5-Zell
Vorlage:Infobox Reguläres 4-Polytop
Das 5-Zell ist eines der sechs konvexen regulären vierdimensionalen Polytope (der Analoga der platonischen Körper im vierdimensionalen euklidischen Raum). Konvexe reguläre 4-Polytope werden von platonischen Körpern begrenzt, die in diesem Kontext Zellen genannt werden.<ref name="Volkert_2018" details="S. 56.">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Beim 5-Zell sind dies 5 regelmäßige Tetraeder. Das 5-Zell besteht außerdem aus 10 Flächen (gleichseitigen Dreiecken), 10 Kanten und 5 Ecken. Das Schläfli-Symbol des 5-Zells ist <math>\{3,3,3\}</math>. Es sagt aus, dass das 5-Zell aus Tetraedern <math>\{ 3, 3 \}</math> aufgebaut ist, von denen jeweils 3 an einer Kante aneinander grenzen.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 131.">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Die Eckfigur ist ein Tetraeder <math>\{ 3, 3 \}</math>, was bedeutet, dass an einer Ecke 4 Tetraeder aneinander grenzen. Außerdem grenzen an einer Fläche zwei Tetraeder aneinander. Das duale Polytop des 5-Zells ist ein 5-Zell in anderer Lage. Es ist daher selbstdual.
Geschichte
Das 5-Zell wurde von Ludwig Schläfli entdeckt und in seiner in den Jahren 1850–1852 entstandenen<ref name="Schläfli_1901_Vorwort">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="Schläfli_1950_Nachwort">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Arbeit Theorie der vielfachen Kontinuität vorgestellt.<ref name="Schläfli_1901" details="Abschnitte 17, 18 und 34.">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="Schläfli_1950" details="Abschnitte 17, 18 und 34.">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> In ihr beschrieb er als erster alle konvexen regulären 4-Polytope, alle Parkettierungen des vierdimensionalen euklidischen Raums, vier der zehn sternförmigen regulären 4-Polytope und alle regulären höherdimensionalen Polytope und Parkettierungen.
Da Schläflis Arbeit erst 1901, sechs Jahre nach seinem Tod, veröffentlicht wurde, wurden die regulären Polytope in den Jahren 1880–1900 mehrfach unabhängig voneinander wiederentdeckt,<ref name="Coxeter_1973" details="S. 143–144." /><ref name="Hess_1885" details="S. 31–32.">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="Brückner_1893" details="S. 50–51.">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="Volkert_2018" details="S. 70." /> unter anderem von Washington Irving Stringham,<ref name="Stringham_1880">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> G. Forchhammer,<ref name="Forchhammer_1881">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Reinhold Hoppe,<ref name="Hoppe_1882_1">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="Hoppe_1882_2">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Karl Rudel,<ref name="Rudel_1882">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Victor Schlegel,<ref name="Schlegel_1883">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Anton Puchta,<ref name="Puchta_1884_1">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="Puchta_1884_2">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Otto Biermann,<ref name="Biermann_1884">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> H. W. Curjel<ref name="Curjel_1899">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> und Thorold Gosset.<ref name="Gosset_1900">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Außerdem entdeckte Edmund Hess 1885 alle zehn sternförmigen regulären 4-Polytope.<ref name="Hess_1885" />
In der Anfangszeit der Forschung zu den regulären Polytopen gab es noch keine einheitliche Terminologie. Beispielsweise bezeichnete Ludwig Schläfli n-dimensionale Polytope als Polyscheme.<ref name="Schläfli_1901" details="Abschnitt 10." /><ref name="Schläfli_1950" details="Abschnitt 10." /> Die heute gebräuchliche Bezeichnung Polytop wurde von Reinhold Hoppe eingeführt.<ref name="Hoppe_1882_1" details="S. 30." /><ref name="Coxeter_1973" details="S. vi." /> Ludwig Schläfli bezeichnete das 5-Zell als Pentaschem,<ref name="Schläfli_1901" details="S. 46." /><ref name="Schläfli_1950" details="S. 216." /> während Washington Irving Stringham es Pentahedroid oder (5)-hedroid nannte.<ref name="Stringham_1880" details="S. 3." /> Die heute übliche Bezeichnung<ref name="Volkert_2018" details="S. 57." /> Fünfzell wurde von Victor Schlegel eingeführt.<ref name="Schlegel_1883" details="S. 433–434." /> Andere Bezeichnungen sind 4-Simplex oder Hypersimplex.<ref name="Volkert_2018" details="S. 57." />
Konstruktionen des 5-Zells
Der Beweis der Existenz der platonischen Körper (der regulären Polyeder im dreidimensionalen Raum) kann geführt werden, ohne sie explizit konstruieren zu müssen. Dazu müssen lediglich die fünf möglichen Anordnungen von regulären Polygonen um eine Ecke im dreidimensionalen Raum bestimmt werden. Hieraus und aus dem Eulerschen Polyedersatz <math display="inline">e - k + f = 2</math> kann unmittelbar bestimmt werden, aus wie vielen Ecken, Kanten und Flächen der jeweilige platonische Körper besteht.<ref name="Schoute_1905" details="S. 153.">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="Schläfli_1901" details="S. 42–43." /><ref name="Schläfli_1950" details="S. 212–213." /> Hierbei bezeichnet <math display="inline">e</math> die Anzahl der Ecken, <math display="inline">k</math> die Anzahl der Kanten und <math display="inline">f</math> die Anzahl der Flächen des Polyeders.
