Fermat-Zahl

Eine Fermat-Zahl, benannt nach dem französischen Mathematiker Pierre de Fermat, ist eine Zahl der Form

mit einer ganzen Zahl <math>n \ge 0</math>. Die ersten Fermat-Zahlen lauten 3, 5 und 17.

Im August 1640 vermutete Fermat, dass alle Zahlen dieser Form Primzahlen seien.<ref name="Fermat1640">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Dies wurde jedoch 1732 von Leonhard Euler widerlegt, der zeigte, dass schon die sechste Fermatzahl F₅ durch 641 teilbar ist.<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}| |}}}}{{#if:Edward Sandifer|Edward Sandifer: }}{{#if:|{{#if:How Euler Did It – Factoring F₅|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=How Euler Did It – Factoring F₅}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:http://eulerarchive.maa.org/hedi/HEDI-2007-03.pdf%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=How Euler Did It – Factoring F₅}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=http://eulerarchive.maa.org/hedi/HEDI-2007-03.pdf}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=How Euler Did It – Factoring F₅}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:MAA OnlineMärz 20071–4{{#if: 2022-03-23 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}

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Fermat-Zahlen

Die ersten Fermat-Zahlen lauten <math>F_0 = 3,\, F_1 = 5,\, F_2 = 17,\, F_3 = 257</math> und <math>F_4 = 65537</math>.<ref name="OEISA000215" />

Eine etwas längere Liste bis <math>F_{14}</math> findet man in der folgenden aufklappbaren Box. Vorlage:Klappleiste/Anfang

n	Dezimal- stellen von F_n	F_n
00	1	3
01	1	5
02	2	17
03	3	257
04	5	65.537
05	10	4.294.967.297
06	20	18.446.744.073.709.551.617
07	39	340.282.366.920.938.463.463.374.607.431.768.211.457
08	78	115.792.089.237.316.195.423.570.985.008.687.907.853.269.984.665.640.564.039.457.584.007.913.129.639.937
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14	4933	1.189.731.495.357.231.765.085.759.326.628.007.130.763.444.687.096.510.237.472.674.821.233.261.358.180.483.686.904.488.595.472.612.039.915.115.437.484.839.309.258.897.667.381.308.687.426.274.524.698.341.565.006.080.871.634.366.004.897.522.143.251.619.531.446.845.952.345.709.482.135.847.036.647.464.830.984.784.714.280.967.845.614.138.476.044.338.404.886.122.905.286.855.313.236.158.695.999.885.790.106.357.018.120.815.363.320.780.964.323.712.757.164.290.613.406.875.202.417.365.323.950.267.880.089.067.517.372.270.610.835.647.545.755.780.793.431.622.213.451.903.817.859.630.690.311.343.850.657.539.360.649.645.193.283.178.291.767.658.965.405.285.113.556.134.369.793.281.725.888.015.908.414.675.289.832.538.063.419.234.888.599.898.980.623.114.025.121.674.472.051.872.439.321.323.198.402.942.705.341.366.951.274.739.014.593.816.898.288.994.445.173.400.364.617.928.377.138.074.411.345.791.848.573.595.077.170.437.644.191.743.889.644.885.377.684.738.322.240.608.239.079.061.399.475.675.334.739.784.016.491.742.621.485.229.014.847.672.335.977.897.158.397.334.226.349.734.811.441.653.077.758.250.988.926.030.894.789.604.676.153.104.257.260.141.806.823.027.588.003.441.951.455.327.701.598.071.281.589.597.169.413.965.608.439.504.983.171.255.062.282.026.626.200.048.042.149.808.200.002.060.993.433.681.237.623.857.880.627.479.727.072.877.482.838.438.705.048.034.164.633.337.013.385.405.998.040.701.908.662.387.301.605.018.188.262.573.723.766.279.240.798.931.717.708.807.901.740.265.407.930.976.419.648.877.869.604.017.517.691.938.687.988.088.008.944.251.258.826.969.688.364.194.133.945.780.157.844.364.946.052.713.655.454.906.327.187.428.531.895.100.278.695.119.323.496.808.703.630.436.193.927.592.692.344.820.812.834.297.364.478.686.862.064.169.042.458.555.136.532.055.050.508.189.891.866.846.863.799.917.647.547.291.371.573.500.701.015.197.559.097.453.040.033.031.520.683.518.216.494.195.636.696.077.748.110.598.284.901.343.611.469.214.274.121.810.495.077.979.275.556.645.164.983.850.062.051.066.517.084.647.369.464.036.640.569.339.464.837.172.183.352.956.873.912.042.640.003.611.618.789.278.195.710.052.094.562.761.306.703.551.840.330.110.645.101.995.435.167.626.688.669.627.763.820.604.342.480.357.906.415.354.212.732.946.756.073.006.907.088.870.496.125.050.068.156.659.252.761.297.664.065.498.347.492.661.798.824.062.312.210.409.274.584.565.587.264.846.417.650.160.123.175.874.034.726.261.957.289.081.466.197.651.553.830.744.424.709.698.634.753.627.770.356.227.126.145.052.549.125.229.448.040.149.114.795.681.359.875.968.512.808.575.244.271.871.455.454.084.894.986.155.020.794.806.980.939.215.658.055.319.165.641.681.105.966.454.159.951.476.908.583.129.721.503.298.816.585.142.073.061.480.888.021.769.818.338.417.129.396.878.371.459.575.846.052.583.142.928.447.249.703.698.548.125.295.775.920.936.450.022.651.427.249.949.580.708.203.966.082.847.550.921.891.152.133.321.048.011.973.883.636.577.825.533.325.988.852.156.325.439.335.021.315.312.134.081.390.451.021.255.363.707.903.495.916.963.125.924.201.167.877.190.108.935.255.914.539.488.216.897.117.943.269.373.608.639.074.472.792.751.116.715.127.106.396.425.081.353.553.137.213.552.890.539.802.602.978.645.319.795.100.976.432.939.091.924.660.228.878.912.900.654.210.118.287.298.298.707.382.159.717.184.569.540.515.403.029.173.307.292.454.391.789.568.674.219.640.761.451.173.600.617.752.186.991.913.366.837.033.887.201.582.071.625.868.247.133.104.513.315.097.274.713.442.728.340.606.642.890.406.496.636.104.443.217.752.811.227.470.029.162.858.093.727.701.049.646.499.540.220.983.981.932.786.613.204.254.226.464.243.689.610.107.429.923.197.638.681.545.837.561.773.535.568.984.536.053.627.234.424.277.105.760.924.864.023.781.629.665.526.314.910.906.960.488.073.475.217.005.121.136.311.870.439.925.762.508.666.032.566.213.750.416.695.719.919.674.223.210.606.724.721.373.471.234.021.613.540.712.188.239.909.701.971.943.944.347.480.314.217.903.886.317.767.779.921.539.892.177.334.344.368.907.550.318.800.833.546.852.344.370.327.089.284.147.501.640.589.448.482.001.254.237.386.680.074.457.341.910.933.774.891.959.681.016.516.069.106.149.905.572.425.810.895.586.938.833.067.490.204.900.368.624.166.301.968.553.005.687.040.285.095.450.484.840.073.528.643.826.570.403.767.157.286.512.380.255.109.954.518.857.013.476.588.189.300.004.138.849.715.883.139.866.071.547.574.816.476.727.635.116.435.462.804.401.112.711.392.529.180.570.794.193.422.686.818.353.212.799.068.972.247.697.191.474.268.157.912.195.973.794.192.807.298.886.952.361.100.880.264.258.801.320.928.040.011.928.153.970.801.130.741.339.550.003.299.015.924.978.259.936.974.358.726.286.143.980.520.112.454.369.271.114.083.747.919.007.803.406.596.321.353.417.004.068.869.443.405.472.140.675.963.640.997.405.009.225.803.505.672.726.465.095.506.267.339.268.892.424.364.561.897.661.906.898.424.186.770.491.035.344.080.399.248.327.097.911.712.881.140.170.384.182.058.601.614.758.284.200.750.183.500.329.358.499.691.864.066.590.539.660.709.069.537.381.601.887.679.046.657.759.654.588.001.937.117.771.344.698.326.428.792.622.894.338.016.112.445.533.539.447.087.462.049.763.409.147.542.099.248.815.521.395.929.388.007.711.172.017.894.897.793.706.604.273.480.985.161.028.815.458.787.911.160.979.113.422.433.557.549.170.905.442.026.397.275.695.283.207.305.331.845.419.990.749.347.810.524.006.194.197.200.591.652.147.867.193.696.254.337.864.981.603.833.146.354.201.700.628.817.947.177.518.115.217.674.352.016.511.172.347.727.727.075.220.056.177.748.218.928.597.158.346.744.541.337.107.358.427.757.919.660.562.583.883.823.262.178.961.691.787.226.118.865.632.764.934.288.772.405.859.754.877.759.869.235.530.653.929.937.901.193.611.669.007.472.354.746.360.764.601.872.442.031.379.944.139.824.366.828.698.790.212.922.996.174.192.728.625.891.720.057.612.509.349.100.482.545.964.152.046.477.925.114.446.500.732.164.109.099.345.259.799.455.690.095.576.788.686.397.487.061.948.854.749.024.863.607.921.857.834.205.793.797.188.834.779.656.273.479.112.388.585.706.424.836.379.072.355.410.286.787.018.527.401.653.934.219.888.361.061.949.671.961.055.068.686.961.468.019.035.629.749.424.086.587.195.041.004.404.915.266.476.272.761.070.511.568.387.063.401.264.136.517.237.211.409.916.458.796.347.624.949.215.904.533.937.210.937.520.465.798.300.175.408.017.538.862.312.719.042.361.037.129.338.896.586.028.150.046.596.078.872.444.365.564.480.545.689.033.575.955.702.988.396.719.744.528.212.984.142.578.483.954.005.084.264.327.730.840.985.420.021.409.069.485.412.320.805.268.520.094.146.798.876.110.414.583.170.390.473.982.488.899.228.091.818.213.934.288.295.679.717.369.943.152.460.447.027.290.669.964.066.817

Vorlage:Klappleiste/Ende

Wegen <math>F_{n+1} \approx F_n^2</math> hat die Fermatzahl <math>F_{n+1}</math> doppelt so viele oder um eine weniger als doppelt so viele Stellen wie ihr Vorgänger <math>F_n</math>.

Fermatsche Primzahlen

Die Idee hinter Fermatschen Primzahlen ist der Satz, dass <math>2^k+1</math> nur für <math>k=0</math> und für <math>k=2^n</math> mit <math>n \ge 0</math> prim sein kann:

<math>2^k+1\in\mathbb P \ \Rightarrow\ k=0 \lor \exists n\in\N_0\colon k=2^n</math>

Vorlage:Klappleiste/Anfang Beweis durch Widerspruch: Man führt die Annahme, dass das zu Beweisende falsch sei, zu einem Widerspruch.

Annahme: <math>k>0</math> und <math>2^k+1</math> ist prim und die Hochzahl <math>k</math> hat einen ungeraden Teiler <math>c>1</math>.

Dann gilt

mit einer ganzen Zahl <math>k/c</math>. Nach Annahme ist <math>c</math> ungerade, also ist diese Summe bekanntlich durch die Summe <math>2^{\frac{k}{c}}+1</math> der beiden Basen teilbar:

Weil die Zahl <math>2^k+1</math> prim ist, muss ihr Teiler <math>2^{\frac{k}{c}}+1</math> gleich 1 oder gleich <math>2^k+1</math> sein. Aber in Widerspruch dazu ist <math>2^{\frac{k}{c}}+1</math> (wegen <math>2^{\frac{k}{c}}>0</math>) größer als 1 und (wegen <math>k>0 \Rightarrow k/c<k</math>) kleiner als <math>2^k+1</math>. Die Annahme, dass sowohl <math>2^k+1</math> prim ist als auch, dass <math>k</math> positiv ist und einen ungeraden Teiler <math>c>1</math> hat, muss daher fallengelassen werden: <math>2^k+1</math> kann nur prim sein, wenn <math>k</math> gleich 0 oder gleich einer Zweierpotenz <math>2^n</math> mit <math>n \geq 0</math> ist, was zu zeigen war. <math>\Box</math>

Vorlage:Klappleiste/Ende

Die Umkehrung dieses Satzes, dass also nicht nur (wegen <math>2^0+1=1+1=2\in\mathbb P</math> offensichtlich) <math>2^0+1</math>, sondern auch jede Fermat-Zahl <math>F_n=2^{2^n}+1</math> prim sei, ist falsch. <math>F_0</math> bis <math>F_4</math> sind sogar die einzigen bisher bekannten Fermatschen Primzahlen.

Schon Fermat zeigte, dass diese ersten fünf Fermat-Zahlen Primzahlen sind, und vermutete 1640, dass dies auf alle Fermat-Zahlen zutreffe. Diese Vermutung wurde aber schon 1732 von Leonhard Euler einfach widerlegt, indem er mit 641 einen echten Teiler von F₅ = 4.294.967.297 fand.<ref name="euler" />

Man vermutet inzwischen, dass außer den ersten fünf keine weiteren Fermatschen Primzahlen existieren. Diese Vermutung beruht auf statistischen Abschätzungen: Der Primzahlsatz besagt, dass die Anzahl der Primzahlen, die nicht größer als x sind, näherungsweise gleich x / ln x ist. Die Primzahldichte oder Wahrscheinlichkeit dafür, dass F_n als ungerade Zahl eine Primzahl ist, beträgt daher näherungsweise 2 / ln F_n ≈ 3 / 2ⁿ. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Fermatzahl F_n oder eine der folgenden Fermatzahlen eine Primzahl ist, ergibt sich durch Summation der geometrische Reihe ungefähr zu 6 / 2ⁿ.

Für verbliebene weder teilweise noch vollständig faktorisierte Fermat-Zahlen ist diese Wahrscheinlichkeit mit etwa 6 ⸱ 10⁻¹⁰ mittlerweile aber sehr klein geworden.

Faktorisierungsergebnisse von Fermat-Zahlen

Die Zahlen F₀ bis F₄ sind, wie schon Fermat erkannt hat, Primzahlen:

n	Fermat-Primzahl F_n
00	3
01	5
02	17
03	257
04	65537

Die Zahlen F₅ bis F₁₁ sind entgegen der Vermutung Fermats zusammengesetzt. Sie sind bereits vollständig faktorisiert:<ref name="Status" />

Vorlage:Klappleiste/Anfang

n	Entdecker der Faktoren	Primfaktorenzerlegung von F_n
05	Leonhard Euler (1732)	4.294.967.297 (10 Stellen) = 641 (3 Stellen) × 6.700.417 (7 Stellen)
06	Clausen (1855), Landry & Le Lasseur (1880)	18.446.744.073.709.551.617 (20 Stellen) = 274.177 (6 Stellen) × 67.280.421.310.721 (14 Stellen)
07	Morrison & Brillhart (1970)<ref name="morrison" />	340.282.366.920.938.463.463.374.607.431.768.211.457 (39 Stellen) = 59.649.589.127.497.217 (17 Stellen) × 5.704.689.200.685.129.054.721 (22 Stellen)
08	Brent & Pollard (1980)	115.792.089.237.316.195.423.570.985.008.687.907.853.269.984.665.640.564.039.457.584.007.913.129.639.937 (78 Stellen) = 1.238.926.361.552.897 (16 Stellen) × 93.461.639.715.357.977.769.163.558.199.606.896.584.051.237.541.638.188.580.280.321 (62 Stellen)
09	Western (1903), Lenstra & Manasse (1990)	13.407.807.929.942.597.099.574.024.998.205.846.127.479.365.820.592.393.377.723.561.443.721.764.030.073.546.976.801.874.298.166.903.427.690.031. 858.186.486.050.853.753.882.811.946.569.946.433.649.006.084.097 (155 Stellen) = 2.424.833 (7 Stellen) × 7.455.602.825.647.884.208.337.395.736.200.454.918.783.366.342.657 (49 Stellen) × 741.640.062.627.530.801.524.787.141.901.937.474.059.940.781.097.519.023.905.821.316.144.415.759.504.705.008.092.818.711.693.940.737 (99 Stellen)
10	Selfridge (1953), Brillhart (1962), Brent (1995)	179.769.313.486.231.590.772.930 … 304.835.356.329.624.224.137.217 (309 Stellen) = 45.592.577 (8 Stellen) × 6.487.031.809 (10 Stellen) × 4.659.775.785.220.018.543.264.560.743.076.778.192.897 (40 Stellen) × 130.439.874.405.488.189.727.484 … 806.217.820.753.127.014.424.577 (252 Stellen)
11	Cunningham (1899), Brent & Morain (1988)	32.317.006.071.311.007.300.714.8 … 193.555.853.611.059.596.230.657 (617 Stellen) = 319.489 (6 Stellen) × 974.849 (6 Stellen) × 167.988.556.341.760.475.137 (21 Stellen) × 3.560.841.906.445.833.920.513 (22 Stellen) × 173.462.447.179.147.555.430.258 … 491.382.441.723.306.598.834.177 (564 Stellen)

