Schläfli-Symbol
Das Schläfli-Symbol, benannt nach dem Schweizer Mathematiker Ludwig Schläfli, wird in der Form <math>\left\{ p, q, \ldots, v, w \right\}</math> benutzt, um reguläre Polygone, Polyeder und Polytope in höheren Dimensionen zu beschreiben.
Wenn <math>p</math> eine natürliche Zahl ist, beschreibt das Symbol <math>\left\{p\right\}</math> ein regelmäßiges Polygon (<math>p</math>-Eck). Ist <math>p</math> ein nicht notwendig gekürzter Bruch, dann beschreibt es einen Stern.
Das Symbol <math>\left\{p, q\right\}</math> beschreibt einen Platonischen Körper, einen Kepler-Poinsot-Körper oder eine Parkettierung mittels regelmäßiger <math>p</math>-Ecke, wobei <math>q</math> angibt, wie viele solcher Polygone an jeder Ecke zusammenstoßen.
Die Inversion <math>\left\{ w, v, \ldots, q, p \right\}</math> eines Schläfli-Symbols liefert das dazu duale Polytop. Wenn das Schläfli-Symbol ein Palindrom darstellt, d. h. wenn <math>\left\{ p, q, \ldots, v, w \right\} = \left\{ w, v, \ldots, q, p \right\}</math>, ist das Polytop selbstdual.
Geschichte
Ludwig Schläfli führte das nach ihm benannte Symbol in der Notation <math>(p, q, \ldots)</math> und der Bezeichnung Charakter in seiner in den Jahren 1850–1852 entstandenen<ref name="Schläfli_Nachwort">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Arbeit Theorie der vielfachen Kontinuität ein.<ref name="Schläfli">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> In ihr beschrieb er als erster alle regulären vierdimensionalen Polytope, alle Parkettierungen des vierdimensionalen euklidischen Raums, vier der zehn regelmäßigen vierdimensionalen Sternpolytope und alle regulären höherdimensionalen Polytope und Parkettierungen. Die Notation <math>\left\{p, q, \ldots \right\}</math> mit geschweiften Klammern wurde von Harold Scott MacDonald Coxeter eingeführt.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 114.">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Geometrische Interpretation des Schläfli-Symbols
Ein aus <math>d</math> Zahlen <math>\left\{ p, q, r, \ldots, u, v, w \right\}</math> bestehendes Schläfli-Symbol beschreibt ein regelmäßiges <math>(d+1)</math>-dimensionales Polytop oder eine Parkettierung des <math>d</math>-dimensionalen Raums. Das Polytop oder die Parkettierung ist aus Zellen mit dem Schläfli-Symbol <math>\left\{ p, q, r, \ldots, u, v \right\}</math> aufgebaut. Die Zellen sind immer Polytope der nächst niedrigeren Dimension, selbst wenn das Schläfli-Symbol eine Parkettierung beschreibt. Diese Definition kann rekursiv angewendet werden, so dass beispielsweise <math>\left\{ p, q, r, \ldots, u \right\}</math> die Polytope beschreibt, aus denen die Zellen aufgebaut sind, und <math>\left\{ p \right\}</math> die Flächen der Polyeder, aus denen das Polytop oder die Parkettierung besteht. Umgekehrt beschreibt das Schläfli-Symbol <math>\left\{q, r, \ldots, u, v, w \right\}</math> die Eckfigur des Polytops. Sie definiert die Anordnung der Zellen um eine Ecke des Polytops oder der Parkettierung. Die Eckfigur ist immer ein Polytop der nächst niedrigeren Dimension, selbst wenn das Schläfli-Symbol eine Parkettierung beschreibt.
Beispiele
Strecke
<math>\left\{\right\}</math> bezeichnet eine Strecke (ein eindimensionales Simplex).<ref name="Coxeter_1973" details="S. 129." />
Regelmäßige Polygone
<math>\left\{n\right\}</math> bezeichnet ein regelmäßiges n-Eck.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 2." /> Als Grenzfall bezeichnet <math>\left\{\infty\right\}</math> ein Apeirogon (eine Aneinanderreihung gleich langer Strecken auf einer Geraden).<ref name="Coxeter_1973" details="S. 45. />
Sterne
Regelmäßige Sterne werden mit dem Schläfli-Symbol <math display="inline">\left\{\frac{n}{k}\right\}</math> (alternativ <math>\left\{n/k\right\}</math>) bezeichnet, wobei <math>n</math> die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder <math>k</math>-te Punkt verbunden wird.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 93–94." /> Dabei ist der Stern <math display="inline">\left\{\frac{n}{n-k}\right\}</math> identisch mit dem Stern <math display="inline">\left\{\frac{n}{k}\right\}</math>. Daher wird zur Bezeichnung eines Sterns üblicherweise <math display="inline">k < \frac{n}{2}</math> gewählt.