Die vierdimensionale Version des Eulerschen Polyedersatzes lautet <math display="inline">e - k + f - z = 0</math>, wobei <math display="inline">z</math> die Anzahl der Zellen bezeichnet.<ref name="Schläfli_1901" details="S. 20." /><ref name="Schläfli_1950" details="S. 190." /> Da dies eine homogene Gleichung ist, lassen sich aus der Konstruktion der Anordnung von Polyedern um eine Ecke im vierdimensionalen Raum nicht die Anzahl der Zellen, Flächen, Kanten und Ecken eines 4-Polytops herleiten, sondern lediglich die Verhältnisse dieser Zahlen.<ref name="Schläfli_1901" details="S. 44–45." /><ref name="Schläfli_1950" details="S. 213–214." /><ref name="Schoute_1905" details="S. 196–198." /> Für das 5-Zell sind diese gegeben durch <math display="inline">e : k : f : z = 1 : 2 : 2 : 1</math>. Um die Existenz des 5-Zells zu beweisen, muss es daher explizit konstruiert werden.<ref name="Schläfli_1901" details="S. 44–45." /><ref name="Schläfli_1950" details="S. 213–214." /><ref name="Coxeter_1973" details="S. 136." />
Im Folgenden werden verschiedene Konstruktionen des 5-Zells beschrieben.
Konstruktion über kartesische Koordinaten
Das 5-Zell lässt sich als eine Hyperpyramide mit einem regulären Tetraeder als Basis konstruieren.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 120." /> Seine kartesischen Koordinaten sind gegeben durch:<ref name="DuVal_1964" details="S. 56.">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
- <math display="inline">\frac{1}{4} ( -1, \pm \sqrt{5}, \pm \sqrt{5}, \pm \sqrt{5} )^\top</math> mit einer geraden Anzahl an Minuszeichen in den letzten drei Koordinaten (4 Punkte) und
- <math>( 1, 0, 0, 0 )^\top</math> (1 Punkt).
