{1,4}}</math> von Punkt <math>A</math> aus auf der Geraden <math>\overline{OA}</math> ab. Du erhältst Punkt <math>Y.</math>
- Verbinde <math>Y</math> mit <math>H_{0,4}.</math>
- Halbiere die Strecke <math>\overline{H_{0,4}Y}</math> in <math>M_{0,4}.</math>
- Ziehe den Carlyle-Kreisbogen <math>Cc_4</math> um <math>M_{0,4}</math> ab <math>A</math> bis auf die <math>x</math>-Achse, Schnittpunkt ist <math>H_{0,8}.</math>
- Ziehe den Kreisbogen <math>c_3</math> mit dem Radius <math>|OP_0|</math> um <math>H_{0,8},</math> Schnittpunkte mit dem Umkreis <math>c_1</math> sind die Eckpunkte <math>P_1</math> und <math>P_{16},</math> somit ist die Strecke <math>\overline{P_0P_1} </math> die erste Seite des gesuchten 17-Ecks.
- Ein vierzehnmaliges Abtragen der Strecke <math>\overline{P_0P_1}</math> auf dem Umkreis <math>c_1,</math> ab dem Eckpunkt <math>P_1</math> gegen den Uhrzeigersinn, ergibt der Reihe nach die Eckpunkte <math>P_2</math> bis <math>P_{15}.</math> Abschließend verbinde die so gefundenen Punkte <math>P_1, P_2, \dotsc, P_{16}</math> und <math>P_0,</math> dann ist das 17-Eck fertiggestellt.
Konstruktion mithilfe der gaußschen Kurzfassung der Formel
Anlässlich der 150. Wiederkehr des Todestages von Carl Friedrich Gauß am 23. Februar 2005 gab es in Göttingen im Alten Rathaus am Markt vom 23. Februar bis zum 15. Mai 2005 die Ausstellung „Wie der Blitz einschlägt, hat sich das Räthsel gelöst“. Carl Friedrich Gauß in Göttingen. Der Katalog zu dieser Ausstellung, herausgegeben von Elmar Mittler, enthält Aufsätze in diversen Rubriken. Im Abschnitt Mathematik ist der Beitrag 17 gleiche Ecken und Kanten mit Zirkel und Lineal von Hans Vollmayr zu finden.<ref name="Vollmayr">Hans Vollmayr: 17 gleiche Ecken und Kanten mit Zirkel und Lineal. In: Göttinger Bibliotheksschriften 30. „Wie der Blitz einschlägt, hat sich das Räthsel gelöst“. Carl Friedrich Gauß in Göttingen. Hrsg.: Elmar Mittler. Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Göttingen 2005, ISBN 3-930457-72-5, S. 90 ff. (17 gleiche Ecken und Kanten mit Zirkel und Lineal [PDF; abgerufen am 19. April 2024]).</ref> Die im Folgenden dargestellte Konstruktion ist prinzipiell den Kapiteln Das Siebzehneck: die Rechnung<ref>Hans Vollmayr: 17 gleiche Ecken und Kanten mit Zirkel und Lineal. In: Göttinger Bibliotheksschriften 30. „Wie der Blitz einschlägt, hat sich das Räthsel gelöst“. Carl Friedrich Gauß in Göttingen. Hrsg.: Elmar Mittler. Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Göttingen 2005, ISBN 3-930457-72-5, S. 100–102 (Das Siebzehneck: die Rechnung [PDF; abgerufen am 19. April 2024]).</ref> und Das Siebzehneck: die Zeichnung<ref>Hans Vollmayr: 17 gleiche Ecken und Kanten mit Zirkel und Lineal. In: Göttinger Bibliotheksschriften 30. „Wie der Blitz einschlägt, hat sich das Räthsel gelöst“. Carl Friedrich Gauß in Göttingen. Hrsg.: Elmar Mittler. Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Göttingen 2005, ISBN 3-930457-72-5, S. 102–103 (Das Siebzehneck: die Zeichnung [PDF; abgerufen am 19. April 2024]).</ref> entnommen.
Die Kurzfassung der Formel für den Kosinus des Zentriwinkels (siehe Eigenschaften),
- <math>\cos\left(\frac{2\pi}{17}\right) = \frac{1}{2} \cdot \left(q + \sqrt{q^2 - 2q'}\right),</math>
erleichtert eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal, die mithilfe der Hilfsgrößen, quasi Schritt für Schritt, den Kosinus des Zentriwinkels liefert. Ein möglicher Lösungsweg ist, die Hilfsgrößen zeichnerisch separat in drei Bildern (1–3) mit elementaren algebraischen Operationen darzustellen. Dies macht die Konstruktion übersichtlich und allgemein gut nachvollziehbar.