- Beispiel
Das Pentagramm <math display="inline">\left\{\frac{5}{2}\right\}</math> ergibt sich, wenn beim Verbinden der fünf Eckpunkte eines Fünfecks jeweils ein Punkt übersprungen wird.
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Platonische Körper
Platonische Körper werden mit <math>\left\{p, q\right\}</math> bezeichnet. Dabei sind <math>p</math> die Zahl der Ecken des verwendeten Polygons und <math>q</math> die Zahl der an einer Ecke zusammenstoßenden Polygone.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 5." /> Das Schläfli-Symbol beschreibt <math>\left\{ q \right\}</math> die Eckfigur der Platonischen Körper.
- <math>\left\{3, 3\right\}</math> bezeichnet das Tetraeder.
- <math>\left\{3, 4\right\}</math> bezeichnet das Oktaeder.
- <math>\left\{4, 3\right\}</math> bezeichnet den Würfel.
- <math>\left\{3, 5\right\}</math> bezeichnet das Ikosaeder.
- <math>\left\{5, 3\right\}</math> bezeichnet das Dodekaeder.
Das Tetraeder ist selbstdual. Das Oktaeder und der Würfel sind einander dual, genauso das Ikosaeder und das Dodekaeder.
Platonische Parkettierungen
Platonische Parkettierungen werden auch mit <math>\left\{p, q\right\}</math> bezeichnet.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 59." /> Das entscheidende Merkmal, in dem sich das Schläfli-Symbol eines Platonischen Körpers <math>\left\{p, q\right\}</math> von dem einer Platonischen Parkettierung <math>\left\{p, q\right\}</math> unterscheidet, ist, dass für einen Körper <math display="inline">\frac{1}{p} + \frac{1}{q} > \frac{1}{2}</math> gilt,<ref name="Coxeter_1973" details="S. 5." /> für eine Parkettierung hingegen <math display="inline">\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{2}</math>.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 59." /> Auch hier beschreibt <math>\left\{ q \right\}</math> die Eckfigur der Parkettierung.
- <math>\left\{3, 6\right\}</math> bezeichnet die Dreieckparkettierung.
- <math>\left\{6, 3\right\}</math> bezeichnet die Sechseckparkettierung.
- <math>\left\{4, 4\right\}</math> bezeichnet die Quadratparkettierung.
Das Quadratparkettierung ist selbstdual. Die Dreieckparkettierung und die Sechseckparkettierung sind einander dual.
Kepler-Poinsot-Körper
Die Kepler-Poinsot-Körper werden auch mit <math>\left\{p, q\right\}</math> bezeichnet. Hierbei ist entweder <math display="inline">p = \frac{5}{2}</math> oder <math display="inline">q = \frac{5}{2}</math>.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 96–100." /> Die Eckfigur wird wiederum durch <math>\left\{ q \right\}</math> beschrieben.
- <math display="inline">\left\{3, \frac{5}{2}\right\}</math> bezeichnet das Große Ikosaeder.
- <math display="inline">\left\{\frac{5}{2}, 3\right\}</math> bezeichnet das Große Sterndodekaeder.
- <math display="inline">\left\{5, \frac{5}{2}\right\}</math> bezeichnet das Große Dodekaeder.
- <math display="inline">\left\{\frac{5}{2}, 5\right\}</math> bezeichnet das Kleine Sterndodekaeder.
Das Große Ikosaeder und das Große Sterndodekaeder sind einander dual, ebenso das Große Dodekaeder und das Kleine Sterndodekaeder.