Der erste Satz an Koordinaten stellt ein reguläres Tetraeder in der Hyperebene <math display="inline">x_1 = -\frac{1}{4}</math> dar, also die tetraedrische Basis der Hyperpyramide. Der letzte Punkt ist seine Spitze. Die Koordinaten der Ecken liegen auf einer 3-Sphäre vom Radius 1. Die Kanten der Tetraeder haben damit eine Länge von <math display="inline">5^{1/2} 2^{-1/2}</math>.<ref name="DuVal_1964" details="S. 56." />
Die Zellen des 5-Zells sind gegeben durch alle fünf Untermengen von vier Ecken, seine Flächen durch alle zehn Untermengen von drei Ecken und seine Kanten durch alle zehn Untermengen von zwei Ecken.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 120." /> Insgesamt hat das 5-Zell daher 5 Ecken, 10 Kanten, 10 Dreiecke und 5 Tetraeder.<ref name="Schläfli_1901" details="S. 46." /><ref name="Schläfli_1950" details="S. 216." />
Aus der Koordinatendarstellung ergibt sich, dass die Ecken des 5-Zells entlang einer Diagonale zwischen der fünften Ecke und dem Mittelpunkt der Zelle, die durch die ersten vier Ecken gebildet wird, zwei Schichten bilden, die 1 und 4 Ecken enthalten. Hieraus folgt, dass die Zellen entlang dieser Diagonalen zwei Schichten mit 4 und 1 Tetraedern bilden.<ref name="Schoute_1905" details="S. 221–222." />
Visualisierung der Konstruktion des 5-Zells
Das nebenstehende Video visualisiert den Aufbau des 5-Zells aus den oben beschriebenen zwei Schichten von Tetraedern. Dabei werden die Tetraeder vom vierdimensionalen Raum mittels einer vierdimensionalen Version der Zentralprojektion in den dreidimensionalen Raum, also in eine Hyperebene, projiziert. Das Projektionszentrum liegt dabei im Punkt <math>( -1, 0, 0, 0 )^\top</math> Hierdurch ergibt sich eine Projektion, wie sie bei einem Schlegeldiagramm verwendet wird.<ref name="Schlegel_1883" details="S. 437–439." />
Die Schichten werden in unterschiedlichen Farben dargestellt und nacheinander eingeblendet. Während des gesamten Videos werden in der linken unteren Ecke in schwarz die Anzahl der bisher eingeblendeten Tetraeder und in der Farbe der aktuell hinzukommenden oder entfernten Tetraeder deren Anzahl dargestellt. Im ersten Teil des Videos werden die Tetraeder transparent visualisiert, um den inneren Aufbau des 5-Zells darzustellen. Um zu zeigen, wie die Tetraeder einer Schicht aneinander grenzen, werden die Tetraeder nicht direkt in ihrer eigentlichen Lage eingeblendet, sondern eine bestimmte Distanz senkrecht über ihrer eigentlichen Position. Sie bewegen sich dann auf geradem Weg zu ihrer eigentlichen Position. Nachdem sie diese Position erreicht haben, werden alle bisher eingeblendeten Tetraeder rotiert, um den inneren Aufbau des bis zu diesem Zeitpunkt konstruierten Teils des 5-Zells zu visualisieren.
Eine Besonderheit ergibt sich beim letzten Tetraeder. Da dieses in der Projektion, wie bei einem Schlegeldiagramm üblich, denselben Raum einnimmt, wie die vier zuvor eingeblendeten Tetraeder, wird es größer eingeblendet und schrumpft dann auf seine eigentliche Größe. Im vierdimensionalen Raum ist dieses Tetraeder disjunkt zu allen übrigen.
Die Abbildung am Anfang dieses Artikels entspricht der Darstellung des 5-Zells nach Einblendung der beiden Schichten, wobei nur die Ecken und Kanten visualisiert werden. Die zweite Abbildung in diesem Abschnitt zeigt ein entsprechendes dreidimensionales Modell des 5-Zells. Das Modell kann im Medienbetrachter interaktiv gedreht, vergrößert, verkleinert und bewegt werden. Sowohl die Abbildung am Anfang dieses Artikels als auch das dreidimensionale Modell stellen ein Schlegeldiagramm des 5-Zells dar.
Im Anschluss werden die Tetraeder undurchsichtig dargestellt und die Schichten werden in umgekehrter Reihenfolge wieder entfernt.
Das Video visualisiert die von Victor Schlegel beschriebene Konstruktion des 5-Zells.<ref name="Schlegel_1883" details="S. 404–405." /><ref name="Schlegel_1883" details="S. 433–434." /> Diese geht von einem 5-Zell mit einem daraus entfernten Tetraeder aus, so dass die restlichen vier Tetraeder über die oben beschriebene Projektion in einem Schlegeldiagramm in den dreidimensionalen Raum transformiert werden können. Schlegel konstruiert die Zentralprojektion des 5-Zells explizit in der Abbildung 10 seiner Arbeit. Diese Abbildung entspricht im Video dem Zeitpunkt, an dem vier Tetraeder eingeblendet wurden.