Konstruktion der Hilfsgrößen p und q sowie des Quadrats q²
Darin gilt <math>p = \frac{-1+\sqrt{17}}{4}</math> und <math>q = \frac{p+\sqrt{1+p^2}}{2}.</math>
- Ab Punkt <math>A</math> eine Halbgerade ziehen, darauf <math>B</math> mit <math>\overline{AB} =1,</math> Lot auf Strecke <math>\overline{AB}</math> in <math>A</math> errichten und <math>\overline{AB}</math> ab <math>A</math> auf Lot übertragen ergibt <math>C.</math>
- Lot auf <math>\overline{AB}</math> in <math>B</math> mit Länge <math>= \frac{1}{4}\cdot\overline{AB}</math> ergibt <math>D,</math> anschließend Halbgerade von <math>A</math> durch <math>D</math> ergibt <math>\overline{AD} = \frac{1}{4}\cdot\sqrt{17}.</math>
- Kreis um <math>D</math> durch <math>B</math> ergibt <math>E</math> auf Halbgerade, <math>\overline{AE}</math> ist Hilfsgröße <math>p.</math>
- Viertelkreis um <math>A</math> durch <math>E</math> ergibt <math>F</math> und <math>G,</math> nun <math>C</math> mit <math>F</math> verbinden, anschließende Parallele zu <math>\overline{CF}</math> ab <math>G</math> ergibt <math>H</math> sowie mit <math>\overline{AH}</math> das Quadrat <math>p^2.</math>
- Zu <math>p^2</math> zweimal die Länge <math>1 = \overline{AC}</math> addieren, ergibt <math>I</math> und <math>J,</math> anschließend <math>\overline{AJ}</math> in <math>K</math> halbieren und um <math>K</math> über <math>\overline{AJ}</math> Halbkreis ziehen.
- Lot auf <math>\overline{AJ}</math> in <math>I</math> bis Halbkreis ergibt <math>\overline{IL} = \sqrt{p^2 + 1},</math> anschließend zu <math>\overline{IL}</math> ab <math>L</math> Hilfsgröße <math>p = \overline{AE}</math> addieren, ergibt <math>M.</math>
- <math>\overline{IM}</math> in <math>N</math> halbieren ergibt Hilfsgröße <math>\overline{IN} = q.</math>
- Viertelkreis um <math>I</math> ab <math>J</math> ergibt <math>O,</math> anschließend Viertelkreis um <math>I</math> ab <math>N</math> ergibt <math>P.</math>
- <math>O</math> mit <math>P</math> verbinden, anschließende Parallele zu <math>\overline{OP}</math> ab <math>N</math> ergibt <math>Q</math> sowie mit <math>\overline{IQ}</math> das Quadrat <math>q^2.</math>
Konstruktion der Hilfsgrößen p’ und qʼ
Darin gilt <math>p' = \frac{-1 - \sqrt{17}}{4}</math> sowie <math>q' = \frac{p' + \sqrt{1+p'^2}}{2}.</math>
- Ab Punkt <math>A'</math> eine Halbgerade ziehen, darauf <math>B'</math> mit <math>\overline{A'B'} = 1,</math> Lot auf Strecke <math>\overline{A'B'}</math> in <math>A'</math> errichten und <math>\overline{A'B'}</math> ab <math>A'</math> auf Lot übertragen ergibt <math>C'.</math>
- Lot auf <math>\overline{A'B'}</math> in <math>B'</math> mit der Länge <math>\frac{1}{4} \cdot \overline{A'B'}</math> ergibt <math>D',</math> anschließend Halbgerade von <math>A'</math> durch <math>D'</math> ergibt <math>\overline{A'D'} = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{17}.</math>
- Kreis um <math>D'</math> durch <math>B'</math> ergibt <math>E'</math> auf Halbgerade, <math>\overline{A'E'}</math> ist Hilfsgröße <math>p'.</math>
- Viertelkreis um <math>A'</math> durch <math>E'</math> ergibt <math>F'</math> und <math>G',</math> nun <math>C'</math> mit <math>F'</math> verbinden, anschließende Parallele zu <math>\overline{C'F'}</math> ab <math>G'</math> ergibt <math>H'</math> sowie mit <math>\overline{A'H'}</math> das Quadrat <math>p'^2.</math>
- Zu <math>p'^2</math> zweimal die Länge <math>1 = \overline{A'C'}</math> addieren, ergibt <math>I'</math> und <math>J',</math> anschließend <math>\overline{A'J'}</math> in <math>K'</math> halbieren und um <math>K'</math> über <math>\overline{A'J'}</math> Halbkreis ziehen.