Parkettierung des dreidimensionalen Raumes
Eine Parkettierung des dreidimensionalen Raumes mit regelmäßigen Polyedern wird durch das Schläfli-Symbol <math>\left\{p,q,r\right\}</math> bezeichnet. Die Parkettierung ist aus dreidimensionalen Polyedern <math>\left\{p,q\right\}</math> aufgebaut, von denen jeweils <math>r</math> an einer Kante zusammenstoßen. Die Eckfigur ist <math>\left\{q,r\right\}</math>. Es existiert nur eine solche dreidimensionale Parkettierung:<ref name="Coxeter_1973" details="S. 68–69." />
- <math>\left\{4,3,4\right\}</math> bezeichnet die Parkettierung des dreidimensionalen Raumes mit Würfeln <math>\left\{4,3\right\}</math>. Die Eckfigur ist ein reguläres Oktaeder <math>\left\{3,4\right\}</math>.
Das Würfelparkettierung ist selbstdual.
Vierdimensionale Polytope
Das Schläfli-Symbol <math>\left\{p,q,r\right\}</math> bezeichnet ein reguläres vierdimensionales Polytop, das aus dreidimensionalen Polyedern <math>\left\{p,q\right\}</math> aufgebaut ist, von denen jeweils <math>r</math> an einer Kante zusammenstoßen.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 136" /> Die Eckfigur ist <math>\left\{q,r\right\}</math>.
- <math>\left\{3,3,3\right\}</math> bezeichnet das reguläre 5-Zell, das aus fünf regulären Tetraedern <math>\left\{3,3\right\}</math> besteht, von denen jeweils 3 an einer Kante zusammenstoßen. Die Eckfigur ist ein reguläres Tetraeder <math>\left\{3,3\right\}</math>.
- <math>\left\{4,3,3\right\}</math> bezeichnet das reguläre 8-Zell (vierdimensionaler Hyperwürfel oder auch Tesserakt), der aus acht Würfeln <math>\left\{4,3\right\}</math> besteht, von denen jeweils 3 an einer Kante zusammenstoßen. Die Eckfigur ist ein reguläres Tetraeder <math>\left\{3,3\right\}</math>.
- <math>\left\{3,3,4\right\}</math> bezeichnet das reguläre 16-Zell, das aus 16 regulären Tetraedern <math>\left\{3,3\right\}</math> besteht, von denen jeweils 4 an einer Kante zusammenstoßen. Die Eckfigur ist ein reguläres Oktaeder <math>\left\{3,4\right\}</math>.
- <math>\left\{3,4,3\right\}</math> bezeichnet das reguläre 24-Zell, das aus 24 regulären Oktaedern <math>\left\{3,4\right\}</math> besteht, von denen jeweils 3 an einer Kante zusammenstoßen. Die Eckfigur ist ein Würfel <math>\left\{4,3\right\}</math>.
- <math>\left\{5,3,3\right\}</math> bezeichnet das reguläre 120-Zell, das aus 120 regulären Dodekaedern <math>\left\{5,3\right\}</math> besteht, von denen jeweils 3 an einer Kante zusammenstoßen. Die Eckfigur ist ein reguläres Tetraeder <math>\left\{3,3\right\}</math>.
- <math>\left\{3,3,5\right\}</math> bezeichnet das reguläre 600-Zell, das aus 600 regulären Tetraedern <math>\left\{3,3\right\}</math> besteht, von denen jeweils 5 an einer Kante zusammenstoßen. Die Eckfigur ist ein reguläres Ikosaeder <math>\left\{3,5\right\}</math>.
Das 5-Zell und das 24-Zell sind selbstdual. Das 8-Zell und das 16-Zell sind einander dual, genauso das 120-Zell und das 600-Zell.
Im vierdimensionalen Raum existieren außerdem zehn reguläre Sternpolytope mit folgenden Schläfli-Symbolen:<ref name="Coxeter_1973" details="S. 263–264." />
- <math display="inline">\left\{\frac{5}{2},5,3\right\}</math>
- <math display="inline">\left\{3,5,\frac{5}{2}\right\}</math>
- <math display="inline">\left\{5,\frac{5}{2},5\right\}</math>
- <math display="inline">\left\{\frac{5}{2},3,5\right\}</math>
- <math display="inline">\left\{5,3,\frac{5}{2}\right\}</math>
- <math display="inline">\left\{\frac{5}{2},5,\frac{5}{2}\right\}</math>
- <math display="inline">\left\{3,\frac{5}{2},5\right\}</math>
- <math display="inline">\left\{5,\frac{5}{2},3\right\}</math>
- <math display="inline">\left\{\frac{5}{2},3,3\right\}</math>
- <math display="inline">\left\{3,3,\frac{5}{2}\right\}</math>
Parkettierungen des vierdimensionalen Raumes
Im vierdimensionalen euklidischen Raum existieren folgende Parkettierungen:<ref name="Coxeter_1973" details="S. 136" />
- <math>\left\{4,3,3,4\right\}</math> bezeichnet die Parkettierung des vierdimensionalen Raumes mit regulären 8-Zellen <math>\left\{4,3,3\right\}</math>. Die Eckfigur ist ein 16-Zell <math>\left\{3,3,4\right\}</math>.