Koordinatenstellungen des 5-Zells
In jedem 4-Polytop existieren vier Arten von Hauptstrahlen: die Geraden vom Mittelpunkt des Polytops zu einer Ecke, zum Mittelpunkt einer Kante, zum Mittelpunkt einer Fläche und zum Mittelpunkt einer Zelle. Wenn ein 4-Polytop in einem euklidischen Koordinatensystem so ausgerichtet ist, dass die vier Koordinatenachsen mit gleichartigen Hauptstrahlen zusammenfallen, wird die Ausrichtung des Polytops als reguläre Koordinatenstellung bezeichnet.<ref name="Schoute_1905" details="S. 213–218." /> Jedes der regulären 4-Polytope außer dem 5-Zell lässt sich in eine reguläre Koordinatenstellung bringen. Die Koordinatenstellungen spielen beispielsweise bei der Berechnung von Projektionen und Schnitten von Polytopen eine wichtige Rolle.<ref name="Schoute_1905" details="S. 220–232." /><ref name="Schoute_1894_1">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="Schoute_1894_2">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="Schoute_1894_3">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="Schoute_1907">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="Coxeter_1973" details="S. 237–243." /> Im Folgenden werden die vier Koordinatenstellungen als eckenzentriert, kantenzentriert, flächenzentriert und zellenzentriert bezeichnet. Im Englischen werden sie häufig vertex-first, edge-first, face-first und cell-first genannt.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 237–243." />
Das 5-Zell besitzt nicht die notwendigen Symmetrien, um es in eine reguläre Koordinatenstellung zu bringen. Weiterhin fallen bei ihm die Hauptstrahlen vom Mittelpunkt des Polytops zu einer Ecke und zum Mittelpunkt einer Zelle sowie die Hauptstrahlen vom Mittelpunkt des Polytops zum Mittelpunkt einer Kante und zum Mittelpunkt einer Fläche zusammen.<ref name="Schoute_1905" details="S. 213." /> Nichtsdestotrotz wird in der Literatur oft von einer eckenzentrierten, kantenzentrierten, flächenzentrierten und zellenzentrierten Koordinatenstellung gesprochen. Hierzu ist ein Bezugssystem, beispielsweise eine Ebene oder Hyperebene, in die das 5-Zell projiziert wird, oder eine Hyperebene, mit der das 5-Zell geschnitten wird, notwendig. Mit der Koordinatenstellung wird ausgedrückt, dass der jeweilige Hauptstrahl senkrecht zum Bezugssystem ausgerichtet ist. Die Ausrichtung des 5-Zells in der Hyperebene senkrecht zum Hauptstrahl wird durch diese Konvention nicht festgelegt. Gemäß dieser Konvention zeigt das Video im vorherigen Abschnitt eine ecken- und zellenzentrierte Zentralprojektion des 5-Zells.
Die erste Abbildung in diesem Abschnitt zeigt eine Orthogonalprojektion des 5-Zells mit den oben angegebenen Koordinaten in ecken- und zellenzentrierter Koordinatenstellung in die <math>x_2 x_3</math>-Ebene. Die projizierten Ecken werden durch farbige Kreise visualisiert, die projizierten Kanten durch schwarze Linien. Die Flächen und Zellen des 5-Zells werden in dieser Abbildung nicht dargestellt. Die äußeren vier Punkte stellen das Basistetraeder der Hyperpyramide dar, der mittlere Punkt deren Spitze.
Die zweite Abbildung in diesem Abschnitt zeigt ein mit dem Zometool-System konstruiertes Modell einer Zentralprojektion des 5-Zells in eckenzentrierter Koordinatenstellung in den dreidimensionalen Raum. Die Orthogonalprojektion in eckenzentrierter Koordinatenstellung ist identisch zur Zentralprojektion; sie unterscheidet sich lediglich durch eine Skalierung. Daher ist das im Abschnitt Visualisierung der Konstruktion des 5-Zells abgebildete dreidimensionale Modell gleichzeitig auch ein Modell der Orthogonalprojektion des 5-Zells.