Vorlage:Klappleiste/Ende Ab F₁₂ ist keine Fermat-Zahl mehr vollständig faktorisiert. Die ersten acht lauten:

Vorlage:Klappleiste/Anfang

n	Entdecker der Faktoren	Primfaktorenzerlegung von F_n
12	Lucas & Perwuschin (1877), Western (1903), Hallyburton & Brillhart (1974), Baillie (1986), Vang, Zimmermann & Kruppa (2010)	1.044.388.881.413.152.506.691.752.710.716 … 340.403.154.190.337 (1234 Stellen) = 114.689 (6 Stellen) × 26.017.793 (8 Stellen) × 63.766.529 (8 Stellen) × 190.274.191.361 (12 Stellen) × 1.256.132.134.125.569 (16 Stellen) × 568.630.647.535.356.955.169.033.410.940.867.804.839.360.742.060.818.433 (54 Stellen) × zusammengesetzte Zahl (1133 Stellen)
13	Hallyburton & Brillhart (1974), Crandall (1991), Brent (1995)	1.090.748.135.619.415.929.462.984.244.733 … 665.475.715.792.897 (2467 Stellen) = 2.710.954.639.361 (13 Stellen) × 2.663.848.877.152.141.313 (19 Stellen) × 3.603.109.844.542.291.969 (19 Stellen) × 319.546.020.820.551.643.220.672.513 (27 Stellen) × zusammengesetzte Zahl (2391 Stellen)
14	Rajala & Woltman (2010)	1.189.731.495.357.231.765.085.759.326.628 … 290.669.964.066.817 (4933 Stellen) = 116.928.085.873.074.369.829.035.993.834.596.371.340.386.703.423.373.313 (54 Stellen) × zusammengesetzte Zahl (4880 Stellen)
15	Kraitchik (1925), Gostin (1987), Crandall & van Halewyn (1997)	1.415.461.031.044.954.789.001.553.027.744 … 104.633.712.377.857 (9865 Stellen) = 1.214.251.009 (10 Stellen) × 2.327.042.503.868.417 (16 Stellen) × 168.768.817.029.516.972.383.024.127.016.961 (33 Stellen) × zusammengesetzte Zahl (9808 Stellen)
16	Selfridge (1953), Crandall & Dilcher (1996)	2.003.529.930.406.846.464.979.072.351.560 … 895.905.719.156.737 (19729 Stellen) = 825.753.601 (9 Stellen) × 188.981.757.975.021.318.420.037.633 (27 Stellen) × zusammengesetzte Zahl (19694 Stellen)
17	Gostin (1978), Bessell & Woltman (2011)	4.014.132.182.036.063.039.166.060.606.038 … 318.570.934.173.697 (39457 Stellen) = 31.065.037.602.817 (14 Stellen) × 7.751.061.099.802.522.589.358.967.058.392.886.922.693.580.423.169 (49 Stellen) × zusammengesetzte Zahl (39395 Stellen)
18	Western (1903), Crandall, McIntosh & Tardif (1999)	16.113.257.174.857.604.736.195.721.184.520 … 349.934.298.300.417 (78914 Stellen) = 13.631.489 (8 Stellen) × 81.274.690.703.860.512.587.777 (23 Stellen) × zusammengesetzte Zahl (78884 Stellen)
19	Riesel (1962), Wrathall (1963), Bessell & Woltman (2009)	259.637.056.783.100.077.612.659.649.572.688 … 528.226.185.773.057 (157827 Stellen) = 70.525.124.609 (11 Stellen) × 646.730.219.521 (12 Stellen) × 37.590.055.514.133.754.286.524.446.080.499.713 (35 Stellen) × zusammengesetzte Zahl (157770 Stellen)

Vorlage:Klappleiste/Ende

Von F₁₂ bis F₃₂ und von einigen größeren Fermat-Zahlen ist bekannt, dass sie zusammengesetzt sind – hauptsächlich, weil ein oder mehrere Faktoren gefunden wurden. Von zwei Fermat-Zahlen (F₂₀ und F₂₄) kennt man zwar keinen Faktor, hat aber auf andere Art gezeigt, dass sie zusammengesetzt sind.<ref name="YoungBuell" /><ref name="Crandall" />

Für F₁₄ wurde am 3. Februar 2010 ein Faktor veröffentlicht,<ref name="MersenneForumF14" /> für F₂₂ am 25. März 2010.<ref name="MersenneForumF22" />

Die kleinste Fermat-Zahl, von der bislang nicht bekannt ist, ob sie prim oder zusammengesetzt ist, ist F₃₃. Diese Zahl hat 2.585.827.973 Stellen. Insgesamt weiß man von den ersten 50 Fermat-Zahlen nur von 10 nicht, ob sie zusammengesetzt sind oder nicht.<ref>When and how Fermat numbers F_m were proven composite (on the occasion of a remarkable discovery)</ref>

F_18.233.954 ist die größte Fermat-Zahl, von der ein Faktor bekannt ist, nämlich die Primzahl 7 · 2^18.233.956 + 1. Dieser Faktor wurde am 5. Oktober 2020 von Ryan Propper mit Computer-Programmen von Geoffrey Reynolds, Jean Penné und Jim Fougeron entdeckt und hat 5.488.969 Stellen. Die Fermat-Zahl F_18.233.954 selbst hat allerdings mehr als 10^5.488.966 Stellen.<ref name="Rekordfaktor">7· 2^18233956 + 1 auf den Primepages.</ref>

Vorlage:Klappleiste/Anfang Es gibt keine sinnvolle Methode, sich die Menge an Papier, die man benötigt sie aufzuschreiben – oder gar die Zahl selber – vorzustellen: Selbst mit den hypothetisch kleinsten Teilchen aufgeschrieben, ist das Universum spätestens mit F₆₁₅ vollgeschrieben und für jeden weiteren Schritt bis F_18233954 würde sich der Platz zum Aufschreiben jeweils verdoppeln. Nur hat man mit F₆₁₅ ja quasi damit noch nicht mal richtig angefangen! Ein wissenschaftlicher Taschenrechner würde eine etwa 27 Kilometer lange Zeile oder alternativ eine 27 Meter mal 10 Meter große Tafel allein für das Anschreiben der Anzahl der Stellen, also von 10^5488966, als Dezimalzahl benötigen. Vorlage:Klappleiste/Ende

Insgesamt weiß man von 330 Fermat-Zahlen, dass sie zusammengesetzt sind. 375 Primfaktoren sind bisher bekannt (Stand: 6. Dezember 2025).<ref name="Status" /><ref name="MathWorld" />

Der folgenden Tabelle kann man entnehmen, in welchem Intervall wie viele zusammengesetzte Fermat-Zahlen bekannt sind (Stand: 6. Dezember 2025):

Anteil der Fermat-Zahlen, die nachweislich keine Primzahlen sind
n	bekannt zusammen- gesetzt	Anteil	n	bekannt zusammen- gesetzt	Anteil
05 ≤ n ≤ 32	028	100,0 %	10001 ≤ n ≤ 50000	38	0,09500 %
033 ≤ n ≤ 100	032	047,1 %	050001 ≤ n ≤ 100000	11	0,02200 %
101 ≤ n ≤ 500	064	016,0 %	100001 ≤ n ≤ 500000	28	0,00700 %
0501 ≤ n ≤ 1000	022	004,4 %	0500001 ≤ n ≤ 1000000	07	0,00140 %
1001 ≤ n ≤ 5000	054	001,4 %	1000001 ≤ n ≤ 5000000	14	0,00035 %
05001 ≤ n ≤ 10000	028	000,6 %	05000001 ≤ n ≤ 20000000	04	0,00008 %
TOTAL	228	002,3 %	TOTAL	102	0,00051 %

Die kleinsten 25 Fermat-Primfaktoren sind die folgenden:

3, 5, 17, 257, 641, 65.537, 114.689, 274.177, 319.489, 974.849, 2.424.833, 6.700.417, 13.631.489, 26.017.793, 45.592.577, 63.766.529, 167.772.161, 825.753.601, 1.214.251.009, 6.487.031.809, 70.525.124.609, 190.274.191.361, 646.730.219.521, 2.710.954.639.361, 2.748.779.069.441, … (Folge A023394 in OEIS)

Um von einer Fermat-Zahl nachzuweisen, dass sie zusammengesetzt ist, benutzt man in der Regel den Pépin-Test und den Suyama-Test, die beide besonders auf diese Zahlen zugeschnitten und sehr schnell sind.

Die folgenden 16 Primfaktoren von Fermat-Zahlen wurden vor 1950 entdeckt.

Vorlage:Klappleiste/Anfang

Jahr	Entdecker	Fermat- Zahl	Dezimal- stellen von F_n	Faktor	Dezimal- stellen dieses Faktors	Faktor ausgeschrieben
1732	Leonhard Euler	0 \| span \| sup}} class="fussnoten-marke" data-annotationpair-m="{{#invoke:URLutil\|anchorencode\|1=(a)\|2=1}}">{{#invoke:TemplUtl\|nowiki1\|(a)}}</{{#ifeq: \| 0 \| span \| sup}}>{{#switch:0\|10\|11=\|#default={{#invoke:TemplatePar\|match	1=1=+	2=SUP=n	3=gruppe=*	template=Vorlage:FN	cat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Fußnoten }}{{#switch: ERROR	{{#switch: Vorlage:Str match \|[\|] = ERROR \|(Direkteingabe der Klammern)}}	{{#switch: Vorlage:Str match \|91\|93 = ERROR \|(HTML-Entität dezimal)}}	{{#switch: Vorlage:Str match \|5b\|5d = ERROR \|(HTML-Entität hexadezimal)}}	{{#switch: Vorlage:Str match \|lbrack\|rbrack = ERROR \|(benannte HTML-Entität)}} =Vorlage:FN, Fehler in Parameter 1: Keine eckigen Klammern verwenden, das führt sonst zu Verwechslungen mit dem offiziellen MediaWiki-Belegsystem. }}}}	10	5 · 2⁷ + 1	3	641
1732	Leonhard Euler	0 \| span \| sup}} class="fussnoten-marke" data-annotationpair-m="{{#invoke:URLutil\|anchorencode\|1=(a)\|2=1}}">{{#invoke:TemplUtl\|nowiki1\|(a)}}</{{#ifeq: \| 0 \| span \| sup}}>{{#switch:0\|10\|11=\|#default={{#invoke:TemplatePar\|match	1=1=+	2=SUP=n	3=gruppe=*	template=Vorlage:FN	cat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Fußnoten }}{{#switch: ERROR	{{#switch: Vorlage:Str match \|[\|] = ERROR \|(Direkteingabe der Klammern)}}	{{#switch: Vorlage:Str match \|91\|93 = ERROR \|(HTML-Entität dezimal)}}	{{#switch: Vorlage:Str match \|5b\|5d = ERROR \|(HTML-Entität hexadezimal)}}	{{#switch: Vorlage:Str match \|lbrack\|rbrack = ERROR \|(benannte HTML-Entität)}} =Vorlage:FN, Fehler in Parameter 1: Keine eckigen Klammern verwenden, das führt sonst zu Verwechslungen mit dem offiziellen MediaWiki-Belegsystem. }}}}	10	52347 · 2⁷ + 1	7	6.700.417
1855	Thomas Clausen	0 \| span \| sup}} class="fussnoten-marke" data-annotationpair-m="{{#invoke:URLutil\|anchorencode\|1=(a)\|2=1}}">{{#invoke:TemplUtl\|nowiki1\|(a)}}</{{#ifeq: \| 0 \| span \| sup}}>{{#switch:0\|10\|11=\|#default={{#invoke:TemplatePar\|match	1=1=+	2=SUP=n	3=gruppe=*	template=Vorlage:FN	cat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Fußnoten }}{{#switch: ERROR	{{#switch: Vorlage:Str match \|[\|] = ERROR \|(Direkteingabe der Klammern)}}	{{#switch: Vorlage:Str match \|91\|93 = ERROR \|(HTML-Entität dezimal)}}	{{#switch: Vorlage:Str match \|5b\|5d = ERROR \|(HTML-Entität hexadezimal)}}	{{#switch: Vorlage:Str match \|lbrack\|rbrack = ERROR \|(benannte HTML-Entität)}} =Vorlage:FN, Fehler in Parameter 1: Keine eckigen Klammern verwenden, das führt sonst zu Verwechslungen mit dem offiziellen MediaWiki-Belegsystem. }}}}	20	1071 · 2⁸ + 1	6	274.177
1855	Thomas Clausen	0 \| span \| sup}} class="fussnoten-marke" data-annotationpair-m="{{#invoke:URLutil\|anchorencode\|1=(a)\|2=1}}">{{#invoke:TemplUtl\|nowiki1\|(a)}}</{{#ifeq: \| 0 \| span \| sup}}>{{#switch:0\|10\|11=\|#default={{#invoke:TemplatePar\|match	1=1=+	2=SUP=n	3=gruppe=*	template=Vorlage:FN	cat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Fußnoten }}{{#switch: ERROR	{{#switch: Vorlage:Str match \|[\|] = ERROR \|(Direkteingabe der Klammern)}}	{{#switch: Vorlage:Str match \|91\|93 = ERROR \|(HTML-Entität dezimal)}}	{{#switch: Vorlage:Str match \|5b\|5d = ERROR \|(HTML-Entität hexadezimal)}}	{{#switch: Vorlage:Str match \|lbrack\|rbrack = ERROR \|(benannte HTML-Entität)}} =Vorlage:FN, Fehler in Parameter 1: Keine eckigen Klammern verwenden, das führt sonst zu Verwechslungen mit dem offiziellen MediaWiki-Belegsystem. }}}}	20	262814145745 · 2⁸ + 1	14	67.280.421.310.721
1877	Iwan Perwuschin	F₁₂	1.234	7 · 2¹⁴ + 1	6	114.689
1878	Iwan Perwuschin	F₂₃	2.525.223	5 · 2²⁵ + 1	9	167.772.161
1886	Paul Peter Heinrich Seelhoff	F₃₆	20.686.623.784	5 · 2³⁹ + 1	13	2.748.779.069.441
1899	Allan Joseph Champneys Cunningham	F₁₁	617	39 · 2¹³ + 1	6	319.489
1899	Allan Joseph Champneys Cunningham	F₁₁	617	119 · 2¹³ + 1	6	974.849
1903	Alfred Edward Western	F₉	155	37 · 2¹⁶ + 1	7	2.424.833
1903	Alfred Edward Western	F₁₂	1.234	397 · 2¹⁶ + 1	8	26.017.793
1903	Alfred Edward Western	F₁₂	1.234	973 · 2¹⁶ + 1	8	63.766.529
1903	Alfred Edward Western	F₁₈	78.914	13 · 2²⁰ + 1	8	13.631.489
1903	James Cullen	F₃₈	82.746.495.136	3 · 2⁴¹ + 1	13	6.597.069.766.657
1906	James Caddall Morehead	F₇₃	2.843.147.923.723.958.896.933	5 · 2⁷⁵ + 1	24	188.894.659.314.785.808.547.841
1925	Maurice Borissowitsch Kraitchik	F₁₅	9.865	579 · 2²¹ + 1	10	1.214.251.009

<templatestyles src="FN/styles.css" />{{#if: ||

}}<{{#if: |span|div}} class="fussnoten-inhalt references {{#if: ||{{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|fussnoten-floatfix}} }}">^{{{#invoke:TemplUtl|nowiki1|(a)}}}{{#if: | | }}{{#ifeq: Diese Zahlen waren damit vollständig faktorisiert.|-||<{{#if: |span|div}} class="reference-text">Diese Zahlen waren damit vollständig faktorisiert.</{{#if: |span|div}}>}}</{{#if: |span|div></div}}>{{#switch:0|10|11=|#default={{#invoke:TemplatePar|match

|1=1=+ |2=2=+ |3=3=* |4=gruppe=/^[^=%[%]%!]*$/ |5=floatfix=boolean |template=Vorlage:FNZ |cat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Fußnoten }}{{#switch: ERROR

 |{{#switch: Vorlage:Str match |[|] = ERROR |(Direkteingabe der Klammern)}}
 |{{#switch: Vorlage:Str match |91|93 = ERROR |(HTML-Entität dezimal)}}
 |{{#switch: Vorlage:Str match |5b|5d = ERROR |(HTML-Entität hexadezimal)}}
 |{{#switch: Vorlage:Str match |lbrack|rbrack = ERROR |(benannte HTML-Entität)}}

=Vorlage:FNZ, Fehler in Parameter 1: Keine eckigen Klammern verwenden, das führt sonst zu Verwechslungen mit dem offiziellen MediaWiki-Belegsystem. }}}}

Vorlage:Klappleiste/Ende

Seit 1950 wurden alle weiteren Faktoren durch Einsatz von Computern gefunden.<ref name="Entdeckungsdaten" />

Vorlage:Klappleiste/Anfang

Jahr	Teiler
1951	0–
1952	0–
1953	02
1954	0–
1955	0–
1956	14
1957	06
1958	0–
1959	0–
1960	0–
TOTAL	22

Jahr	Teiler
1961	0–
1962	02
1963	11
1964	0–
1965	0–
1966	0–
1967	0–
1968	0–
1969	0–
1970	02
TOTAL	15

Jahr	Teiler
1971	0–
1972	0–
1973	0–
1974	02
1975	0–
1976	02
1977	04
1978	02
1979	13
1980	09
TOTAL	32

Jahr	Teiler
1981	03
1982	02
1983	02
1984	07
1985	02
1986	12
1987	05
1988	04
1989	0–
1990	08
TOTAL	45

Jahr	Teiler
1991	12
1992	10
1993	10
1994	01
1995	08
1996	07
1997	04
1998	08
1999	09
2000	13
TOTAL	82

Jahr	Teiler
2001	22
2002	08
2003	08
2004	02
2005	07
2006	01
2007	04
2008	06
2009	06
2010	07
TOTAL	71

Jahr	Teiler
2011	09
2012	16
2013	07
2014	07
2015	06
2016	07
2017	05
2018	07
2019	03
2020	05
TOTAL	72

Jahr	Teiler
2021	05
2022	0–
2023	08
2024	03
2025	04
2026
2027
2028
2029
2030
TOTAL	20

Es wurden somit bisher 359 Primfaktoren von Fermat-Zahlen mit Computern gefunden (Stand: 6. Dezember 2025). Vorlage:Klappleiste/Ende

Eigenschaften

Für <math>n > 1</math> hat jeder Teiler von <math>F_n</math> die Form <math>k \cdot 2^{n+2}+1</math> (bewiesen von Euler und Lucas, siehe auch Artikel Quadratisches Reziprozitätsgesetz, Unterabschnitt Teiler von Fermat- und Mersenne-Zahlen).