- <math>\left\{3,3,4,3\right\}</math> bezeichnet die Parkettierung des vierdimensionalen Raumes mit regulären 16-Zellen <math>\left\{3,3,4\right\}</math>. Die Eckfigur ist ein 24-Zell <math>\left\{3,4,3\right\}</math>.
- <math>\left\{3,4,3,3\right\}</math> bezeichnet die Parkettierung des vierdimensionalen Raumes mit regulären 24-Zellen <math>\left\{3,4,3\right\}</math>. Die Eckfigur ist ein 8-Zell <math>\left\{4,3,3\right\}</math>.
Die Parkettierung mit regulären 8-Zellen ist selbstdual. Die Parkettierung mit regulären 16-Zellen und die mit regulären 24-Zellen sind einander dual.
Höherdimensionale Polytope
In euklidischen Räumen der Dimensionen <math>d \ge 5</math> existieren folgende reguläre Polytope:<ref name="Coxeter_1973" details="S. 128–129." />
- <math>\left\{3^{d-1}\right\}</math> bezeichnet das <math>d</math>-Simplex, bestehend aus <math>(d-1)</math>-Simplexen <math>\left\{3^{d-2}\right\}</math> mit <math>(d-1)</math>-Simplexen <math>\left\{3^{d-2}\right\}</math> als Eckfigur.
- <math>\left\{4,3^{d-2}\right\}</math> bezeichnet den <math>d</math>-dimensionalen Hyperwürfel, bestehend aus <math>(d-1)</math>-dimensionalen Würfeln <math>\left\{4,3^{d-3}\right\}</math> mit <math>(d-1)</math>-Simplexen <math>\left\{3^{d-2}\right\}</math> als Eckfigur.
- <math>\left\{3^{d-2},4\right\}</math> bezeichnet das <math>d</math>-dimensionale Kreuzpolytop, bestehend aus <math>(d-1)</math>-Simplexen <math>\left\{3^{d-2}\right\}</math> mit <math>(d-1)</math>-dimensionalen Kreuzpolytopen <math>\left\{3^{d-3},4\right\}</math> als Eckfigur.
Das <math>d</math>-Simplex ist selbstdual. Der <math>d</math>-dimensionale Hyperwürfel und das <math>d</math>-dimensionale Kreuzpolytop sind einander dual.
In Dimensionen <math>d \ge 5</math> existieren keine Sternpolytope.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 263–264." />
Parkettierung höherdimensionaler Räume
In euklidischen Räumen der Dimensionen <math>d \ge 5</math> existiert folgende Parkettierung:<ref name="Coxeter_1973" details="S. 128–129." />
- <math>\left\{4,3^{d-2},4\right\}</math> bezeichnet die Parkettierung des <math>d</math>-dimensionalen Raums mit <math>d</math>-dimensionalen Hyperwürfeln <math>\left\{4,3^{d-2}\right\}</math> mit <math>d</math>-dimensionalen Kreuzpolytopen <math>\left\{3^{d-2},4\right\}</math> als Eckfigur.
Sie ist selbstual.
Erweiterungen des Schläfli-Symbols
Schläfli-Symbol für reguläre zusammengesetzte Polyeder
Das Schläfli-Symbol wurde von Coxeter erweitert, um reguläre zusammengesetzte Polyeder (englisch: regular compound polyhedra, kurz: regular compounds<ref name="Coxeter_1973" details="S. 47." />), auch regelmäßige Körperkomplexe genannt,<ref name="Toth_1965" details="S. 79.">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> zu beschreiben. Edmund Hess, der Entdecker von vier der fünf zusammengesetzten Polyeder, nannte sie Systeme von sich regelmäßig kreuzenden Polyedern.<ref name="Hess_1876" details="S. 45.">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Hierzu definiert Coxeter das Schläfli-Symbol<ref name="Coxeter_1973" details="S. 48." />
- <math>c \left\{m,n\right\} \, {[ d \left\{p,q\right\} ]} \, e \left\{s,t\right\}</math>.