- Lot auf <math>\overline{A'J'}</math> in <math>I'</math> bis Halbkreis ergibt <math>\overline{I'L'} = \sqrt{p'^2 + 1},</math> anschließend von <math>\overline{I'L'}</math> ab <math>L'</math> Hilfsgröße <math>p' = \overline{A'E'}</math> subtrahieren, ergibt <math>M'.</math>
- <math>\overline{I'M'}</math> in <math>N'</math> halbieren ergibt mit <math>\overline{I'N'}</math> Hilfsgröße <math>q'.</math>
Konstruktion der Wurzel aus q² − 2q’ und des Kosinus des Zentriwinkels μ
- Ab Punkt <math>I</math> eine Halbgerade ziehen, darauf <math>q^2</math> aus Bild (1) übertragen ergibt <math>Q,</math> anschließend Länge <math>1 = \overline{AC}</math> aus Bild (1) ab <math>Q</math> übertragen ergibt <math>R.</math>
- Von <math>q^2</math> die Länge <math>2q' = \overline{I'M'}</math> aus Bild (2) ab Punkt <math>I</math> subtrahieren ergibt <math>S,</math> anschließend <math>\overline{SR}</math> in <math>T</math> halbieren und um <math>T</math> über <math>\overline{SR}</math> Halbkreis ziehen.
- Lot auf <math>\overline{SR}</math> in <math>Q</math> bis Halbkreis ergibt <math>\overline{QU} = \sqrt{q^2 - 2q'}.</math>
- Strecke <math>\overline{Q'U'} = \sqrt{q^2 - 2q'}</math> einzeichnen und dazu Hilfsgröße <math>q = \overline{IN}</math> aus Bild (1) ab <math>U'</math> addieren ergibt <math>V,</math> anschließend <math>\overline{Q'V}</math> in <math>W</math> halbieren, die Strecke <math>\overline{WV}</math> ist der Kosinus <math>\cos\left(\frac{2\pi}{17}\right) = \frac{1}{2} \cdot \left(q + \sqrt{q^2 - 2q'}\right)</math> des Zentriwinkels <math>\mu</math> des Siebzehnecks.
- Um Punkt <math>W'</math> Umkreis mit dem Radius <math>1</math> (z. B. mit Strecke <math>\overline{QR}</math>) ziehen, anschließend Radius einzeichnen, ergibt <math>P_{17}.</math>
- <math>\overline{WV} = \cos\left(\frac{2\pi}{17}\right)</math> auf <math>\overline{W'P_{17}}</math> ab <math>W'</math> übertragen, ergibt <math>V'.</math>
- Lot auf <math>\overline{W'V'}</math> in <math>V'</math> bis Umkreis ergibt ersten Eckpunkt <math>P_1</math> des entstehenden Siebzehnecks.
- <math>\overline{P_1P_{17}}</math> fünfzehnmal gegen den Uhrzeigersinn auf dem Umkreis abtragen und abschließend die benachbarten Ecken verbinden. Somit ist das regelmäßige Siebzehneck fertiggestellt.
Grundsätzlich wäre es auch möglich, den von Gauß zuerst gefundenen (langen) Ausdruck als konstruierte Strecke darzustellen. In der einschlägigen Literatur wird aber keine derartige Lösung beschrieben.
Vorkommen
Unter den Insignien der Universität Braunschweig sind auch zwei 1952/53 erworbene Pedellstäbe für das Zeremoniell. Einer davon zeigt auf dem Messingkopfstück, in einer kreisrunden Scheibe, einen regelmäßigen Siebzehnstrahlstern.<ref>Bianca Loschinsky: Bild des Monats: Pedellstäbe fürs Zeremoniell. In: magazin.tu-braunschweig.de. 1. April 2018, abgerufen am 13. Mai 2024.</ref> Der zweite weist mittels Zahnkranz, Winkel und Zirkel auf die Konstruierbarkeit des Siebzehnecks allein mit Zirkel und Lineal hin. Beide Pedellstäbe erinnern damit an die von Carl Friedrich Gauß gemachte – oben beschriebene – Entdeckung zum Siebzehneck.<ref>Tanja Wolf, Michael Wrehde: Die Pedellstäbe der Technischen Hochschule Braunschweig. In: uniquellen.hypotheses.org. 30. Juli 2021, abgerufen am 13. Mai 2024.</ref>
In den Jahren 1884 bis 1904 erregte das auf einem siebzehneckigen Grundriss errichtete Sedan-Panorama in Berlin großes Aufsehen beim Publikum.<ref>Alexander Glintschert: Das Sedan-Panorama. In: anderes-berlin.de. 16. Dezember 2016, abgerufen am 4. August 2024.</ref>