Konstruktion aus einer Boerdijk-Coxeter-Helix
Harold Scott MacDonald Coxeter hat eine Konstruktion des 5-Zells über Koordinaten angegeben, die eine besonders symmetrische Orthogonalprojektion des 5-Zells ergeben.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 245." /> Die Koordinatenstellung des 5-Zells ist dabei so gewählt, dass die Projektion in eine Ebene erfolgt, die durch die Mittelpunkte der Kanten eines Petrie-Polygons des 5-Zells definiert wird. Ein Petrie-Polygon ist für ein 4-Polytop dadurch definiert, dass drei aufeinanderfolgende seiner Kanten, aber keine vier, zu einem Petrie-Polygon einer Zelle des 4-Polytops gehören, also in diesem Fall zu einem Tetraeder.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 223–225." /> Ein Petrie-Polygon für ein Polyeder (eine Zelle) ist dadurch definiert, dass zwei aufeinanderfolgende seiner Kanten, aber keine drei, zu einer Fläche des Polyeders gehören.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 24–25." /> Obwohl ein Petrie-Polygon eines 4-Polytops ein räumliches Polygon ist, seine Ecken also nicht in einer Ebene liegen, liegen die Mittelpunkte seiner Kanten in einer Ebene. Diese Ebene wird als Coxeter-Ebene bezeichnet.
Die von Coxeter angegebenen Koordinaten sind:<ref name="Coxeter_1973" details="S. 245." />
- <math>
\mathbf{x}_n =
\left( \begin{array}{ccc} a \cos n \xi_1 \\ a \sin n \xi_1 \\ a \cos n \xi_2 \\ a \sin n \xi_2 \end{array} \right) ,
</math>
wobei <math> n = 0, 1, \ldots 4 </math>, <math> \xi_1 = 2 \pi / 5 = 72^\circ </math>, <math> \xi_2 = 4 \pi / 5 = 144^\circ </math> und <math> a = 1 / \sqrt{2} </math> sind. Der Wert von <math>a</math> ist so gewählt, dass die Ecken auf einer 3-Sphäre vom Radius 1 liegen.
Die nebenstehende Abbildung zeigt die Orthogonalprojektion des 5-Zells in die <math>x_1 x_2</math>-Ebene, d. h. auf die ersten zwei der vier Koordinaten. Dabei werden die Ecken und Kanten des 5-Zells dargestellt. Seine Flächen und Zellen werden nicht visualisiert. In dieser Projektion werden die fünf Ecken des 5-Zells auf ein regelmäßiges Fünfeck projiziert. Das Fünfeck ist die Projektion eines Petrie-Polygons des 5-Zells. Ein weiteres Petrie-Polygon wird durch die Kanten, die den inneren Bereich ohne Kanten einhüllen, gebildet. In der Projektion erscheint dieses Petrie-Polygon als Pentagramm <math display="inline">\left\{\frac{5}{2}\right\}</math>.
Diese Orthogonalprojektion des 5-Zells wurde erstmals von Washington Irving Stringham gezeichnet.<ref name="Stringham_1880" details="Abb. 2." />
Die oben angegebenen Ecken <math display="inline"> \mathbf{x}_n</math> sind von Coxeter so konstruiert worden, dass sie ein Petrie-Polygon des 5-Zells bilden und dass jeweils vier aufeinanderfolgende Ecken ein Tetraeder definieren.<ref name="Coxeter_1985_1">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Ein Tetraeder besteht aus drei Kanten der Schrittweite 1, zwei Kanten der Schrittweite zwei von der ersten zur dritten und der zweiten zur vierten Ecke und einer Kante der Schrittweite drei von der ersten zur vierten Ecke. Da das Petrie-Polygon fünf Punkte hat, entsprechen Kanten der Schrittweite 3 Kanten der Schrittweite 2. Wenn die Indizes als zyklisch modulo 5 fortgesetzt interpretiert werden, ergibt sich hierdurch eine Helix von fünf Tetraedern, in der aufeinanderfolgende Tetraeder über eine Fläche miteinander verbunden sind. Sie stellt eine Boerdijk-Coxeter-Helix dar, die das 5-Zell komplett ausfüllt.
Die Formeln für die Punkte <math>\mathbf{x}_n</math> lassen sich geometrisch so interpretieren, dass die <math> (x_1, x_2) </math>-Koordinaten auf einem Kreis vom Radius <math>a</math> in der <math>x_1 x_2</math>-Ebene liegen, der die Achse der Boerdijk-Coxeter-Helix bildet. Die <math>(x_3, x_4)</math>-Koordinaten rotieren in der <math>x_3 x_4</math>-Ebene im Abstand <math>a</math> um diesen Kreis.<ref name="Coxeter_1985_1" /> Dies zeigt, dass das Petrie-Polygon eine kreisförmige Helix bildet.