Es gibt an, dass <math>d</math> unterschiedliche Polyeder <math>\left\{p,q\right\}</math> zusammen die Ecken eines regulären Polyeders <math>\left\{m,n\right\}</math> besitzen, wobei jede Ecke <math>c</math> Mal gezählt wird, und die Flächen eines regulären Polyeders <math>\left\{s,t\right\}</math> besitzen, wobei jede Fläche <math>e</math> Mal gezählt wird. Wenn das Polyeder der Ecken nicht regulär ist, wird <math>c \left\{m,n\right\}</math> weggelassen; wenn das Polyeder der Flächen nicht regulär ist, wird <math>e \left\{s,t\right\}</math> weggelassen.
Im dreidimensionalen Raum gibt es fünf reguläre zusammengesetzte Polyeder:<ref name="Coxeter_1973" details="S. 47–50." />
- Das Sterntetraeder <math>\left\{4,3\right\} \, {[ 2 \left\{3,3\right\} ]} \, \left\{3,4\right\}</math>, das aus zwei Tetraedern <math>\left\{3,3\right\}</math> zusammengesetzt ist.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 48." /> Seine Ecken liegen auf einem Würfel <math>\left\{4,3\right\}</math> und seine Flächen auf einem Oktaeder <math>\left\{3,4\right\}</math>.
- Das zusammengesetzte Polyeder aus fünf sich kreuzenden Tetraedern <math>\left\{5,3\right\} \, {[ 5 \left\{3,3\right\} ]} \, \left\{3,5\right\}</math>.<ref name="Hess_1876" details="S. 45." /> Seine Ecken liegen auf einem Dodekaeder <math>\left\{5,3\right\}</math> und seine Flächen auf einem Ikosaeder <math>\left\{3,5\right\}</math>. Es existiert in zwei chiralen Formen.
- Das zusammengesetzte Polyeder aus zehn sich kreuzenden Tetraedern <math>2 \left\{5,3\right\} \, {[ 10 \left\{3,3\right\} ]} \, 2 \left\{3,5\right\}</math>.<ref name="Hess_1876" details="S. 45." /> Es besteht aus der Zusammensetzung der zwei chiralen Formen des zusammengesetzten Polyeders aus fünf sich kreuzenden Tetraedern.
- Das zusammengesetzte Polyeder aus fünf sich kreuzenden Würfeln <math>2 \left\{5,3\right\} \, {[ 5 \left\{4,3\right\} ]}</math>.<ref name="Hess_1876" details="S. 52 und 68." /> Seine Ecken liegen auf einem Dodekaeder. Seine Flächen liegen nicht auf einem regulären Polyeder.
- Das zusammengesetzte Polyeder aus fünf sich kreuzenden Oktaedern <math>{[ 5 \left\{3,4\right\} ]} \, 2 \left\{3,5\right\}</math>.<ref name="Hess_1876" details="S. 39." /> Seine Ecken liegen nicht auf einem regulären Polyeder. Seine Flächen liegen auf einem Ikosaeder.
Schläfli-Symbol für reguläre zusammengesetzte 4-Polytope
Das Schläfli-Symbol für reguläre zusammengesetzte 4-Polytope ist analog zum Schläfli-Symbol für reguläre zusammengesetzte Polyeder aufgebaut:<ref name="Coxeter_1973" details="S. 267–272." />
- <math>c \left\{m,n,o\right\} \, {[ d \left\{p,q,r\right\} ]} \, e \left\{s,t,u\right\}</math>.
Es gibt an, dass <math>d</math> unterschiedliche Polytope <math>\left\{p,q,r\right\}</math> zusammen die Ecken eines regulären Polytops <math>\left\{m,n,o\right\}</math> besitzen, wobei jede Ecke <math>c</math> Mal gezählt wird, und die Zellen in den Hyperebenen eines regulären Polytops <math>\left\{s,t,u\right\}</math> liegen, wobei jede Hyperebene <math>e</math> Mal gezählt wird. Wenn das Polytop der Ecken nicht regulär ist, wird <math>c \left\{m,n,o\right\}</math> weggelassen; wenn das Polytop der Hyperebenen nicht regulär ist, wird <math>e \left\{s,t,u\right\}</math> weggelassen.