Beispiele:

Der Teiler 641 von F₅: 641 = 5 · 2⁷ + 1 = 5 · 128 + 1

Der Teiler 6700417 von F₅: 6700417 = 52347 · 2⁷ + 1 = 52347 · 128 + 1

Fermat-Zahlen lassen sich auf folgende Arten rekursiv berechnen:

<math>F_n = (F_{n-1}-1)^2 + 1</math> für <math>n \geq 1</math>
<math>F_n = F_{n-1}+2^{2^{n-1}} \cdot F_0 \cdot F_1 \cdot \ldots \cdot F_{n-2}</math> für <math>n \geq 2</math>
<math>F_n = F_{n-1}^2 - 2 \cdot (F_{n-2}-1)^2</math> für <math>n \geq 2</math>
<math>F_n = F_0 \cdot F_1 \cdot \ldots \cdot F_{n-1} + 2</math> für <math>n \geq 1</math>

Vorlage:Klappleiste/Anfang Zwei der vier Beweise funktionieren mittels vollständiger Induktion. Man zeigt, dass die Behauptungen für den Anfang gelten (Induktionsanfang), nimmt an, dass die Behauptung für <math>n</math> gilt (Induktionsvoraussetzung) und beweist, dass die Behauptung dadurch auch für <math>n+1</math> gelten muss (Induktionsschluss).

Beweis der ersten Behauptung: <math>F_n=(F_{n-1}-1)^2+1</math> für <math>n \geq 1</math>

Der Beweis funktioniert direkt.

<math>F_n=2^{2^n}+1=2^{2 \cdot 2^{n-1}}+1=(2^{2^{n-1}})^2+1=({\color{red}2^{2^{n-1}}+1}-1)^2+1=({\color{red}F_{n-1}}-1)^2+1</math>, was zu zeigen war. <math>\Box</math>

Beweis der zweiten Behauptung: <math>F_n=F_{n-1}+2^{2^{n-1}} \cdot F_0 \cdot F_1 \cdot \ldots \cdot F_{n-2} </math> für <math>n \geq 2</math>

Der Beweis funktioniert mittels vollständiger Induktion.

Induktionsanfang:

Induktionsvoraussetzung: <math>F_n=F_{n-1}+2^{2^{n-1}} \cdot F_0 \cdot F_1 \cdot \ldots \cdot F_{n-2}</math> bzw. umgeformt <math>F_0 \cdot F_1 \cdot \ldots \cdot F_{n-2}=\frac{F_n-F_{n-1}}{2^{2^{n-1}}}</math>

Induktionsschluss: zu zeigen: <math>F_{n+1}=F_n+2^{2^n} \cdot F_0 \cdot F_1 \cdot \ldots \cdot F_{n-1}</math>

<math>

\begin{array}{rcll} F_{n+1} & = & (F_n-1)^2+1 & \text{(erste obige Behauptung)} \\ & = & {\color{red}F_n}^2-2{\color{magenta}F_n}+1+1 \\ & = & ({\color{red}F_{n-1}+2^{2^{n-1}}F_0F_1 \ldots F_{n-2}})^2-2 \cdot ({\color{magenta}F_{n-1}+2^{2^{n-1}}F_0F_1 \ldots F_{n-2}})+2 & \text{(Induktionsvoraussetzung)} \\ & = & F_{n-1}^2+2 \cdot 2^{2^{n-1}} F_0F_1 \ldots F_{n-2}F_{n-1}+(2^{2^{n-1}})^2F_0^2F_1^2 \ldots F_{n-2}^2-2F_{n-1}-2 \cdot 2^{2^{n-1}} F_0F_1 \ldots F_{n-2}+2 \\ & = & (F_{n-1}^2-2F_{n-1}+1)+1+2^{2^{n-1}}F_0F_1 \ldots F_{n-2} \cdot (2F_{n-1}+2^{2^{n-1}}F_0F_1 \ldots F_{n-2}-2) \\ & = & {\color{magenta}(F_{n-1}-1)^2+1}+2^{2^n}F_0F_1 \ldots F_{n-2} \cdot (\frac{2}{2^{2^{n-1}}}F_{n-1}+{\color{red}F_0F_1 \ldots F_{n-2}}-\frac{2}{2^{2^{n-1}}}) \\ & = & {\color{magenta}F_n}+2^{2^n}F_0F_1 \ldots F_{n-2} \cdot (\frac{2}{2^{2^{n-1}}}F_{n-1}+{\color{red}\frac{F_n-F_{n-1}}{2^{2^{n-1}}}}-\frac{2}{2^{2^{n-1}}}) & \text{(umgeformte Induktionsvoraussetzung)} \\ & = & F_n+2^{2^n}F_0F_1 \ldots F_{n-2} \cdot \frac{2F_{n-1}+F_n-F_{n-1}-2}{2^{2^{n-1}}} \\ & = & F_n+2^{2^n}F_0F_1 \ldots F_{n-2} \cdot \frac{{\color{red}F_{n-1}}+{\color{magenta}F_n}-2}{2^{2^{n-1}}} \\ & = & F_n+2^{2^n}F_0F_1 \ldots F_{n-2} \cdot \frac{{\color{red}2^{2^{n-1}}+1}+{\color{magenta}2^{2^n}+1}-2}{2^{2^{n-1}}} & \text{(Definition von Fermat-Zahlen)} \\ & = & F_n+2^{2^n}F_0F_1 \ldots F_{n-2} \cdot \frac{2^{2^{n-1}}+2^{2^n}}{2^{2^{n-1}}} \\ & = & F_n+2^{2^n}F_0F_1 \ldots F_{n-2} \cdot \frac{2^{2^{n-1}} \cdot (1+2^{2^{n-1}})}{2^{2^{n-1}}} \\ & = & F_n+2^{2^n}F_0F_1 \ldots F_{n-2} \cdot ({\color{red}2^{2^{n-1}}+1}) \\ & = & F_n+2^{2^n}F_0F_1 \ldots F_{n-2} \cdot {\color{red}F_{n-1}} & \text{(Definition von Fermat-Zahlen)} \end{array} </math>

Was zu zeigen war. <math>\Box</math>

Beweis der dritten Behauptung: <math>F_n=F_{n-1}^2-2 \cdot (F_{n-2}-1)^2</math> für <math>n \geq 2</math>

Der Beweis funktioniert direkt.

<math>

\begin{array}{rcll} F_n=2^{2^n}+1 & = & 2^{2 \cdot 2^{n-1}}+2 \cdot 2^{2^{n-1}}+1-2 \cdot 2^{2^{n-1}} \\

& = & (2^{2^{n-1}})^2+2 \cdot 2^{2^{n-1}}+1-2 \cdot 2^{2 \cdot 2^{n-2}} \\
& = & ({\color{red}2^{2^{n-1}}+1})^2-2 \cdot (2^{2^{n-2}})^2 \\
& = & {\color{red}F_{n-1}}^2-2 \cdot (2^{2^{n-2}}+1-1)^2 \\
& = & F_{n-1}^2-2 \cdot (F_{n-2}-1)^2

\end{array} </math>

Was zu zeigen war. <math>\Box</math>

Beweis der vierten Behauptung: <math>F_n= F_0 \cdot F_1 \cdot \ldots \cdot F_{n-1}+2</math> für <math>n \geq 1</math>

Der Beweis funktioniert mittels vollständiger Induktion.

Induktionsanfang:

Induktionsvoraussetzung: <math>F_n= F_0 \cdot F_1 \cdot \ldots \cdot F_{n-1}+2</math>

Induktionsschluss: zu zeigen: <math>F_{n+1}= F_0 \cdot F_1 \cdot \ldots \cdot F_n+2</math>

<math>

\begin{array}{rcll} F_{n+1} & = & (F_n-1)^2+1 & \text{(erste obige Behauptung)} \\

& = & {\color{red}F_n}^2-2{\color{magenta}F_n}+1+1 \\
& = & ({\color{red}F_0F_1 \ldots F_{n-1}+2})^2-2({\color{magenta}F_0F_1 \ldots F_{n-1}+2})+2 & \text{(Induktionsvoraussetzung)} \\
& = & F_0^2F_1^2 \ldots F_{n-1}^2+4 F_0F_1 \ldots F_{n-1}+4-2 F_0F_1 \ldots F_{n-1}-4+2 \\
& = & F_0^2F_1^2 \ldots F_{n-1}^2+2 F_0F_1 \ldots F_{n-1}+2 \\
& = & F_0F_1 \ldots F_{n-1} \cdot ({\color{red}F_0F_1 \ldots F_{n-1}+2})+2 \\
& = & F_0F_1 \ldots F_{n-1} \cdot {\color{red}F_n}+2 & \text{(Induktionsvoraussetzung)}

\end{array} </math>

Was zu zeigen war. <math>\Box</math>

Vorlage:Klappleiste/Ende

{{#invoke:Vorlage:Anker|f |errCat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Anker |errHide=1}} Es gelten folgende Darstellungen von <math>F_n</math>:

Jede Fermat-Zahl <math>F_n</math> mit <math>n \geq 1</math> ist von der Form <math>6m-1</math>, wobei <math>m \in \mathbb N</math> positiv ganzzahlig ist. (mit anderen Worten: <math>F_n \equiv -1 \pmod 6</math>)<ref name="pseudoprim2" />
Jede Fermat-Zahl <math>F_n</math> mit <math>n \geq 1</math> ist von der Form <math>4m+1</math>, wobei <math>m \in \mathbb N</math> positiv ganzzahlig ist. (mit anderen Worten: <math>F_n \equiv 1 \pmod 4</math>)
Jede Fermat-Zahl <math>F_n</math> mit <math>n \geq 1</math> ist von der Form <math>3m+2</math>, wobei <math>m \in \mathbb N</math> positiv ganzzahlig ist. (mit anderen Worten: <math>F_n \equiv 2 \pmod 3</math>)
Jede Fermat-Zahl <math>F_n</math> mit <math>n \geq 2</math> ist von der Form <math>10m+7</math>, wobei <math>m \in \mathbb N</math> positiv ganzzahlig ist. (mit anderen Worten: <math>F_n \equiv 7 \pmod {10}</math>)

Anders formuliert: Mit Ausnahme von <math>F_0=3</math> und <math>F_1=5</math> endet jede Fermat-Zahl im Dezimalsystem mit der Ziffer 7. Die letzten beiden Ziffern sind 17, 37, 57 oder 97.<ref name="vorRemark3.7" />

Vorlage:Klappleiste/Anfang Beweis der ersten Behauptung: <math>F_n \equiv -1 \pmod 6</math>

Der Beweis funktioniert direkt. Man startet mit einer bekannten richtigen Aussage und beweist das Gewünschte.

Eine weiter oben angegebene Eigenschaft besagt, dass <math>F_n=F_0 \cdot F_1 \cdot \ldots \cdot F_{n-1} +2</math> gilt für <math>n \geq 1</math>. Somit gilt aber, weil <math>F_0 = 3</math> ist:

<math>F_n+1=F_0 \cdot F_1 \cdot \ldots \cdot F_{n-1} +3=3 \cdot F_1 \cdot \ldots \cdot F_{n-1} +3=3 \cdot (F_1 \cdot \ldots \cdot F_{n-1}+1)</math>.

Der Ausdruck <math>F_1 \cdot \ldots \cdot F_{n-1}</math> ist als Produkt von ungeraden Fermat-Zahlen selber ungerade. Addiert man 1 dazu, erhält man eine gerade Zahl. Also ist <math>F_n+1</math> ein Produkt aus 3 und einer geraden Zahl und somit durch 6 teilbar. Es gibt also ein <math>m \in \mathbb N</math> mit <math>F_n+1 = 6m</math>. Daher ist <math>F_n</math> von der Form <math>6m-1</math>, was zu zeigen war. <math>\Box</math>

Beweis der zweiten Behauptung: <math>F_n \equiv 1 \pmod 4</math>

<math>F_n=2^{2^n}+1=(2^2)^{\frac{2^n}{2}}+1=4^{2^{n-1}}+1 \equiv 1 \pmod 4</math>, was zu zeigen war. <math>\Box</math>

Beweis der dritten Behauptung: <math>F_n \equiv 2 \pmod 3</math>

Der dritte Beweis funktioniert mit vollständiger Induktion:

Induktionsanfang:

<math>F_1=2^{2^1}+1=5=3 \cdot 1+2 \equiv 2 \pmod 3</math>

<math>F_2=2^{2^2}+1=17=3 \cdot 5+2 \equiv 2 \pmod 3</math>

Induktionsvoraussetzung: <math>F_n=3 \cdot k+2</math>

Induktionsschluss: zu zeigen: <math>F_{n+1}=3 \cdot m+2</math> für ein <math>m \in \mathbb N</math>

<math>

\begin{array}{rcll} F_{n+1} & = & (F_n-1)^2+1 & \text{(erste Behauptung weiter oben)} \\ & = & {\color{red}F_n}^2-2{\color{magenta}F_n}+1+1 \\ & = & ({\color{red}3k+2})^2-2 \cdot ({\color{magenta}3k+2})+2 & \text{(Induktionsvoraussetzung)} \\ & = & 9k^2+12k+4-6k-4+2 \\ & = & 9k^2+6k+2 \\ & = & 3 \cdot (3k^2+2k)+2 \\ & = & 3m+2 & \text{(mit } m:=3k^2+2k \text{)} \end{array} </math>

Was zu zeigen war. <math>\Box</math>

Beweis der vierten Behauptung: <math>F_n \equiv 7 \pmod {10}</math>

Der vierte Beweis funktioniert direkt:

Weiter oben wurde gezeigt, dass <math>F_n = F_0 \cdot F_1 \cdot \ldots \cdot F_{n-1} + 2</math> für <math>n \geq 1</math> gilt. Daraus kann man folgern, dass <math>F_n \equiv 2 \pmod {F_k}</math> für <math>k=0, 1, \ldots, n-1</math> gilt. Im Speziellen gilt also für <math>k=1</math> (also für <math>F_1=5</math>) die Kongruenz <math>F_n \equiv 2 \pmod 5</math> und somit entweder <math>F_n \equiv 2 \pmod {10}</math> oder <math>F_n \equiv 7 \pmod {10}</math>. Weil aber Fermat-Zahlen immer ungerade sind, kann nur die Kongruenz <math>F_n \equiv 7 \pmod {10}</math> zutreffen, was zu zeigen war.