Anlässlich des 200. Geburtstags von C. F. Gauß erschien 1977 in der DDR eine 20-Pfennig-Briefmarke. Sie zeigt ein Porträt des jungen Gauß, so wie ihn der Maler Johann Christian August Schwartz 1803 in einem Pastell dargestellt hatte. Daneben sind Zirkel, Zeichendreieck (Lineal) und eine weiße Kreisfläche zu sehen. Erst bei genauerem Hinsehen sind die siebzehn Punkte auf der Kreislinie erkennbar. Alles zusammen weist darauf hin, dass Gauß es war, der die Konstruierbarkeit des regelmäßigen Siebzehnecks fand.<ref>H.-J. Vollrath: Zum Gedenken an Carl Friedrich Gauß. Briefmarken. In: didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de. Abgerufen am 16. Mai 2024.</ref>
In der Leipziger Mädlerpassage ist in der Kuppel der Rotunde eine Fensterrose eingelassen, deren Umriss einem Siebzehneck gleicht. Sie misst etwa zwölf Meter im Durchmesser und befindet sich ungefähr auf fünfzehn Meter Höhe.<ref>Anke Beesch: Architektur. Historische Baukunst mitten in Leipzig. In: maedlerpassage.de. Mädler-Passage Leipzig, abgerufen am 19. April 2024.</ref> Errichtet wurde die Fensterrose von dem Architekten Theodor Kösser innerhalb seines Projektes Mädlerpassage (1912–1914).
In Braunschweig steht vor einem kleinen grünen Hügel, genannt Gaußberg, das 1880 errichtete Gauß-Denkmal.<ref>Manuela Wenderoth: Carl Friedrich Gauß. In: braunschweig.de. 19. November 2015, abgerufen am 13. Mai 2024.</ref> Auf der Westseite (Gauß’ rechter Seite) ist auf dem Sockel ein goldfarbener regelmäßiger Siebzehnstrahlstern eingelassen.
Regelmäßige überschlagene Siebzehnecke
Ein regelmäßiges überschlagenes Siebzehneck ergibt sich, wenn beim Verbinden der siebzehn Eckpunkte jedes Mal mindestens einer übersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleich lang sind. Notiert werden solche regelmäßigen Sterne mit Schläfli-Symbolen <math>\left\{n/k\right\}</math>, wobei <math>n</math> die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder <math>k</math>-te Punkt verbunden wird.
In der folgenden Galerie sind die sieben möglichen regelmäßigen Siebzehnstrahlsterne, auch Heptadekagramme genannt, dargestellt.
- Regelmäßige Siebzehnstrahlsterne
-
<math>\left\{17/2\right\}{,}\ \left\{17/15\right\}</math>
-
<math>\left\{17/3\right\}{,}\ \left\{17/14\right\}</math>
-
<math>\left\{17/4\right\}{,}\ \left\{17/13\right\}</math>
-
<math>\left\{17/5\right\}{,}\ \left\{17/12\right\}</math>
-
<math>\left\{17/6\right\}{,}\ \left\{17/11\right\}</math>
-
<math>\left\{17/7\right\}{,}\ \left\{17/10\right\}</math>
-
<math>\left\{17/8\right\}{,}\ \left\{17/ 9\right\}</math>
Siehe auch
Literatur
- Jörg Bewersdorff: Algebra für Einsteiger. Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie. 6. Auflage. Springer Spektrum, 2019, ISBN 978-3-658-26151-1.
- Godfrey Harold Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford University Press, 2008, ISBN 978-0-19-921986-5, Kapitel 5.8: Construction of the regular polygon of 17 sides, S. 71–77.
- Harold Scott MacDonald Coxeter: Introduction to Geometry. 2. Auflage. Wiley, 1989, ISBN 0-471-50458-0, S. 26–28.
- Karin Reich: Die Entdeckung und frühe Rezeption der Konstruierbarkeit des regelmäßigen 17-Ecks und dessen geometrische Konstruktion durch Johannes Erchinger (1825). In: Rüdiger Thiele (Hrsg.): Mathesis, Festschrift zum siebzigsten Geburtstag von Matthias Schramm. GNT-Verlag, Berlin/Diepholz 2000, S. 101–118.
- Ian Stewart: Die letzten Rätsel der Mathematik. rororo 61694. 2. Auflage. Rowohlt Taschenbuch Verlag, Reinbek bei Hamburg 2015, ISBN 978-3-499-61694-5, S. 77–102, 494–496.
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Heptadecagon. In: MathWorld (englisch).
- Edmund Weitz: Das regelmäßige 17-Eck. In: YouTube. 2017.
Anmerkungen
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Einzelnachweise
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