Beispielsweise bedeutet das Schläfli-Symbol <math>\left\{3,3,5\right\} \, {[ 5 \left\{3,4,3\right\} ]} \, \left\{5,3,3\right\}</math>, dass fünf sich kreuzende 24-Zelle <math>\left\{3,4,3\right\}</math> so angeordnet werden können, dass sie die Ecken eines 600-Zells <math>\left\{3,3,5\right\}</math> ergeben und dass ihre Zellen in den Hyperebenen eines 120-Zells <math>\left\{5,3,3\right\}</math> liegen.
Es existieren 52 reguläre zusammengesetzte 4-Polytope. Von diesen hat Coxeter 46 angegeben.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 267–272." /><ref name="Coxeter_1973" details="S. 305." /> Er schreibt elf davon Pieter Schoute und eines Auguste Urech zu.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 287." /> Peter McMullen hat weitere sechs gefunden und bewiesen, dass die Aufzählung damit vollständig ist.<ref name="McMullen_2018">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Schläfli-Symbol für quasireguläre Polyeder
Coxeter verwendet das erweiterte Schläfli-Symbol <math>\left\{\begin{array}{c} p \\ q \end{array} \right\}</math> zur Beschreibung von quasiregulären Polyedern. Es besitzt zwei gleichwertige geometrische Interpretationen. Ein Polyeder <math>\left\{p,q\right\}</math> und sein bezüglich der gemeinsamen Ankugel duales Polyeder <math>\left\{q,p\right\}</math> haben als Schnittmenge ein quasireguläres Polyeder, dessen Ecken die Mittelpunkte der Kanten von <math>\left\{p,q\right\}</math> oder <math>\left\{q,p\right\}</math> sind. Dabei ist die Ankugel die Kugel, die die Mittelpunkte der Kanten der beiden Polyeder berührt. Das Polyeder <math>\left\{\begin{array}{c} p \\ q \end{array} \right\}</math> besteht aus Flächen <math>\left\{p\right\}</math> und <math>\left\{q\right\}</math>, wobei um eine Ecke jeweils abwechselnd zwei <math>\left\{p\right\}</math> und zwei <math>\left\{q\right\}</math> angeordnet sind. Jede Fläche ist vollständig von den Flächen des jeweils anderen Typs umringt.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 17–18." /> Aus der Konstruktion ergibt sich, dass <math>\left\{\begin{array}{c} p \\ q \end{array} \right\}</math> dasselbe bedeutet wie <math>\left\{\begin{array}{c} q \\ p \end{array} \right\}</math>.
Die zweite geometrische Interpretation ergibt sich aus der Tatsache, dass das Polyeder <math>\left\{\begin{array}{c} p \\ q \end{array} \right\}</math> auch durch symmetrisches Abschneiden einer Umgebung der Ecken eines <math>\left\{p,q\right\}</math> oder <math>\left\{q,p\right\}</math> bis zum Mittelpunkt der an die jeweilige Ecke angrenzenden Kanten erzeugt werden kann.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 20." /> Das Abschneiden der Umgebung der Ecken wird Abstumpfung (englisch: truncation) genannt. Die Abstumpfung bis zum Mittelpunkt der Kanten wird Rektifikation genannt.
Es existieren folgende quasiregulären Polyeder:<ref name="Coxeter_1973" details="S. 17–18." /><ref name="Coxeter_1973" details="S. 100–102." />
- das Oktaeder <math>\left\{\begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array} \right\} = \left\{3,4\right\}</math>,
- das Kuboktaeder <math>\left\{\begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array} \right\}</math>,
- das Ikosidodekaeder <math>\left\{\begin{array}{c} 3 \\ 5 \end{array} \right\}</math> und
- die Sternpolyeder <math>\left\{\begin{array}{c} 5/2 \\ 5 \end{array} \right\}</math> und <math>\left\{\begin{array}{c} 5/2 \\ 3 \end{array} \right\}</math>.
Als Erweiterung der ersten oben beschriebenen Konstruktion ergibt sich durch die Überlagerung der dualen regulären Parkettierungen <math>\left\{3,6\right\}</math> und <math>\left\{6,3\right\}</math> die archimedische Parkettierung <math>\left\{\begin{array}{c} 3 \\ 6 \end{array} \right\}</math>, die aus Dreiecken und Sechsecken besteht.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 59–60." /> Sie wird auch als 3-6-3-6 bezeichnet.
Siehe auch
Weblinks
- {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Schläfli-Symbol. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
Einzelnachweise
<references />