Die Aussage, dass die letzten beiden Ziffern 17, 37, 57 oder 97 sind, kann man der Literatur<ref name="vorRemark3.7" /> entnehmen. <math>\Box</math>

Vorlage:Klappleiste/Ende

Sei <math>F_n=2^{2^n}+1</math> die <math>n</math>-te Fermat-Zahl. Dann gilt:

<math>F_n</math> hat unendlich viele Darstellungen der Form <math>F_n=x^2-2y^2</math> mit <math>x, y \in \mathbb N</math> positiv ganzzahlig, für alle <math>n \geq 2</math><ref name="Proposition3.4" />
<math>F_n</math> hat mindestens eine Darstellung der Form <math>F_n=x^2-y^2</math> mit <math>x, y \in \mathbb N</math> positiv ganzzahlig. Ist <math>F_n</math> zusammengesetzt, gibt es mehrere Möglichkeiten dieser Darstellung.<ref name="Remark3.13" />
<math>F_n</math> kann niemals als Summe von zwei Primzahlen dargestellt werden, für alle <math>n \geq 2:</math><ref name="Primzahlsumme" />

<math>F_n \not= p_1 + p_2</math> für alle <math>p_1, p_2 \in \mathbb P, n \geq 2</math>

<math>F_n</math> kann niemals als Differenz von zwei p-ten Potenzen geschrieben werden, wenn <math>F_n</math> und p ungerade Primzahlen sind:<ref name="pseudoprim3" />

<math>F_n \not= a^p - b^p</math> für alle <math>p \in \mathbb P, \, p \not= 2</math>

Vorlage:Klappleiste/Anfang Beweis der ersten Behauptung: <math>F_n=x^2-2y^2</math>

Der Beweis funktioniert direkt.

Die Existenz einer solchen Darstellung konnte schon weiter oben mit <math>x:=F_{n-1}</math> und <math>y:=F_{n-2}-1</math> gezeigt werden: <math>F_n=x^2-2y^2=F_{n-1}^2-2 \cdot (F_{n-2}-1)^2</math>

Um unendlich viele solche Darstellungen zu erhalten, betrachte man folgende Identität:

<math>

\begin{array}{rcl} (3x+4y)^2-2 \cdot (2x+3y)^2 & = & 9x^2+24xy+16y^2 - 2 \cdot (4x^2+12xy+9y^2) \\ & = & 9x^2+24xy+16y^2 - 8x^2-24xy-18y^2 \\ & = & x^2-2y^2 \end{array} </math>

Weil <math>x, y \in \mathbb N</math> ist, gilt <math>3x+4y>x</math> und <math>2x+3y>y</math>. Somit kann man aus dem Darstellungspaar <math>(x,y)</math> für <math>F_n</math> ein (größeres) Darstellungspaar <math>(3x+4y,2x+3y)</math> für <math>F_n</math> konstruieren. Aus diesem kann man mit obiger Identität das nächste (größere) Darstellungspaar für <math>F_n</math> konstruieren und so fort. Man erhält also unendlich viele Darstellungspaare für <math>F_n</math> und somit auch unendlich viele Darstellungen von <math>F_n</math> der Form <math>F_n= x^2-2y^2</math>, was zu zeigen war. <math>\Box</math>

Beweis der zweiten Behauptung: <math>F_n=x^2-y^2</math>

Der Beweis funktioniert direkt.

Es gilt:

<math>F_n = 2^{2^n}+1 = 2^{2^n}+2^{2^n} +1 - 2^{2^n} = 2^{2^n}+2 \cdot 2^{2^n-1} +1 - 2^{2^n} = \left( 2^{2^n-1}+1 \right)^2 - \left( 2^{2^n-1} \right)^2 </math>

Somit hat man zwei Zahlen <math>x := 2^{2^n-1}+1</math> und <math>y := 2^{2^n-1}</math> gefunden, sodass <math>F_n=x^2-y^2</math>, also die Differenz von zwei Quadratzahlen, ist, was zu zeigen war.

Die Aussage, dass es mehrere solche Darstellungsmöglichkeiten als Differenz von zwei Quadratzahlen gibt, wenn <math>F_n</math> zusammengesetzt ist, kann man der Literatur<ref name="Remark3.13" /> entnehmen. <math>\Box</math>

Beweis der dritten Behauptung: <math>F_n \not= p_1 + p_2</math>

Der Beweis funktioniert indirekt. Man startet mit einer Behauptung und zeigt, dass sie falsch ist, womit die Behauptung fallengelassen werden muss und das Gegenteil gilt.

Alle Fermat-Zahlen <math>F_n=2^{2^n}+1</math> sind als Summe einer geraden und einer ungeraden Zahl 1 immer ungerade Zahlen. Primzahlen sind, bis auf die erste Primzahl <math>p=2</math>, immer ungerade. Wenn also die ungerade Zahl <math>F_n</math> Summe von zwei Primzahlen sein soll, so dürfen nicht beide Primzahlen ungerade sein, weil die Summe zweier ungerader Zahlen eine gerade Zahl ergibt. Eine davon muss gerade sein. Weil es nur eine gerade Primzahl gibt, muss also 2 eine der beiden Summanden sein. Der andere prime Summand ist somit <math>F_n-2</math> und es gilt trivialerweise <math>F_n=2+(F_n-2)</math>. Es gilt aber:

Somit ist aber <math>F_n-2</math> für <math>n \geq 2</math> zusammengesetzt und keine Primzahl, weil sogar der kleinere der beiden Faktoren <math>2^{2^{n-1}}-1 \geq 2^{2^{2-1}}-1=2^2-1=3</math> ist und somit eine nichttriviale Faktorisierung von <math>F_n-2</math> existiert. Wir erhalten einen Widerspruch. Die Annahme, dass man eine Fermat-Zahl als Summe zweier Primzahlen darstellen kann, muss fallengelassen werden, was zu zeigen war. <math>\Box</math>

Beweis der vierten Behauptung: <math>F_n \not= a^p - b^p</math>

Der Beweis funktioniert indirekt. Man startet mit einer Behauptung und zeigt, dass sie falsch ist, womit die Behauptung fallengelassen werden muss und das Gegenteil gilt.

Angenommen, <math>p \in \mathbb P</math> ist eine ungerade Primzahl und <math>F_n</math> kann dargestellt werden als Differenz von zwei p-ten Potenzen. Es sei also <math>F_n=a^p-b^p</math>. Dann gilt:

<math>F_n=a^p-b^p=(a-b) \cdot (a^{p-1}+a^{p-2}b+ \ldots +ab^{p-2}+b^{p-1})</math> mit <math>a>b</math>

Weil <math>F_n</math> prim ist und somit nicht zwei Teiler haben darf, muss <math>a-b=1</math> sein. Wegen des kleinen fermatschen Satzes ist <math>a^p \equiv a \pmod{p}</math> und <math>b^p \equiv b \pmod{p}</math> und somit gilt:

<math>F_n=a^p-b^p \equiv a-b \equiv 1 \pmod{p}</math>

Somit muss <math>p</math> ein Teiler von <math>F_n-1=2^{2^n}+1-1=2^{2^n}</math> sein, was aber nicht sein kann, weil <math>2^{2^n}</math> nur Zweierpotenzen als Teiler hat.

Die Annahme muss also fallengelassen werden, <math>F_n</math> kann daher nicht dargestellt werden als Differenz von zwei p-ten Potenzen.

Was zu zeigen war. <math>\Box</math>

Vorlage:Klappleiste/Ende

Sei <math>F_n=2^{2^n}+1</math> die <math>n</math>-te Fermat-Zahl und sei <math>D(n)</math> die Anzahl der Stellen von <math>F_n</math>. Dann gilt:<ref name="Remark3.7" />

<math>D(n) = \lfloor \log_{10} \left( 2^{2^n}+1 \right) +1 \rfloor \approx \lfloor \log_{10} 2^{2^n}+1 \rfloor = \lfloor 2^n \cdot \log_{10} 2+1 \rfloor</math>

wobei mit <math>\lfloor x \rfloor</math> die Floor-Funktion gemeint ist (also die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich <math>x</math> ist)

Sei <math>F_n=2^{2^n}+1</math> die <math>n</math>-te Fermat-Zahl mit <math>n \geq 1</math>. Dann gilt:

<math>F_n</math> ist eine Primzahl genau dann, wenn gilt: <math>3^{\frac{F_n-1}{2}} \equiv -1 \pmod {F_n}</math>

Mit anderen Worten: Für <math>n \geq 1</math> gilt:

<math>F_n \in \mathbb P \Longleftrightarrow 3^{\frac{F_n-1}{2}} \equiv -1 \pmod {F_n}</math>

Dieser Satz nennt sich Pépin-Test.

Vorlage:Klappleiste/Anfang Der Beweis funktioniert direkt. Man startet mit dem linken Teil der Aussage und zeigt, dass daraus die rechte folgert. Danach startet man mit dem rechten Teil der Aussage und zeigt, dass daraus die linke Seite folgert.

Beweis:

„<math>\Rightarrow</math>“: Sei <math>F_n \in \mathbb P</math> eine Primzahl mit <math>n\geq 1</math>. Man muss zeigen, dass <math>3^{\frac{F_n-1}{2}} \equiv -1 \mod F_n</math> ist.

Es gilt nach dem Eulerschein Kriterium für das Legendre-Symbol die folgende Kongruenz:

<math>3^{\frac{F_n-1}{2}} \equiv \left(\frac{3}{F_n}\right) \mod F_n</math>

Weil <math>F_n \equiv 1 \pmod 4</math> und <math>F_n \equiv 2 \pmod 3</math> gilt (wurde weiter oben bewiesen), erhält man wegen des Quadratischen Reziprozitätsgesetzes für das Legendre-Symbol:

<math>\left(\frac{3}{F_n}\right) = \left(\frac{F_n}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right) = (-1)^{\frac{3^2-1}{8}} = -1</math>

Somit erhält man:

<math>3^{\frac{F_n-1}{2}} \equiv \left(\frac{3}{F_n}\right) =-1 \mod F_n</math>

Damit ist eine Richtung des obigen Satzes gezeigt worden.

„<math>\Leftarrow</math>“: Sei nun <math>3^{\frac{F_n-1}{2}} \equiv -1 \mod F_n</math>. Man muss zeigen, dass <math>F_n \in \mathbb P</math> eine Primzahl ist.

Quadriert man diese Kongruenz, erhält man:

<math>(3^{\frac{F_n-1}{2}})^2=3^{F_n-1} \equiv (-1)^2=1 \mod F_n</math>

Nach dem verbesserten Lucas-Test folgt, dass <math>F_n</math> prim ist (weil <math>F_n-1=2^{2^n}+1-1=2^{2^n}</math> nur einen einzigen Primteiler, nämlich <math>p=2</math> hat und für diesen Primfaktor <math>p=2</math> auch laut Voraussetzung <math>3^{\frac{F_n-1}{p}} = 3^{\frac{F_n-1}{2}} \equiv -1 \not\equiv 1 \pmod {F_n}</math> gilt).

Damit sind beide Richtungen obiger Aussage bewiesen, sie hat sich somit als richtig herausgestellt. <math>\Box</math>

Vorlage:Klappleiste/Ende

Für <math>n \geq 2</math> gilt:<ref name="Theorem3.9" />

<math>F_n^{\frac{F_{n+1}-1}{2}} \equiv 1 \pmod{F_{n+1}}</math>

Sei <math>n \geq 2</math>, <math>k \geq 1</math> und <math>F_{n+k}</math> prim. Dann gilt:<ref name="Theorem3.9" />

<math>F_n^{\frac{F_{n+k}-1}{2}} \equiv 1 \pmod{F_{n+k}}</math>

Vorlage:Klappleiste/Anfang Der Beweis funktioniert direkt. Man startet mit einer bekannten richtigen Aussage und beweist mittels Umformungen und Modulo-Rechnungen das Gewünschte.

Beweis der ersten Behauptung:

<math>F_n^2=(2^{2^n}+1)^2={\color{red}2^{2^{n+1}}+1}+2 \cdot 2^{2^n} = {\color{red}F_{n+1}}+2 \cdot 2^{2^n} \equiv 2 \cdot 2^{2^n} \pmod {F_{n+1}}</math>

Somit gilt:

<math>F_n^{2^2} \equiv (2 \cdot 2^{2^n})^2 = 4 \cdot 2^{2^{n+1}} = 4 \cdot (F_{n+1}-1) = 4 \cdot F_{n+1}-4 \equiv -4 \equiv -2^2 \pmod {F_{n+1}}</math>

Für <math>k \geq 3</math> erhält man:

<math>F_n^{2^k}=(F_n^{2^2})^{2^{k-2}} \equiv (-2^2)^{2^{k-2}} \equiv 2^{2^{k-1}} \pmod{F_{n+1}}</math>

Setzt man nun <math>k=2^{n+1}-1</math> in obiges Ergebnis ein, dann erhält man:

<math> F_n^{2^{2^{n+1}-1}} = F_n^{\frac{2^{2^{n+1}}}{2}} = F_n^{\frac{{\color{red}2^{2^{n+1}}+1}-1}{2}} = F_n^{\frac{{\color{red}F_{n+1}}-1}{2}} \equiv 2^{2^{2^{n+1}-2}} \pmod{F_{n+1}}</math>

Die Zahl <math>2^{2^{n+1}-2}</math> ist als Potenz von 2 durch jede kleinere Potenz von 2 teilbar, somit für <math>n \geq 2</math> auch durch <math>2^{n+1}</math>. Es existiert also eine positive ganze Zahl <math>N \in \mathbb N</math> mit <math>2^{2^{n+1}-2}=2^{n+1} \cdot 2N</math>. Wenn man dies in obiges Ergebnis einsetzt, erhält man:

<math> F_n^{\frac{F_{n+1}-1}{2}} \equiv 2^{2^{2^{n+1}-2}}=(2^{2^{n+1}})^{2N}=({\color{red}2^{2^{n+1}}+1}-1)^{2N}=({\color{red}F_{n+1}}-1) ^{2N}\equiv (-1)^{2N} \equiv 1 \pmod{F_{n+1}}</math>

Womit die erste Behauptung bewiesen ist. <math>\Box</math>

Vorlage:Klappleiste/Ende

Sei <math>F_n</math> eine Primzahl und <math>a \in \mathbb Z</math> eine ganze Zahl. Dann gilt für jede prime Fermat-Zahl <math>F_k</math> mit <math>F_k \leq F_n</math>:<ref name="Theorem3.11" />

<math>F_k</math> teilt <math>a^{F_n}-a</math>

Vorlage:Klappleiste/Anfang Der Beweis funktioniert direkt. Man startet mit einer bekannten richtigen Aussage und beweist das Gewünschte.

Beweis:

Sei <math>F_k</math> eine prime Fermat-Zahl mit <math>0 \leq k \leq n</math>.

Sei weiters <math>F_k</math> ein Teiler von <math>a</math>. Dann ist <math>F_k</math> auch ein Teiler von <math>a^{F_n}</math> und somit auch Teiler der Differenz. Also gilt:

<math>F_k</math> teilt <math>a^{F_n}-a=a \cdot (a^{F_n-1}-1)</math>

Sei nun <math>F_k</math> kein Teiler von <math>a</math>. Dann gilt wegen des kleinen fermatschen Satzes: <math>a^{F_k-1} \equiv 1 \pmod{F_k}</math> und somit:

<math>F_k</math> teilt <math>a^{F_k-1}-1</math>

Weil aber jede kleine Zweierpotenz jede größere Zweierpotenz teilt, gilt auch:

<math>F_k-1=2^{2^k}+1-1=2^{2^k}</math> teilt <math>2^{2^n}=2^{2^n}+1-1=F_n-1</math>

Weiters gilt bei mehrfacher Anwendung der dritten binomischen Formel:

<math>a^{F_k-1}-1=a^{2^{2^k}+1-1}-1=a^{2^{2^k}}-1^2</math> teilt <math>a^{2^{2^n}}-1^2= a^{2^{2^n}+1-1}-1= a^{F_n-1}-1</math>

Obige Ergebnisse zusammengefasst ergibt:

<math>F_k</math> teilt <math>a^{F_k-1}-1</math> teilt <math>a^{F_n-1}-1</math> teilt <math>a \cdot (a^{F_n-1}-1) = a^{F_n}-a</math>

Was zu zeigen war. <math>\Box</math>

Vorlage:Klappleiste/Ende

Sei <math>H_n:=2^{2^{n+1}}+2^{2^n}+1</math>. Dann gilt:<ref name="Proposition3.5" />

Vorlage:Klappleiste/Anfang Der Beweis funktioniert direkt.