Visualisierung der Konstruktion aus einer Boerdijk-Coxeter-Helix
Im nebenstehenden Video wird die Konstruktion des 5-Zells aus einer Boerdijk-Coxeter-Helix visualisiert. Die Helix wird dabei durch eine Zentralprojektion vom Nordpol ihrer Umkugel in eine dreidimensionale Hyperebene projiziert. Um eine einfacher zu verstehende Darstellung der Helix zu erreichen, werden die oben angegebenen Koordinaten so rotiert, dass eine Ecke am Südpol zu liegen kommt und die restlichen vier Ecken in einer Hyperebene auf der Nordhalbkugel der 3-Sphäre liegen, die parallel zur Äquatorhyperebene liegt. Die Projektion entspricht daher dem üblichen Schlegeldiagramm des 5-Zells: in der Projektion liegen vier der Tetraeder innerhalb des fünften Tetraeders. Das äußere Tetraeder erscheint als reguläres Tetraeder. Die inneren Tetraeder verbinden jeweils eine Außenfläche mit der fünften Ecke, die in der Mitte der Projektion liegt. Diese Tetraeder erscheinen in der Projektion verzerrt. Im vierdimensionalen Raum sind alle fünf Tetraeder regulär.
Am Anfang des Videos werden die Tetraeder durch ihre halbtransparenten Flächen und die Kanten der Boerdijk-Coxeter-Helix visualisiert. Die Kanten der Schrittweite 1 (das Petrie-Polygon) werden cyanfarben dargestellt. Jedes Tetraeder enthält genau drei Kanten des Petrie-Polygons. Die Kanten der Schrittweite 2 werden magentafarben dargestellt. Die Helix dreht sich einmal, um ihre Geometrie zu veranschaulichen. Die Flächen werden während der Drehung langsam ausgeblendet. Danach stoppt die Rotation.
Da es schwierig zu sehen ist, wie die Tetraeder, die die Boerdijk-Coxeter-Helix formen, miteinander verbunden sind, werden im Anschluss die fünf Tetraeder einzeln nacheinander zusammen mit den Kanten der gesamten Helix angezeigt, zunächst die vier inneren und schließlich das äußere Tetraeder. Es kann beobachtet werden, dass jedes der Tetraeder mit genau einem vorausgegangenen und einem nachfolgenden Tetraeder über jeweils eine Fläche verbunden ist. Außerdem kann beobachtet werden, dass jedes neu eingeblendete Tetraeder eine Ecke auf dem cyanfarbenen Petrie-Polygon voranschreitet. Dies zeigt, dass die Tetraeder eine Boerdijk-Coxeter-Helix darstellen. Die Helix rotiert zum Abschluss noch einmal. In dieser Umdrehung wird sie nur noch durch die zwei Arten von Kanten visualisiert.
Schnitte des 5-Zells mit dem dreidimensionalen Raum
Neben den oben zur Visualisierung verwendeten Orthogonal- und Zentralprojektionen ist eine weitere Möglichkeit, die Geometrie des 5-Zells zu veranschaulichen, es mit einem dreidimensionalen Raum, also einer Hyperebene, zu schneiden. Dabei wird das 5-Zell in Richtung senkrecht zur Hyperebene bewegt. Abhängig vom Abstand des Mittelpunktes des 5-Zells von der Hyperebene und von seiner Koordinatenstellung ergeben sich als Schnitte unterschiedliche Polyeder. Ein analoges Vorgehen für Polyeder ist deren Schnitt mit einer Ebene. Wird beispielsweise ein Würfel in eckenzentrierter Stellung mit einer Ebene geschnitten, indem die Ebene entlang einer Eckendiagonalen bewegt wird, entstehen nacheinander ein gleichseitiges Dreieck, das sich vergrößert, ein Sechseck mit zwei unterschiedlichen Seitenlängen, in der Mittelstellung der Ebene ein regelmäßiges Sechseck, ein Sechseck mit zwei unterschiedlichen Seitenlängen und ein gleichseitiges Dreieck, das sich verkleinert.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 236." /> Die Form der Polygone erlaubt Rückschlüsse über die Geometrie des Würfels. Analog dazu erlaubt die Geometrie der Schnittpolyeder Rückschlüsse über die Geometrie des 5-Zells.