Beweis:

Man betrachte die folgende Identität unter Verwendung der dritten binomischen Formel:

<math>

\begin{array}{rcll} \left[ (x+1)^2-3(x+1)+3 \right] \cdot (x^2+x+1) & = & (x^2+2x+1-3x-3+3) \cdot (x^2+x+1) & \\ & = & (x^2-x+1) \cdot (x^2+x+1) & \\ & = & ((x^2+1)-x) \cdot ((x^2+1)+x) & \text{(dritte binomische Formel)} \\ & = & (x^2+1)^2-x^2 & \\ & = & x^4+2x^2+1-x^2 & \\ & = & x^4+x^2+1 & \end{array} </math>

Wenn man nun <math>x:= 2^{2^{n-1}}</math> substituiert, sich ins Gedächtnis zurückruft, dass Fermatzahlen die Form <math>F_{n-1} = 2^{2^{n-1}}+1</math> haben und dass laut Definition <math>H_{n-1}:=2^{2^n}+2^{2^{n-1}}+1=(2^{2^{n-1}})^2+2^{2^{n-1}}+1</math> ist, erhält man das gewünschte Ergebnis:

<math>

\begin{array}{rcl} ({\color{red}F_{n-1}}^2-3 {\color{red}F_{n-1}}+3) \cdot {\color{blue}H_{n-1}} & = & \left[ ({\color{red}2^{2^{n-1}}+1})^2-3({\color{red}2^{2^{n-1}}+1})+3 \right] \cdot ({\color{blue}({2^{2^{n-1}}})^2+2^{2^{n-1}}+1}) \\ & = & \left[ (x+1)^2-3(x+1)+3 \right] \cdot (x^2+x+1) \\ & = & x^4+x^2+1 \\ & = & (2^{2^{n-1}})^4+(2^{2^{n-1}})^2+1 \\ & = & 2^{2^2 \cdot 2^{n-1}}+2^{2 \cdot 2^{n-1}}+1 \\ & = & 2^{2^{n+1}}+2^{2^n}+1 \\ & = & H_n \end{array} </math>

Was zu zeigen war. <math>\Box</math>

Vorlage:Klappleiste/Ende

Sei <math>n^n+1</math> eine Primzahl. Dann gilt:<ref name="Nielsen" /><ref name="Sierpinski" />

<math>n=F_m-1=2^{2^m}</math> mit einer positiven ganzen Zahl <math>m \in \mathbb N</math>
<math>n^n+1 = F_{2^m+m}</math>

Vorlage:Klappleiste/Anfang Beweis von Teil 1 durch Widerspruch: Man führt die Annahme, dass das zu Beweisende falsch sei, zu einem Widerspruch (analog zum Beweis weiter oben).

Annahme: <math>n^n+1</math> ist prim und die Hochzahl <math>n</math> hat einen ungeraden Teiler <math>c>1</math>.

Dann gilt

mit einer ganzen Zahl <math>\frac{n}{c}</math>. Nach Annahme ist <math>c</math> ungerade, also ist diese Summe bekanntlich durch die Summe <math>n^{\frac{n}{c}}+1</math> der beiden Basen teilbar:

Weil die Zahl <math>n^n+1</math> prim ist, muss ihr Teiler <math>n^{\frac{n}{c}}+1</math> gleich 1 oder gleich <math>n^n+1</math> sein. Aber im Widerspruch dazu ist <math>n^{\frac{n}{c}}+1</math> (wegen <math>n^{\frac{n}{c}}>0</math>) größer als 1 und (wegen <math>\frac{n}{c}<n</math>) kleiner als <math>n^n+1</math>. Die Annahme, dass <math>n^n+1</math> prim ist und <math>n</math> einen ungeraden Teiler <math>c>1</math> hat, muss daher fallengelassen werden: <math>n^n+1</math> kann nur prim sein, wenn <math>n</math> eine Zweierpotenz <math>2^k</math> mit <math>k \geq 0</math> ist.

Es ist also <math>n^n+1=(2^k)^{2^k}+1=2^{k \cdot 2^k}+1</math> und <math>n^n</math> ist somit eine Zweierpotenz.

Es wurde aber weiter oben gezeigt, dass eine Zahl der Form <math>2^t+1</math> nur dann eine Primzahl ist, wenn die Hochzahl (also der Exponent) selbst eine Zweierpotenz ist. Es gibt also ein <math>t \in \mathbb N_0</math>, sodass <math> k \cdot 2^k = 2^t</math> ist. Somit muss <math>k</math> selbst eine Zweierpotenz (also ohne ungerade Teiler) sein, daher gibt es ein <math>m \in \mathbb N_0</math>, sodass <math>k = 2^m</math> ist. Es ist also <math>n=2^k=2^{2^m}=2^{2^m}+1-1=F_{m}-1</math>, was als Erstes zu zeigen war.

Weiters gilt also <math>n^n+1=(2^k)^{(2^k)}+1=(2^{2^m})^{(2^{2^m})}+1=2^{2^m \cdot 2^{2^m}}+1=2^{2^{m+2^m}}+1=2^{2^{2^m+m}}+1=F_{2^m+m}</math>, was zu zeigen war. <math>\Box</math>

Vorlage:Klappleiste/Ende

Beispiele:

Für <math>m=0</math> erhält man <math>n^n+1=F_{2^0+0}=F_1=5 \in \mathbb P</math>

Für <math>m=1</math> erhält man <math>n^n+1=F_{2^1+1}=F_3=257 \in \mathbb P</math>

Für <math>m=2</math> erhält man <math>n^n+1=F_{2^2+2}=F_6=18.446.744.073.709.551.617 \not\in \mathbb P</math> (eine 20-stellige Zahl)

Für <math>m=3</math> erhält man <math>n^n+1=F_{2^3+3}=F_{11} \not\in \mathbb P</math> (eine 617-stellige Zahl)

Für <math>m=4</math> erhält man <math>n^n+1=F_{2^4+4}=F_{20} \not\in \mathbb P</math> (eine 315653-stellige Zahl)

Auch für <math>m=5</math> (eine 41373247568-stellige Zahl) und <math>m=11</math> (die Anzahl der Stellen dieser Zahl hat 620 Stellen) erhält man keine Primzahlen. Für alle anderen <math>m</math> ist noch nicht bekannt, ob es sich um Primzahlen handelt oder nicht.

Könnte man zeigen, dass es keine weiteren Primzahlen der Form <math>n^n+1</math> gibt, so wäre gleichzeitig auch bewiesen, dass es unendlich viele zusammengesetzte Fermat-Zahlen gibt.

Sei <math>n^{n^n}+1</math> eine Primzahl. Dann gilt:<ref name="Sierpinski" />

<math>n=F_m-1=2^{2^m}</math> mit einer positiven ganzen Zahl <math>m \in \mathbb N</math>
<math>n^{n^n}+1 = F_{2^{2^m+m}+m}</math>

Die Menge aller quadratischen Nichtreste einer primen Fermat-Zahl ist gleich der Menge aller ihrer Primitivwurzeln.<ref name="Theorem3.10" />

Zwei Fermat-Zahlen sind gleich oder teilerfremd, wie aus der letzten Aussage folgt (Goldbachs Theorem, nach Christian Goldbach, 1730). Daraus lässt sich folgern, dass es unendlich viele Primzahlen gibt (siehe auch Beweisarchiv).

Die Summe der Kehrwerte aller Fermat-Zahlen ist eine irrationale Zahl (bewiesen von Solomon W. Golomb im Jahr 1963).<ref name="Golomb" /> Es gilt:

<math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{F_n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{2^n}+1} \approx 0{,}59606317211782167942379392586279</math> (Folge A051158 in OEIS)

Keine Fermat-Zahl ist eine perfekte Zahl. Keine Fermat-Zahl ist Teil eines Paares befreundeter Zahlen (bewiesen von Florian Luca im Jahr 2000).<ref name="Luca" />

Die Summe der Kehrwerte aller Primteiler von Fermat-Zahlen ist konvergent (bewiesen von Michal Křížek, Florian Luca und Lawrence Somer im Jahr 2002).<ref name="Somer" /> Mit anderen Worten:

Sei <math>P_F \subset \mathbb P</math> die Menge aller Primzahlen, die irgendeine Fermat-Zahl <math>F_n</math> teilen. Dann gilt:

<math>\sum_{p \in P_F} \frac{1}{p}</math> ist konvergent.

Sei <math>p(F_n)</math> der größte Primteiler der Fermat-Zahl <math>F_n</math>. Dann gilt:<ref name="Wojtowicz" />

für alle <math>n \geq 4</math> (bewiesen von Aleksander Grytczuk, Florian Luca und Marek Wójtowicz im Jahr 2001).

Jede zusammengesetzte Fermat-Zahl ist eine starke Pseudoprimzahl zur Basis 2, weil für alle Fermat-Zahlen gilt:<ref name="pseudoprim" />

<math>2^{2^r} \equiv -1 \pmod {F_n}</math>

für mindestens ein <math>0 \leq r < 2^n</math> (im Speziellen für <math>r=n</math>).

Jede zusammengesetzte Fermat-Zahl ist eine eulersche Pseudoprimzahl zur Basis 2, weil für alle Fermat-Zahlen gilt:<ref name="pseudoprim" />

<math>2^{\frac{F_n-1}{2}}=2^{2^n-1} \equiv \pm 1 \pmod {F_n}</math>

Jede zusammengesetzte Fermat-Zahl <math>F_n</math> ist eine fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis 2. Das heißt, für alle Fermat-Zahlen gilt:

<math>2^{F_n-1} \equiv 1 \pmod {F_n}</math>

Eine prime Fermat-Zahl <math>F_n</math> ist niemals eine Wieferich-Primzahl.<ref name="Kennard" /> Das heißt, für alle primen Fermat-Zahlen gilt:

<math>2^{F_n-1} \not\equiv 1 \pmod {F_n^2}</math>

Ein Produkt

<math>F_a \cdot F_b \cdot \ldots \cdot F_s</math>

von Fermat-Zahlen mit <math>a>b>\ldots>s>1</math> ist eine fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis 2 genau dann, wenn <math>2^s>a</math> (bewiesen von Michele Cipolla im Jahr 1904).<ref name="Somer2" />

Jede Fermat-Zahl <math>F_n</math> hat im Binärsystem die Form

<math>F_n = 1\;\!000\ldots000\;\!1</math>

mit <math>2^n-1</math> Nullen zwischen den beiden Einsen am Anfang und Ende.<ref name="pseudoprim4" />

Jede Fermat-Zahl ab <math>F_2</math> hat im Hexadezimalsystem die Form

<math>F_n = 1\;\!000 \ldots 000\;\!1</math>

mit <math>2^{n-2}-1</math> Nullen zwischen den beiden Einsen am Anfang und Ende.

Ungelöste Probleme

Ist F_n eine zusammengesetzte Zahl für alle n ≥ 5?
Gibt es unendlich viele zusammengesetzte Fermatsche Zahlen? (Diese Behauptung ist etwas schwächer als die vorherige.)
Gibt es unendlich viele Fermatsche Primzahlen? (Diese Behauptung steht nicht im Widerspruch zur vorherigen; es könnten beide Behauptungen gelten. Es ist allerdings äußerst unwahrscheinlich, wie der untere Abschnitt zeigt.)
Gibt es Fermatsche Zahlen, die nicht quadratfrei sind?

Warum es wahrscheinlich keine weiteren Fermat-Primzahlen gibt

Man kann heuristisch annehmen, dass <math>F_4 = 65537</math> die letzte (und somit auch die größte) Fermat-Primzahl ist. Die Überlegungen dafür sind die folgenden:

Der Primzahlsatz gibt an, dass eine zufällige ganze Zahl in einem geeigneten Intervall um <math>n</math> mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa <math>\tfrac{1}{\ln n}</math> eine Primzahl ist. Wenn man nun heuristisch davon ausgeht, dass diese Aussage auch für Fermat-Primzahlen gilt, gepaart mit der Tatsache, dass die Fermat-Zahlen <math>F_5, \ldots F_{32}</math> alle zusammengesetzt sind, kommt man für größere Fermat-Primzahlen zu folgendem Ergebnis:<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}| |}}}}{{#if:Kent D. Boklan, John H. Conway|Kent D. Boklan, John H. Conway: }}{{#if:|{{#if:Expect at most one billionth of a new Fermat Prime!|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Expect at most one billionth of a new Fermat Prime!}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://arxiv.org/abs/1605.01371%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Expect at most one billionth of a new Fermat Prime!}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://arxiv.org/abs/1605.01371}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Expect at most one billionth of a new Fermat Prime!}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:The Mathematical Intelligencer 39, 3–5 (2017)9. Mai 20161–7{{#if: 2022-03-23 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}

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Die Wahrscheinlichkeit, dass <math>F_n</math> eine Fermat-Primzahl ist, beträgt höchstens <math>\tfrac{4}{2^n}</math>.

Für eine neue, noch unbekannte Fermat-Primzahl <math>F_n</math> muss <math>n \geq 33</math> sein. Somit beträgt die erwartete Anzahl an neuen, noch unbekannten Fermat-Primzahlen höchstens

<math> \frac{4}{2^{33}} + \frac{4}{2^{34}} + \frac{4}{2^{35}} + \ldots = \frac{4}{2^{32}} = \frac{1}{2^{30}} < \frac{1}{10^{9}}</math>

Die Wahrscheinlichkeit, dass es noch eine weitere Fermat-Primzahl <math>F_n>F_4</math> gibt, beträgt also weniger als 1 zu einer Milliarde, weswegen man davon ausgehen kann, dass es wahrscheinlich keine weiteren gibt.

Geometrische Anwendung der Fermatschen Primzahlen

Datei:Polygonkonstruktion nach Gauß und Wantzel.svg

Anzahl der Seiten bekannter konstruierbarer Polygone.
Rot: Seitenzahlen der 31 bekannten regulären Polygone mit ungerader Seitenzahl (Lesart von oben nach unten: Gleichseitiges Dreieck – regelmäßiges Fünfeck – regelmäßiges Fünfzehneck - … – 4294967295-Eck)
Schwarz: Seitenzahlen der (unendlich vielen) bekannten Polygone mit gerader Seitenzahl

Carl Friedrich Gauß zeigte (in seinem Lehrbuch Disquisitiones Arithmeticae), dass es einen Zusammenhang zwischen der Konstruktion von regelmäßigen Polygonen und den Fermatschen Primzahlen gibt:

Ein regelmäßiges Polygon mit n Seiten kann dann und nur dann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden, wenn n

eine Potenz von 2 oder
eine Potenz von 2 multipliziert mit paarweise verschiedenen Fermatschen Primzahlen ist.<ref name="EmilArtin" />

Mit anderen Worten:

Ein <math>n</math>-seitiges regelmäßiges Polygon kann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden<math>\qquad\Longleftrightarrow</math>

<math> n = 2^k \cdot p_1 \cdot p_2 \cdot \dotso \cdot p_s</math> mit <math>k \in \mathbb N_0</math> und paarweise verschiedenen Fermatschen Primzahlen <math>p_1, p_2, \dotsc, p_s</math>

Konkret zeigte Gauß die Konstruierbarkeit des regelmäßigen Siebzehnecks.

Die nach der obigen Formel konstruierbaren regelmäßigen Polygone lassen sich in zwei Gruppen unterteilen: solche mit ungerader Seitenzahl und solche mit gerader Seitenzahl. Alle Polygone, in denen <math>k > 0</math> ist, sind offensichtlich solche mit gerader Seitenzahl (durch 2 teilbar). Alle Polygone mit <math>k = 0</math> sind solche mit ungerader Seitenzahl (ein Produkt von Primzahlen größer als 2 ist immer eine ungerade Zahl). Da nur endlich viele Fermatsche Primzahlen bekannt sind, ist auch die Anzahl der bekannten, mit Zirkel und Lineal konstruierbaren, regulären Polygone mit ungerader Seitenzahl begrenzt. Unter diesen ist das 4294967295-Eck (<math>\scriptstyle \prod_{i=1}^5 p_i</math>) dasjenige mit der größten Eckenzahl.

Verallgemeinerte Fermatsche Zahlen

Eine Zahl der Form <math>b^{2^n}+ a^{2^n}</math> mit zwei teilerfremden natürlichen Zahlen a > 0 und b > 0 heißt verallgemeinerte Fermatsche Zahl. Ist eine solche Zahl prim, dann heißt sie verallgemeinerte Fermatsche Primzahl.

Insgesamt sind schon über 11719 Faktoren von verallgemeinerten zusammengesetzten Fermat-Zahlen bekannt (Stand: 13. August 2018).<ref name="prothsearch" /><ref name="prothsearch2" /> Davon wurden alleine über 5100 von Anders Björn und Hans Riesel vor 1998 entdeckt.

Ist a = 1, so werden die so erhaltenen verallgemeinerten Fermatschen Zahlen üblicherweise mit

bezeichnet. Die Zahl b nennt man Basis.

Ist a = 1 und b = 2, so handelt es sich um die schon weiter oben erwähnten Fermat-Zahlen

<math>F_n(2)=F_n=2^{2^n}+1</math>.

Es folgt eine Auflistung der ersten verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen der Form <math>F_n(b, a)=\frac{b^{2^n}+ a^{2^n}}{\operatorname{ggT}(b+a,2)}</math>. Die beiden Basen <math>b</math> und <math>a</math> müssen, damit <math>F_n(b, a)</math> prim sein kann, teilerfremd sein. Außerdem ist es auch notwendig, dass man <math>F_n(b, a)</math> durch den größten gemeinsamen Teiler <math>{\operatorname{ggT}(b+a,2)}</math> dividiert, da die Zahl <math>b^{2^n}+ a^{2^n}</math> bei ungeradem <math>b</math> und <math>a</math> immer eine gerade Zahl wäre und somit niemals eine Primzahl sein könnte. Weiters kann man ohne Einschränkung annehmen, dass <math>a<b</math> sein muss, da man bei <math>F_n(b, a)</math> das <math>a</math> bedenkenlos mit <math>b</math> vertauschen kann und somit zum Beispiel <math>F_n(5, 9)= F_n(9, 5)</math> ist. Der Fall <math>a=b</math> führt niemals zu Primzahlen, da dann <math>F_n(b, a)= F_n(b, b)=\frac{b^{2^n}+ b^{2^n}}{\operatorname{ggT}(b+b,2)}=\frac{2b^{2^n}}{2}=b^{2^n}</math> wäre und sicher nicht prim ist (es wären in diesem Fall auch die beiden Basen <math>b</math> und <math>b</math> nicht wie vorausgesetzt teilerfremd).

Vorlage:Klappleiste/Anfang{\operatorname{ggT}(b+a,2)}</math> mit konstantem <math>b \leq 16</math> und <math>a < b</math> }}

b	a	<math>F_n(b, a)</math>	<math>n</math>, für das <math>F_n(b,a)</math> prim ist
2	1	<math>2^{2^n}+1^{2^n}</math>	0, 1, 2, 3, 4, …
3	1	<math>\frac{3^{2^n}+1^{2^n}}{2}</math>	0, 1, 2, 4, 5, 6, …
3	2	<math>3^{2^n}+2^{2^n}</math>	0, 1, 2, …
4	1	<math>4^{2^n}+1^{2^n}</math>	0, 1, 2, 3, …
4	3	<math>4^{2^n}+3^{2^n}</math>	0, 2, 4, …
5	1	<math>\frac{5^{2^n}+1^{2^n}}{2}</math>	0, 1, 2 …
5	2	<math>5^{2^n}+2^{2^n}</math>	0, 1, 2, …
5	3	<math>\frac{5^{2^n}+3^{2^n}}{2}</math>	1, 2, 3, …
5	4	<math>5^{2^n}+4^{2^n}</math>	1, 2, …
6	1	<math>6^{2^n}+1^{2^n}</math>	0, 1, 2, …
6	5	<math>6^{2^n}+5^{2^n}</math>	0, 1, 3, 4, …
7	1	<math>\frac{7^{2^n}+1^{2^n}}{2}</math>	2, …
7	2	<math>7^{2^n}+2^{2^n}</math>	1, 2, …
7	3	<math>\frac{7^{2^n}+3^{2^n}}{2}</math>	0, 1, 8, …
7	4	<math>7^{2^n}+4^{2^n}</math>	0, 2, …
7	5	<math>\frac{7^{2^n}+5^{2^n}}{2}</math>	1, 4, …
7	6	<math>7^{2^n}+6^{2^n}</math>	0, 2, 4, …
8	1	<math>8^{2^n}+1^{2^n}</math>	es gibt keine Primzahlen dieser Form
8	3	<math>8^{2^n}+3^{2^n}</math>	0, 1, 2, …
8	5	<math>8^{2^n}+5^{2^n}</math>	0, 1, 2, …

b	a	<math>F_n(b, a)</math>	<math>n</math>, für das <math>F_n(b,a)</math> prim ist
8	7	<math>8^{2^n}+7^{2^n}</math>	1, 4, …
9	1	<math>\frac{9^{2^n}+1^{2^n}}{2}</math>	0, 1, 3, 4, 5, …
9	2	<math>9^{2^n}+2^{2^n}</math>	0, 2, …
9	4	<math>9^{2^n}+4^{2^n}</math>	0, 1, …
9	5	<math>\frac{9^{2^n}+5^{2^n}}{2}</math>	0, 1, 2, …
9	7	<math>\frac{9^{2^n}+7^{2^n}}{2}</math>	2, …
9	8	<math>9^{2^n}+8^{2^n}</math>	0, 2, 5, …
10	1	<math>10^{2^n}+1^{2^n}</math>	0, 1, …
10	3	<math>10^{2^n}+3^{2^n}</math>	0, 1, 3, …
10	7	<math>10^{2^n}+7^{2^n}</math>	0, 1, 2, …
10	9	<math>10^{2^n}+9^{2^n}</math>	0, 1, 2, …
11	1	<math>\frac{11^{2^n}+1^{2^n}}{2}</math>	1, 2, …
11	2	<math>11^{2^n}+2^{2^n}</math>	0, 2, …
11	3	<math>\frac{11^{2^n}+3^{2^n}}{2}</math>	0, 3, …
11	4	<math>11^{2^n}+4^{2^n}</math>	1, 2, …
11	5	<math>\frac{11^{2^n}+5^{2^n}}{2}</math>	1, …
11	6	<math>11^{2^n}+6^{2^n}</math>	0, 1, 2, …
11	7	<math>\frac{11^{2^n}+7^{2^n}}{2}</math>	2, 4, 5, …
11	8	<math>11^{2^n}+8^{2^n}</math>	0, 6, …
11	9	<math>\frac{11^{2^n}+9^{2^n}}{2}</math>	1, 2, …

b	a	<math>F_n(b, a)</math>	<math>n</math>, für das <math>F_n(b,a)</math> prim ist
11	10	<math>11^{2^n}+10^{2^n}</math>	5, …
12	1	<math>12^{2^n}+1^{2^n}</math>	0, …
12	5	<math>12^{2^n}+5^{2^n}</math>	0, 4, …
12	7	<math>12^{2^n}+7^{2^n}</math>	0, 1, 3, …
12	11	<math>12^{2^n}+11^{2^n}</math>	0, …
13	1	<math>\frac{13^{2^n}+1^{2^n}}{2}</math>	0, 2, 3, …
13	2	<math>13^{2^n}+2^{2^n}</math>	1, 3, 9, …
13	3	<math>\frac{13^{2^n}+3^{2^n}}{2}</math>	1, 2, …
13	4	<math>13^{2^n}+4^{2^n}</math>	0, 2, …
13	5	<math>\frac{13^{2^n}+5^{2^n}}{2}</math>	1, 2, 4, …
13	6	<math>13^{2^n}+6^{2^n}</math>	0, 6, …
13	7	<math>\frac{13^{2^n}+7^{2^n}}{2}</math>	1, …
13	8	<math>13^{2^n}+8^{2^n}</math>	1, 3, 4, …
13	9	<math>\frac{13^{2^n}+9^{2^n}}{2}</math>	0, 3, …
13	10	<math>13^{2^n}+10^{2^n}</math>	0, 1, 2, 4, …
13	11	<math>\frac{13^{2^n}+11^{2^n}}{2}</math>	2, …
13	12	<math>13^{2^n}+12^{2^n}</math>	1, 2, 5, …
14	1	<math>14^{2^n}+1^{2^n}</math>	1, …
14	3	<math>14^{2^n}+3^{2^n}</math>	0, 3, …
14	5	<math>14^{2^n}+5^{2^n}</math>	0, 2, 4, 8, …

b	a	<math>F_n(b, a)</math>	<math>n</math>, für das <math>F_n(b,a)</math> prim ist
14	9	<math>14^{2^n}+9^{2^n}</math>	0, 1, 8, …
14	11	<math>14^{2^n}+11^{2^n}</math>	1, …
14	13	<math>14^{2^n}+13^{2^n}</math>	2, …
15	1	<math>\frac{15^{2^n}+1^{2^n}}{2}</math>	1, …
15	2	<math>15^{2^n}+2^{2^n}</math>	0, 1, …
15	4	<math>15^{2^n}+4^{2^n}</math>	0, 1, …
15	7	<math>\frac{15^{2^n}+7^{2^n}}{2}</math>	0, 1, 2, …
15	8	<math>15^{2^n}+8^{2^n}</math>	0, 2, 3, …
15	11	<math>\frac{15^{2^n}+11^{2^n}}{2}</math>	0, 1, 2, …
15	13	<math>\frac{15^{2^n}+13^{2^n}}{2}</math>	1, 4, …
15	14	<math>15^{2^n}+14^{2^n}</math>	0, 1, 2, 4, …
16	1	<math>16^{2^n}+1^{2^n}</math>	0, 1, 2, …
16	3	<math>16^{2^n}+3^{2^n}</math>	0, 2, 8, …
16	5	<math>16^{2^n}+5^{2^n}</math>	1, 2, …
16	7	<math>16^{2^n}+7^{2^n}</math>	0, 6, …
16	9	<math>16^{2^n}+9^{2^n}</math>	1, 3, …
16	11	<math>16^{2^n}+11^{2^n}</math>	2, 4, …
16	13	<math>16^{2^n}+13^{2^n}</math>	0, 3, …
16	15	<math>16^{2^n}+15^{2^n}</math>	0, …

Vorlage:Klappleiste/Ende

Fast alle verallgemeinerten Fermatschen Zahlen sind wahrscheinlich zusammengesetzt. Bewiesen ist diese Aussage aber nicht, denn schon für <math>b=2</math> und <math>a=1</math> (das sind die ursprünglichen Fermat-Zahlen) wurde weiter oben im Kapitel Ungelöste Probleme erwähnt, dass man noch nicht weiß, ob ab <math>n \geq 5</math> alle weiteren <math>F_n</math> zusammengesetzt sind oder nicht. Ähnlich verhält es sich mit anderen Basen und Hochzahlen. Und obwohl schon über 11000 Faktoren von verallgemeinerten Fermatschen Zahlen bekannt sind (siehe weiter oben), ist es schwierig, solche Faktoren zu finden, zumal <math>F_n(b,a)</math> sehr schnell sehr groß wird. Zum Teil weiß man zwar, dass diese Zahlen zusammengesetzt sein müssen, aber Primteiler kennt man von den wenigsten. Bekannt ist, dass solche Primteiler die Form <math>k \cdot 2^m+1</math> haben müssen. Es folgt eine Auflistung von Primfaktoren kleinerer verallgemeinerter Fermatschen Zahlen inklusive zweier etwas höherer Zahlenbeispiele, anhand derer man erkennen kann, wie schnell die Zahlen sehr hoch werden.

Vorlage:Klappleiste/Anfang{\operatorname{ggT}(b+a,2)}</math> }}

verallgemeinerte zusammengesetzte Fermatsche Zahl					Primteiler
b	a	n	<math>F_n(b, a)</math>	Dezimalschreibweise	k	m	Primteiler <math>k \cdot 2^m+1</math>	Dezimalschreibweise
2	1	5	<math>2^{2^5}+1^{2^5}</math>	4.294.967.297 (=<math>F_5</math>)	5	7	<math>5 \cdot 2^7+1</math>	641
2	1	5	<math>2^{2^5}+1^{2^5}</math>	4.294.967.297 (=<math>F_5</math>)	52347	7	<math>52347 \cdot 2^7+1</math>	6.700.417
2	1	6	<math>2^{2^6}+1^{2^6}</math>	18.446.744.073.709.551.617 (=<math>F_6</math>)	1071	8	<math>1071 \cdot 2^8+1</math>	274.177
2	1	6	<math>2^{2^6}+1^{2^6}</math>	18.446.744.073.709.551.617 (=<math>F_6</math>)	262814145745	8	<math>262814145745 \cdot 2^8+1</math>	67.280.421.310.721
3	1	3	<math>\frac{3^{2^3}+1^{2^3}}{2}</math>	3.281	1	4	<math>1 \cdot 2^4+1</math>	17
3	1	3	<math>\frac{3^{2^3}+1^{2^3}}{2}</math>	3.281	3	6	<math>3 \cdot 2^6+1</math>	193
3	2	3	<math>3^{2^3}+2^{2^3}</math>	6.817	1	4	<math>1 \cdot 2^4+1</math>	17
3	2	3	<math>3^{2^3}+2^{2^3}</math>	6.817	25	4	<math>25 \cdot 2^4+1</math>	401
3	2	4	<math>3^{2^4}+2^{2^4}</math>	43.112.257	95	5	<math>95 \cdot 2^5+1</math>	3.041
3	2	4	<math>3^{2^4}+2^{2^4}</math>	43.112.257	443	5	<math>443 \cdot 2^5+1</math>	14.177
3	2	5	<math>3^{2^5}+2^{2^5}</math>	1.853.024.483.819.137	9	7	<math>9 \cdot 2^7+1</math>	1.153
3	2	5	<math>3^{2^5}+2^{2^5}</math>	1.853.024.483.819.137	3138931869	9	<math>3138931869 \cdot 2^9+1</math>	1.607.133.116.929
3	2	6	<math>3^{2^6}+2^{2^6}</math>	3.433.683.820.310.959.228.731.558.640.897	3	8	<math>3 \cdot 2^8+1</math>	769
					952341149	7	<math>952341149 \cdot 2^7+1</math>	121.899.667.073
					286168266760535	7	<math>286168266760535 \cdot 2^7+1</math>	36.629.538.145.348.481
4	1	4	<math>4^{2^4}+1^{2^4}</math>	4.294.967.297	5	7	<math>5 \cdot 2^7+1</math>	641
4	1	4	<math>4^{2^4}+1^{2^4}</math>	4.294.967.297	52347	7	<math>52347 \cdot 2^7+1</math>	6.700.417
4	1	5	<math>4^{2^5}+1^{2^5}</math>	18.446.744.073.709.551.617	1071	8	<math>1071 \cdot 2^8+1</math>	274.177
4	1	5	<math>4^{2^5}+1^{2^5}</math>	18.446.744.073.709.551.617	262814145745	8	<math>262814145745 \cdot 2^7+1</math>	67.280.421.310.721
4	1	6	<math>4^{2^6}+1^{2^6}</math>	340.282.366.920.938.463.463.374.607.431.768.211.457	116503103764643	9	<math>116503103764643 \cdot 2^9+1</math>	59.649.589.127.497.217
4	1	6	<math>4^{2^6}+1^{2^6}</math>	340.282.366.920.938.463.463.374.607.431.768.211.457	11141971095088142685	9	<math>11141971095088142685 \cdot 2^9+1</math>	5.704.689.200.685.129.054.721
4	3	1	<math>4^{2^1}+3^{2^1}</math>	25	1	2	<math>1 \cdot 2^2+1</math>	5
4	3	1	<math>4^{2^1}+3^{2^1}</math>	25	1	2	<math>1 \cdot 2^2+1</math>	5
4	3	3	<math>4^{2^3}+3^{2^3}</math>	72.097	1	4	<math>1 \cdot 2^4+1</math>	17
4	3	3	<math>4^{2^3}+3^{2^3}</math>	72.097	265	4	<math>265 \cdot 2^4+1</math>	4.241
4	3	5	<math>4^{2^5}+3^{2^5}</math>	18.448.597.093.898.403.457	187	6	<math>187 \cdot 2^6+1</math>	11.969
4	3	5	<math>4^{2^5}+3^{2^5}</math>	18.448.597.093.898.403.457	24083827353343	6	<math>24083827353343 \cdot 2^6+1</math>	1.541.364.950.613.953
4	3	6	<math>4^{2^6}+3^{2^6}</math>	340.282.370.354.622.283.755.887.092.089.617.300.737	1317	8	<math>1317 \cdot 2^8+1</math>	337.153
4	3	6	<math>4^{2^6}+3^{2^6}</math>	340.282.370.354.622.283.755.887.092.089.617.300.737	492813355211781926870528348211	11	<math>492813355211781926870528348211 \cdot 2^{11}+1</math>	1.009.281.751.473.729.386.230.842.057.136.129
5	1	3	<math>\frac{5^{2^3}+1^{2^3}}{2}</math>	195.313	1	4	<math>1 \cdot 2^4+1</math>	17
5	1	3	<math>\frac{5^{2^3}+1^{2^3}}{2}</math>	195.313	359	5	<math>359 \cdot 2^5+1</math>	11.489
5	1	4	<math>\frac{5^{2^4}+1^{2^4}}{2}</math>	76.293.945.313	81	5	<math>81 \cdot 2^5+1</math>	2.593
5	1	4	<math>\frac{5^{2^4}+1^{2^4}}{2}</math>	76.293.945.313	459735	6	<math>459735 \cdot 2^6+1</math>	29.423.041
5	1	5	<math>\frac{5^{2^5}+1^{2^5}}{2}</math>	11.641.532.182.693.481.445.313	5	7	<math>5 \cdot 2^7+1</math>	641
					1172953	6	<math>1172953 \cdot 2^6+1</math>	75.068.993
					945042975	8	<math>945042975 \cdot 2^8+1</math>	241.931.001.601
5	1	6	<math>\frac{5^{2^6}+1^{2^6}}{2}</math>	271.050.543.121.376.108.501.863.200.217.485.427.856.445.313 (Zahl hat 45 (also abgerundet etwa <math> 10^1</math>) Stellen)	3	8	<math>3 \cdot 2^8+1</math>	769
					28644528117	7	<math>28644528117 \cdot 2^7+1</math>	3.666.499.598.977
					187759681216101058498487625	9	<math>187759681216101058498487625 \cdot 2^9+1</math>	96.132.956.782.643.741.951.225.664.001
…	…	…	…	…	…	…	…	…
…	…	…	…	…	…	…	…	…
12	11	37	<math>12^{2^{37}}+11^{2^{37}}</math>	Zahl hat 148.321.541.064 (also etwa <math> 10^{11}</math>) Stellen	1776222707793	38	<math>1776222707793 \cdot 2^{38}+1</math>	488.244.380.184.543.957.614.593
12	11	37	<math>12^{2^{37}}+11^{2^{37}}</math>		und noch ein Faktor, von dem man nicht weiß, ob er zusammengesetzt ist oder nicht
…	…	…	…	…	…	…	…	…
…	…	…	…	…	…	…	…	…
12	11	7033640	<math>12^{2^{7033640}}+11^{2^{7033640}}</math>	Zahl hat etwa <math>10^{2117337}</math> Stellen	3	7033641	<math>3 \cdot 2^{7033641}+1</math>	Primteiler hat 2117338 Stellen
12	11	7033640	<math>12^{2^{7033640}}+11^{2^{7033640}}</math>	Zahl hat etwa <math>10^{2117337}</math> Stellen	und noch ein Faktor, von dem man nicht weiß, ob er zusammengesetzt ist oder nicht

Vorlage:Klappleiste/Ende

Verallgemeinerte Fermatsche Zahlen der Form F_n(b)

Ist b eine gerade Zahl, so kann F_n(b) sowohl zusammengesetzt als auch prim sein.

Beispiel 1:

b = 8, n = 3 ergibt die zusammengesetzte Zahl

<math>F_3(8)=8^{2^3}+1=8^8+1=16.777.217=97 \cdot 257 \cdot 673</math>.

Beispiel 2:

b = 6, n = 2 ergibt die Primzahl

<math>F_2(6)=6^{2^2}+1=6^4+1=1297</math>.

Beispiel 3:

b = 30, n = 5 ergibt die 48-stellige Primzahl

und ist gleichzeitig die kleinste verallgemeinerte Fermatsche Primzahl mit <math>n>4</math>.

Ist b eine ungerade Zahl, so ist F_n(b) als Summe einer Potenz einer ungeraden Zahl (die selbst wieder ungerade ist) und 1 immer eine gerade Zahl, somit durch 2 teilbar und deshalb für b > 1 keine Primzahl, sondern zusammengesetzt. In diesem Fall wird häufig die Zahl

auf ihre Primalität untersucht. Diese Zahlen werden auch halbe verallgemeinerte Fermatsche Zahlen genannt.

Beispiel 4:

b = 3, n = 2 ergibt die gerade und somit zusammengesetzte Zahl

<math>F_2(3)=3^{2^2}+1=3^4+1=81+1=82=2 \cdot 41</math>.

Es ist aber

eine Primzahl.

Beispiel 5:

b = 5, n = 3 ergibt die gerade und somit zusammengesetzte Zahl

Es ist aber

eine zusammengesetzte Zahl.

Liste der Primzahlen der Form F_n(b)

Verallgemeinerte Fermatsche Zahlen der Form <math>F_n(b)=b^{2^n}+1</math> (für gerade <math>b</math>) bzw. der Form <math>\tfrac{F_n(b)}{2}=\tfrac{b^{2^n}+1}{2}</math> (für ungerade <math>b</math>) sind in den meisten Fällen zusammengesetzt. Weil diese Zahlen sehr schnell sehr groß werden, sind nicht besonders viele Primzahlen dieser Art bekannt. Es folgt eine Auflistung von Primzahlen der Form <math>F_n(b)</math> mit konstantem <math>b \leq 60</math>:

Vorlage:Klappleiste/Anfang

b	<math>F_n(b)</math> bzw. <math>\tfrac{F_n(b)}{2}</math>	<math>n</math>, für die <math>F_n(b)</math> bzw. <math>\tfrac{F_n(b)}{2}</math> prim ist
0	<math>0^{2^n}+1=1</math>	es gibt keine Primzahlen dieser Form
1	<math>\frac{1^{2^n}+1}{2}=1</math>	es gibt keine Primzahlen dieser Form
2	<math>2^{2^n}+1</math>	0, 1, 2, 3, 4, …
3	<math>\frac{3^{2^n}+1}{2}</math>	0, 1, 2, 4, 5, 6, …
4	<math>4^{2^n}+1</math>	0, 1, 2, 3, …
5	<math>\frac{5^{2^n}+1}{2}</math>	0, 1, 2, …
6	<math>6^{2^n}+1</math>	0, 1, 2, …
7	<math>\frac{7^{2^n}+1}{2}</math>	2, …
8	<math>8^{2^n}+1</math>	es gibt keine Primzahlen dieser Form
9	<math>\frac{9^{2^n}+1}{2}</math>	0, 1, 3, 4, 5, …
10	<math>10^{2^n}+1</math>	0, 1, …
11	<math>\frac{11^{2^n}+1}{2}</math>	1, 2, …
12	<math>12^{2^n}+1</math>	0, …
13	<math>\frac{13^{2^n}+1}{2}</math>	0, 2, 3, …
14	<math>14^{2^n}+1</math>	1, …
15	<math>\frac{15^{2^n}+1}{2}</math>	1, …

b	<math>F_n(b)</math> bzw. <math>\frac{F_n(b)}{2}</math>	<math>n</math>, für die <math>F_n(b)</math> bzw. <math>\frac{F_n(b)}{2}</math> prim ist
16	<math>16^{2^n}+1</math>	0, 1, 2, …
17	<math>\frac{17^{2^n}+1}{2}</math>	2, …
18	<math>18^{2^n}+1</math>	0, …
19	<math>\frac{19^{2^n}+1}{2}</math>	1, …
20	<math>20^{2^n}+1</math>	1, 2, …
21	<math>\frac{21^{2^n}+1}{2}</math>	0, 2, 5, …
22	<math>22^{2^n}+1</math>	0, …
23	<math>\frac{23^{2^n}+1}{2}</math>	2, …
24	<math>24^{2^n}+1</math>	1, 2, …
25	<math>\frac{25^{2^n}+1}{2}</math>	0, 1, …
26	<math>26^{2^n}+1</math>	1, …
27	<math>\frac{27^{2^n}+1}{2}</math>	es gibt keine Primzahlen dieser Form
28	<math>28^{2^n}+1</math>	0, 2, …
29	<math>\frac{29^{2^n}+1}{2}</math>	1, 2, 4, …
30	<math>30^{2^n}+1</math>	0, 5, …

b	<math>F_n(b)</math> bzw. <math>\tfrac{F_n(b)}{2}</math>	<math>n</math>, für die <math>F_n(b)</math> bzw. <math>\tfrac{F_n(b)}{2}</math> prim ist
31	<math>\frac{31^{2^n}+1}{2}</math>	noch keine bekannt
32	<math>32^{2^n}+1</math>	es gibt keine Primzahlen dieser Form
33	<math>\frac{33^{2^n}+1}{2}</math>	0, 3, …
34	<math>34^{2^n}+1</math>	2, …
35	<math>\frac{35^{2^n}+1}{2}</math>	1, 2, 6, …
36	<math>36^{2^n}+1</math>	0, 1, …
37	<math>\frac{37^{2^n}+1}{2}</math>	0, …
38	<math>38^{2^n}+1</math>	noch keine bekannt
39	<math>\frac{39^{2^n}+1}{2}</math>	1, 2, …
40	<math>40^{2^n}+1</math>	0, 1, …
41	<math>\frac{41^{2^n}+1}{2}</math>	4, …
42	<math>42^{2^n}+1</math>	0, …
43	<math>\frac{43^{2^n}+1}{2}</math>	3, …
44	<math>44^{2^n}+1</math>	4, …
45	<math>\frac{45^{2^n}+1}{2}</math>	0, 1, …

b	<math>F_n(b)</math> bzw. <math>\tfrac{F_n(b)}{2}</math>	<math>n</math>, für die <math>F_n(b)</math> bzw. <math>\tfrac{F_n(b)}{2}</math> prim ist
46	<math>\frac{46^{2^n}+1}{2}</math>	0, 2, 9, …
47	<math>47^{2^n}+1</math>	3, …
48	<math>\frac{48^{2^n}+1}{2}</math>	2, …
49	<math>49^{2^n}+1</math>	1, …
50	<math>\frac{50^{2^n}+1}{2}</math>	noch keine bekannt
51	<math>51^{2^n}+1</math>	1, 3, 6, …
52	<math>\frac{52^{2^n}+1}{2}</math>	0, …
53	<math>53^{2^n}+1</math>	3, …
54	<math>\frac{54^{2^n}+1}{2}</math>	1, 2, 5, …
55	<math>55^{2^n}+1</math>	noch keine bekannt
56	<math>\frac{56^{2^n}+1}{2}</math>	1, 2, …
57	<math>57^{2^n}+1</math>	0, 2, …
58	<math>\frac{58^{2^n}+1}{2}</math>	0, …
59	<math>59^{2^n}+1</math>	1, …
60	<math>\frac{60^{2^n}+1}{2}</math>	0, …

Vorlage:Klappleiste/Ende

Die kleinsten <math>n</math> (ab <math>b=2</math>), für die <math>F_n(b)</math> bzw. <math>\tfrac{F_n(b)}{2}</math> erstmals eine Primzahl ergibt, kann man der obigen Tabelle entnehmen, was für alle <math>b \leq 1500</math> die folgende Liste ergibt (der Wert −1 bedeutet „nicht existent“ bzw. „noch keine bekannt“):

0, 0, 0, 0, 0, 2, −1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 2, 0, 1, 1, 0, 0, 2, 1, 0, 1, −1, 0, 1, 0, −1, −1, 0, 2, 1, 0, 0, −1, 1, 0, 4, 0, 3, 4, 0, 0, 3, 2, 1, −1, 1, 0, 3, 1, −1, 1, 0, 0, 1, 0, … (Folge A253242 in OEIS)

Mehr Informationen für gerade <math>b</math> bis zur Basis <math>b=1000</math> findet man im Internet.<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}| |}}}}{{#if:Jeppe Stig Salling Nielsen|Jeppe Stig Salling Nielsen: }}{{#if:|{{#if:Generalized Fermat Primes sorted by base|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Generalized Fermat Primes sorted by base}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:http://jeppesn.dk/generalized-fermat.html%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Generalized Fermat Primes sorted by base}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=http://jeppesn.dk/generalized-fermat.html}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Generalized Fermat Primes sorted by base}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:{{#if: 2018-05-06 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}

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Nun folgt eine Auflistung von Primzahlen der Form <math>F_n(b)</math> mit konstantem <math>n</math>:

Vorlage:Klappleiste/Anfang

n	F_n(b)	b, für die F_n(b) prim ist	OEIS-Folge
0	<math>b+1</math>	1, 2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100, 102, 106, 108, 112, 126, 130, 136, 138, 148, 150, 156, 162, 166, 172, 178, 180, 190, 192, 196, 198, 210, 222, 226, 228, 232, 238, 240, 250, 256, 262, 268, 270, … (alle Primzahlen minus 1)	(Folge A006093 in OEIS)
1	<math>b^2+1</math>	1, 2, 4, 6, 10, 14, 16, 20, 24, 26, 36, 40, 54, 56, 66, 74, 84, 90, 94, 110, 116, 120, 124, 126, 130, 134, 146, 150, 156, 160, 170, 176, 180, 184, 204, 206, 210, 224, 230, 236, 240, 250, 256, 260, 264, 270, 280, 284, 300, 306, 314, 326, 340, 350, 384, 386, 396, …	(Folge A005574 in OEIS)
2	<math>b^4+1</math>	1, 2, 4, 6, 16, 20, 24, 28, 34, 46, 48, 54, 56, 74, 80, 82, 88, 90, 106, 118, 132, 140, 142, 154, 160, 164, 174, 180, 194, 198, 204, 210, 220, 228, 238, 242, 248, 254, 266, 272, 276, 278, 288, 296, 312, 320, 328, 334, 340, 352, 364, 374, 414, 430, 436, 442, 466, …	(Folge A000068 in OEIS)
3	<math>b^8+1</math>	1, 2, 4, 118, 132, 140, 152, 208, 240, 242, 288, 290, 306, 378, 392, 426, 434, 442, 508, 510, 540, 542, 562, 596, 610, 664, 680, 682, 732, 782, 800, 808, 866, 876, 884, 892, 916, 918, 934, 956, 990, 1022, 1028, 1054, 1106, 1120, 1174, 1224, 1232, 1256, 1284, …	(Folge A006314 in OEIS)
4	<math>b^{16}+1</math>	1, 2, 44, 74, 76, 94, 156, 158, 176, 188, 198, 248, 288, 306, 318, 330, 348, 370, 382, 396, 452, 456, 470, 474, 476, 478, 560, 568, 598, 642, 686, 688, 690, 736, 774, 776, 778, 790, 830, 832, 834, 846, 900, 916, 946, 956, 972, 982, 984, 1018, 1044, 1078, …	(Folge A006313 in OEIS)
5	<math>b^{32}+1</math>	1, 30, 54, 96, 112, 114, 132, 156, 332, 342, 360, 376, 428, 430, 432, 448, 562, 588, 726, 738, 804, 850, 884, 1068, 1142, 1198, 1306, 1540, 1568, 1596, 1678, 1714, 1754, 1812, 1818, 1878, 1906, 1960, 1962, 2046, 2098, 2118, 2142, 2330, 2418, 2434, 2654, 2668, …	(Folge A006315 in OEIS)
6	<math>b^{64}+1</math>	1, 102, 162, 274, 300, 412, 562, 592, 728, 1084, 1094, 1108, 1120, 1200, 1558, 1566, 1630, 1804, 1876, 2094, 2162, 2164, 2238, 2336, 2388, 2420, 2494, 2524, 2614, 2784, 3024, 3104, 3140, 3164, 3254, 3278, 3628, 3694, 3738, 3750, 4000, 4030, 4058, 4166, …	(Folge A006316 in OEIS)
7	<math>b^{128}+1</math>	1, 120, 190, 234, 506, 532, 548, 960, 1738, 1786, 2884, 3000, 3420, 3476, 3658, 4258, 5788, 6080, 6562, 6750, 7692, 8296, 9108, 9356, 9582, 9706, 10238, 10994, 11338, 11432, 11466, 11554, 11778, 12704, 12766, 13082, 13478, 13700, …	(Folge A056994 in OEIS)
8	<math>b^{256}+1</math>	1, 278, 614, 892, 898, 1348, 1494, 1574, 1938, 2116, 2122, 2278, 2762, 3434, 4094, 4204, 4728, 5712, 5744, 6066, 6508, 6930, 7022, 7332, 8524, 8644, 8762, 8808, 9024, 9142, 9412, 10892, 12206, 13220, 13222, 13246, 13370, 13738, 14114, 14930, …	(Folge A056995 in OEIS)
9	<math>b^{512}+1</math>	1, 46, 1036, 1318, 1342, 2472, 2926, 3154, 3878, 4386, 4464, 4474, 4482, 4616, 4688, 5374, 5698, 5716, 5770, 6268, 6386, 6682, 7388, 7992, 8678, 8792, 9448, 9452, 9972, 10086, 10448, 10926, 11468, 12754, 13198, 13776, 14734, 16826, 16914, 18334, …	(Folge A057465 in OEIS)
10	<math>b^{1024}+1</math>	1, 824, 1476, 1632, 2462, 2484, 2520, 3064, 3402, 3820, 4026, 6640, 7026, 7158, 9070, 12202, 12548, 12994, 13042, 15358, 17646, 17670, 18336, 19564, 20624, 22500, 24126, 26132, 26188, 26240, 29074, 29658, 30778, 31126, 32244, 33044, 34016, …	(Folge A057002 in OEIS)
11	<math>b^{2048}+1</math>	1, 150, 2558, 4650, 4772, 11272, 13236, 15048, 23302, 26946, 29504, 31614, 33308, 35054, 36702, 37062, 39020, 39056, 43738, 44174, 45654, 46502, 47348, 49190, 49204, 49544, 54514, 57210, 59770, 61184, 66894, 68194, 70574, 72446, 82642, …	(Folge A088361 in OEIS)
12	<math>b^{4096}+1</math>	1, 1534, 7316, 17582, 18224, 28234, 34954, 41336, 48824, 51558, 51914, 57394, 61686, 62060, 89762, 96632, 98242, 100540, 101578, 109696, 110540, 114690, 125440, 125442, 127596, 138068, 144362, 154908, 157310, 161822, 161900, 166224, …	(Folge A088362 in OEIS)
13	<math>b^{8192}+1</math>	1, 30406, 71852, 85654, 111850, 126308, 134492, 144642, 147942, 150152, 165894, 176206, 180924, 201170, 212724, 222764, 225174, 241600, 241860, 248744, 268032, 270674, 302368, 316970, 326260, 347962, 350830, 397468, 410938, 416010, 441238, 443718, 458520, 462678, 463012, 475158, 481750, …, 352666770, …	(Folge A226528 in OEIS)
14	<math>b^{16384}+1</math>	1, 67234, 101830, 114024, 133858, 162192, 165306, 210714, 216968, 229310, 232798, 422666, 426690, 449732, 462470, 468144, 498904, 506664, 509622, 528614, 572934, 581424, 638980, 641762, 656210, 698480, 704930, 730352, 795810, 840796, 908086, 975248, 976914, 990908, 1007874, 1037748, 1039970, 1067896, 1082054, 1097352, 1102754, 1132526, 1162996, 1171010, 1177808, 1181388, …, 10841645805132531666786792405311319418846637043199917731311876, …	(Folge A226529 in OEIS)
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21	<math>b^{2097152}+1</math>	1, 2524190, …<ref name="F21Prime">{{#if:\|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate\|Execute}}\|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}\| \|}}}}{{#if:Rytis Slatkevičius\|Rytis Slatkevičius: }}{{#if:\|{{#if:PrimeGrid: Generalized Fermat Prime Search n=2097152\|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle\|archivURL\|1={{#invoke:URLutil\|getNormalized\|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle\|TitelFormat\|titel=PrimeGrid: Generalized Fermat Prime Search n=2097152}}]{{#if:\| ({{{format}}})}}{{#if:\| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle\|Endpunkt\|titel={{{titelerg}}}}}}}}}\|{{#if:https://www.primegrid.com/primes/primes.php?project=GFN2097152&factors=+&only=ALL&announcements=ALL&sortby=size&dc=no&search=%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=PrimeGrid: Generalized Fermat Prime Search n=2097152}}}}\|[{{#invoke:URLutil\|getNormalized\|1=https://www.primegrid.com/primes/primes.php?project=GFN2097152&factors=+&only=ALL&announcements=ALL&sortby=size&dc=no&search=}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle\|TitelFormat\|titel={{#invoke:WLink\|getEscapedTitle\|1=PrimeGrid: Generalized Fermat Prime Search n=2097152}}}}]}}{{#if:\| ({{{format}}}{{#if:PrimeGrid{{#if: 2025-11-30 \| {{#if:{{#invoke:TemplUtl\|faculty\|}}	1}}}}	)	de	1}}}}\| ;	{{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle\|Endpunkt\|titel={{{titelerg}}}}}}}}}}}{{#if:https://www.primegrid.com/primes/primes.php?project=GFN2097152&factors=+&only=ALL&announcements=ALL&sortby=size&dc=no&search=%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=https://www.primegrid.com/primes/primes.php?project=GFN2097152&factors=+&only=ALL&announcements=ALL&sortby=size&dc=no&search=}}	URL ungültig}}}}{{#if:PrimeGrid: Generalized Fermat Prime Search n=2097152\|{{#if:{{#invoke:WLink\|isValidLinktext\|1=PrimeGrid: Generalized Fermat Prime Search n=2097152\|lines=0}}	Linktext ungültig}}}}{{#if: \| In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle\|TitelFormat\|titel={{{werk}}}}}}}{{#if: PrimeGrid\| PrimeGrid{{#if: \|,\|{{#if: 2025-11-30 \| {{#if:{{#invoke:TemplUtl\|faculty\|}}\|;\|,}}}}}}}}{{#if: \| {{#if:{{#invoke:DateTime\|format\|{{{datum}}}\|noerror=1}}	format\|{{{datum}}}\|T._Monat JJJJ}}	failure\|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, `datum={{{datum}}}`\|class=Zitationswartung}} }}{{#if: \|,\|{{#if: 2025-11-30 \| {{#if:{{#invoke:TemplUtl\|faculty\|}}\|;\|,}}}}}}}}{{#if: \| S. {{{seiten}}}{{#if: \|,\|{{#if: 2025-11-30 \| {{#if:{{#invoke:TemplUtl\|faculty\|}}\|;\|,}}}}}}}}{{#if: {{#invoke:TemplUtl\|faculty\|}}\| {{#if:PrimeGrid\|{{#if:\|archiviert\|ehemals}}\|{{#if:\|Archiviert\|Ehemals}}}} {{#if:\|vom\|im}} Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl\|faculty\|}}\| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: \| am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate\|Execute}}\|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}\|{{{archiv-datum}}}{{#if:31917	;}}}}{{#if: 2025-11-30\| {{#if:PrimeGrid{{#invoke:TemplUtl\|faculty\|}}\|abgerufen\|Abgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str\|len\| {{#invoke:DateTime\|format\| 2025-11-30 \|ISO\|noerror=1}} }}	4=im Jahr	7=im	10=am	failure\|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, `abruf=2025-11-30`\|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime\|format\|2025-11-30\|T._Monat JJJJ}}	failure\|1=Vorlage:Internetquelle \| `abruf=`2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} }}{{#if:{{#ifeq:de\|de	1}}}}\|{{#if:PrimeGrid{{#if: 2025-11-30 \| {{#if:{{#invoke:TemplUtl\|faculty\|}}	1}}}}	(	\| (}} }}{{#ifeq:{{#if:de\|de\|de}}\|de\|\| {{#invoke:Multilingual\|format\|{{{sprache}}}\|slang=!\|split=[%s,]+\|shift=m\|separator=, }}}}{{#if: \|{{#ifeq:{{#if:de\|de\|de}}\|de\|\|, }}{{{kommentar}}}}})}}{{#if: {{#if: 2025-11-30 \| {{#if:{{#invoke:TemplUtl\|faculty\|}}\|\|1}} }}\|{{#if: \|: {{ #if:	„{{ #ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl\|faculty\|}}\|de-ch\|de}}\|{{#if: {{#invoke:templutl\|faculty\|}}\|de-ch\|de}}\|de}} \| de	Vorlage:Str trim	flat}} }}“	faculty\|}}\|de-ch\|de}}\|{{#if: {{#invoke:templutl\|faculty\|}}\|de-ch\|de}}\|de}} \| de	„Vorlage:Str trim“	quote	1={{#if:	flat}}	flat}} }}	faculty\|}}\|de-CH\|de}}	3=1}} }} }}{{#if:	: }}{{#if: \| , deutsch: „“ }})	{{#if:	, deutsch: „“ }})	(deutsch: „“) }} }} }}{{#if: {{{zitat}}}	{{#if:	{{#if: {{{zitat}}}	Vorlage:": `Text=` und `1=` gleichzeitig, bzw. 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(T).) {{#if:	\| Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch:	0\|=	#default= {{#if:	}} }}{{#invoke:TemplatePar\|check	all = inline= url=	opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked=	cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link	errNS = 0	template = Vorlage:Toter Link	format = @@@	preview = 1 }}{{#if: https://www.primegrid.com/primes/primes.php?project=GFN2097152&factors=+&only=ALL&announcements=ALL&sortby=size&dc=no&search=	isWebURL\|https://www.primegrid.com/primes/primes.php?project=GFN2097152&factors=+&only=ALL&announcements=ALL&sortby=size&dc=no&search=}}	{{#if:	}} }} }}{{#if:	format	noerror=1}}	{{#if:	}} }} }}{{#switch: deadurl	deadurl\|=	#default= {{#if:	}} }}[https://www.primegrid.com/primes/primes.php?project=GFN2097152&factors=+&only=ALL&announcements=ALL&sortby=size&dc=no&search= }}\|{{#switch:	=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://www.primegrid.com/primes/primes.php?project=GFN2097152&factors=+&only=ALL&announcements=ALL&sortby=size&dc=no&search=	[20] }} (Seite {{#switch:\|no\|0\|=\|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: \| , festgestellt im {{#invoke:DateTime\|format	F Y}} }}. 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(T).) {{#if:	\| Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch:	0\|=	#default= {{#if:	}} }}{{#invoke:TemplatePar\|check	all = inline= url=	opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked=	cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link	errNS = 0	template = Vorlage:Toter Link	format = @@@	preview = 1 }}{{#if: https://www.primegrid.com/primes/primes.php?project=GFN2097152&factors=+&only=ALL&announcements=ALL&sortby=size&dc=no&search=	isWebURL\|https://www.primegrid.com/primes/primes.php?project=GFN2097152&factors=+&only=ALL&announcements=ALL&sortby=size&dc=no&search=}}	{{#if:	}} }} }}{{#if:	format	noerror=1}}	{{#if:	}} }} }}{{#switch:	deadurl\|=	#default= {{#if:	}} }}[https://www.primegrid.com/primes/primes.php?project=GFN2097152&factors=+&only=ALL&announcements=ALL&sortby=size&dc=no&search= }} }}}}}}}}}}{{#if:\| {{#invoke:Vorlage:Internetquelle\|archivBot\|stamp={{{archiv-bot}}}\|text={{#if:\|Vorlage:Webarchiv/archiv-bot}} }}}} {{#invoke:TemplatePar\|check	all= url= titel=	opt= autor= hrsg= format= sprache= titelerg= werk= seiten= datum= abruf= zugriff= abruf-verborgen= archiv-url= archiv-datum= archiv-bot= kommentar= zitat= AT= CH= offline=	0 \| Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Internetquelle}}	template= Vorlage:Internetquelle	format=0	preview=1 }}</ref>

Stand: 30. November 2025

Vorlage:Klappleiste/Ende

Die kleinsten <math>b</math> (mit <math>b \geq 2</math>), für die <math>F_n(b)</math> erstmals eine Primzahl ergibt, kann man der obigen Tabelle entnehmen, was die folgende Liste ergibt:

2, 2, 2, 2, 2, 30, 102, 120, 278, 46, 824, 150, 1534, 30406, 67234, 70906, 48594, 62722, 24518, 75898, 919444, … (Folge A056993 in OEIS)

Die 10 größten bekannten verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen

Der folgenden Liste kann man die 10 größten bekannten verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen entnehmen. Sämtliche Entdecker dieser Primzahlen sind Teilnehmer des PrimeGrid-Projektes. In der zweiten Spalte steht, die wievieltgrößte bekannte Primzahl diese Fermatsche Primzahl im Moment ist.

Vorlage:Klappleiste/Anfang

Rang	0 \| span \| sup}} class="fussnoten-marke" data-annotationpair-m="{{#invoke:URLutil\|anchorencode\|1=a\|2=1}}">{{#invoke:TemplUtl\|nowiki1\|a}}</{{#ifeq: \| 0 \| span \| sup}}>{{#switch:0\|10\|11=\|#default={{#invoke:TemplatePar\|match	1=1=+	2=SUP=n	3=gruppe=*	template=Vorlage:FN	cat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Fußnoten }}{{#switch: ERROR	{{#switch: Vorlage:Str match \|[\|] = ERROR \|(Direkteingabe der Klammern)}}	{{#switch: Vorlage:Str match \|91\|93 = ERROR \|(HTML-Entität dezimal)}}	{{#switch: Vorlage:Str match \|5b\|5d = ERROR \|(HTML-Entität hexadezimal)}}	{{#switch: Vorlage:Str match \|lbrack\|rbrack = ERROR \|(benannte HTML-Entität)}} =Vorlage:FN, Fehler in Parameter 1: Keine eckigen Klammern verwenden, das führt sonst zu Verwechslungen mit dem offiziellen MediaWiki-Belegsystem. }}}}<ref name="primesutmedu1" /><ref name="primesutmedu2" /><ref name="listefermat" /> \|\| Primzahl \|\| F_n(b) \|\| Dezimalstellen von F_n(b) \|\| Entdeckungsdatum \|\| Entdecker \|\| Quelle
1	6	<math>2524190^{2097152} + 1</math>	<math>F_{21}(2524190)</math>	13.426.224	17. Oktober 2025	Tom Greer (USA)	<ref name="primegrid2524190" />
2	15	<math>4 \cdot 5^{11786358} + 1 = (2 \cdot 5^{5893179})^{2^1} + 1</math>	<math>F_{1}(5893179)</math>	8.238.312	1. Oktober 2024	Ryan Propper	<ref name="primegrid11786358" />
3	20	<math>5336284^{1048576} + 1</math>	<math>F_{20}(5336284)</math>	7.054.022	2. November 2025	Antonio Lucendo	<ref name="primegrid5336284" />
4	23.	<math>3843236^{1048576} + 1</math>	<math>F_{20}(3843236)</math>	6.904.556	22. Dezember 2024	Jonas Skendelis	<ref name="primegrid3843236" />
5	25.	<math>1963736^{1048576} + 1</math>	<math>F_{20}(1963736)</math>	6.598.776	26. September 2022	Tom Greer (USA)	<ref name="primegrid1963736" />
6	26.	<math>1951734^{1048576} + 1</math>	<math>F_{20}(1951734)</math>	6.595.985	9. August 2022	Kazuya Tanaka (JAP)	<ref name="primegrid1951734" />
7	29.	<math>1059094^{1048576} + 1</math>	<math>F_{20}(1059094)</math>	6.317.602	31. Oktober 2018	Rob Gahan (IRL)	<ref name="primegrid1059094" />
8	31.	<math>919444^{1048576} + 1</math>	<math>F_{20}(919444)</math>	6.253.210	29. August 2017	Sylvanus A. Zimmerman (USA)	<ref name="primegrid919444" />
9	32.	<math>81 \cdot 2^{20498148} + 1 = (3 \cdot 2^{5124537})^{2^2} + 1</math>	<math>F_2(3 \cdot 2^{20498148})</math>	6.170.560	13. Juni 2023	Ryan Propper	<ref name="primegrid20498148" />
10	34.	<math>4 \cdot 5^{8431178} + 1 = (2 \cdot 5^{4215589})^{2^1} + 1</math>	<math>F_1(2 \cdot 2^{4215589})</math>	5.893.142	2. Januar 2024	Ryan Propper	<ref name="primegrid4215589" />

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=Vorlage:FNZ, Fehler in Parameter 1: Keine eckigen Klammern verwenden, das führt sonst zu Verwechslungen mit dem offiziellen MediaWiki-Belegsystem. }}}} | |Vorlage:FNBox, Parameter 1 leer oder nicht korrekt angegeben.

}}}}

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Vorlage:Klappleiste/Ende

Die meisten der oben genannten Ergebnisse konnten natürlich nur mit Hilfe von Computern gefunden werden.

Siehe auch

Literatur

Solomon W. Golomb: On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities. In: Canad. J. Math., Vol. 15, 1963, S. 475–478.
Florian Luca: The Anti-Social Fermat Number. In: American Mathematical Monthly, Vol. 107, Nr. 2, Februar 2000, S. 171–173.
Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer: On the Convergence of Series of Reciprocals of Primes Related to the Fermat Numbers. In: Journal of Number Theory, Vol. 97, Nr. 1 (Nov. 2002), S. 95–112.
Aleksander Grytczuk, Florian Luca, Marek Wójtowicz: Another note on the greatest prime factors of Fermat numbers. In: Southeast Asian Bulletin of Mathematics, Vol. 25, Nr. 1 (Juli 2001), S. 111–115.
Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer: 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry. In: Canad. J. Math., S. 132–138.
Fredrick Kennard: Unsolved Problems in Mathematics. Lulu.com, Morrisville (NC) 2015. ISBN 978-1312938113. S. 56.

Weblinks

Distributed Search for Fermat Number Divisors.
{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Fermat Number. In: MathWorld (englisch). {{#if: FermatNumber | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | FermatNumber | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
Factors of generalized Fermat numbers found by Björn & Riesel.
Factors of generalized Fermat numbers found after Björn & Riesel.

Einzelnachweise

<references> <ref name="Crandall"> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="EmilArtin"> Emil Artin: Galoissche Theorie. Verlag Harri Deutsch, Zürich 1973, ISBN 3-87144-167-8, S. 85. </ref> <ref name="euler"> Leonhard Euler: Observationes de theoremate quodam Fermatiano aliisque ad numeros primos spectantibus. (PDF; 399 kB). [E26]. In: Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 6 (1732/33), St. Petersburg 1738, S. 103–107, hier S. 104. Nachdruck in Opera Omnia, Band 1/2, S. 1–5. Englische Übersetzung von Ian Bruce: Observations concerning a certain theorem of Fermat and other considerations regarding prime numbers. (PDF; 100 kB) bzw. von David Zhao: Oberservations on a certain theorem of Fermat and on others regarding prime numbers. (PDF; 101 kB). </ref> <ref name="Golomb"> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="Kennard"> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="Luca"> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="MathWorld"> {{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}| |}}}}{{#if:Luigi Morelli|Luigi Morelli: }}{{#if:|{{#if:Distributed Search for Fermat Number Divisors – NEWS|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Distributed Search for Fermat Number Divisors – NEWS}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:http://www.fermatsearch.org/news.html%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Distributed Search for Fermat Number Divisors – NEWS}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=http://www.fermatsearch.org/news.html}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Distributed Search for Fermat Number Divisors – NEWS}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:{{#if: 2016-12-19 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}

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Fermat-Zahlen

Fermatsche Primzahlen

Faktorisierungsergebnisse von Fermat-Zahlen

Eigenschaften

Ungelöste Probleme

Warum es wahrscheinlich keine weiteren Fermat-Primzahlen gibt

Geometrische Anwendung der Fermatschen Primzahlen

Verallgemeinerte Fermatsche Zahlen

Verallgemeinerte Fermatsche Zahlen der Form Fn(b)

Liste der Primzahlen der Form Fn(b)

Die 10 größten bekannten verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen

Siehe auch

Literatur

Weblinks

Einzelnachweise

Verallgemeinerte Fermatsche Zahlen der Form F_n(b)

Liste der Primzahlen der Form F_n(b)