Das erste Video in diesem Abschnitt zeigt die Schnitte des 5-Zells in ecken- und zellenzentrierter Koordinatenstellung. Es ist ein sich vergrößerndes Tetraeder zu sehen. Es entsteht durch den Schnitt der vier um eine Ecke gruppierten Tetraeder mit der Hyperebene und entspricht damit der Eckfigur des 5-Zells. Nachdem die Schnittebene die der Ausgangsecke gegenüberliegende Zelle erreicht hat, verschwindet das Tetraeder.
Das zweite Video in diesem Abschnitt zeigt die Schnitte des 5-Zells in kanten- und flächenzentrierter Koordinatenstellung. Am Anfang ist für einen Moment die Ausgangskante zu sehen. Danach ist ein Prisma zu sehen, dessen Grund- und Deckfläche ein gleichseitiges Dreieck sind. Die Dreiecke vergrößern sich, während die Höhe des Prismas abnimmt. Am Ende ist für einen Moment die der Ausgangskante gegenüberliegende Fläche zu sehen, die unmittelbar danach verschwindet.
Die oben beschriebene Abfolge der Schnitte des 5-Zells in den beiden Koordinatenstellungen wurde beispielsweise 1905 von Pieter Schoute beschrieben.<ref name="Schoute_1905" details="S. 221." />
Symmetrien des 5-Zells
Die Symmetriegruppe des 5-Zells wird mit <math>[3,3,3]</math> oder <math>A_4</math> bezeichnet.<ref name="Coxeter_1985_2" details="S. 564.">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Ihre Gruppenordnung ist 120. Es gibt also 120 vierdimensionale Kongruenzabbildungen, die das 5-Zell mit sich selbst zur Deckung bringen. Davon sind 60 vierdimensionale Drehungen und 60 vierdimensionale Drehspiegelungen.<ref name="Schoute_1905" details="S. 236–238." /> Die 60 Drehungen bilden eine Untergruppe von <math>[3,3,3]</math>, die mit <math>[3,3,3]^+</math> bezeichnet wird.
Die endlichen durch Spiegelungen erzeugten Gruppen des vierdimensionalen euklidischen Raums, inklusive der Gruppe <math>[3,3,3]</math>, wurden erstmals 1889 von Édouard Goursat beschrieben.<ref name="Goursat_1889" details="S. 90–92.">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="Coxeter_1973" details="S. 209." /> Die in ihr enthaltenen Drehungen wurden 1894 von Salomon Levi van Oss klassifiziert und vollständig aufgelistet.<ref name="Van_Oss_1894" details="S. 13–16.">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Er merkt außerdem an, dass die Drehgruppe <math>[3,3,3]^+</math> zur Untergruppe der Drehungen der Ikosaedergruppe isomorph ist.
Charakteristisches Simplex des 5-Zells
Die Symmetriegruppe <math>[3,3,3]</math> definiert ein charakteristisches Simplex des 5-Zells.<ref name="Toth_1965" details="S. 132.">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Dieses ist ein Tetraeder, dessen Ecken durch eine Ecke <math>O_0</math> des 5-Zells, den Mittelpunkt <math>O_1</math> einer an <math>O_0</math> angrenzenden Kante, den Mittelpunkt <math>O_2</math> einer an <math>O_1</math> angrenzenden Fläche und den Mittelpunkt <math>O_3</math> einer an <math>O_2</math> angrenzenden Zelle gegeben sind. Das charakteristische Simplex wird durch folgende Parameter beschrieben (hierbei ist <math>\{p,q,r\} = \{3,3,3\}</math>):<ref name="Coxeter_1973" details="S. 130, 137–141." /><ref name="Coxeter_1973" details="S. 290–293." />
- den Winkel <math>\phi</math> zwischen einer Geraden vom Mittelpunkt <math>O_4</math> des 5-Zells durch eine Ecke <math>O_0</math> und einer Geraden von <math>O_4</math> durch <math>O_1</math>;
- den Winkel <math>\chi</math> zwischen einer Geraden von <math>O_4</math> durch <math>O_0</math> und einer Geraden von <math>O_4</math> durch <math>O_3</math>;
- den Winkel <math>\psi</math> zwischen einer Geraden von <math>O_4</math> durch <math>O_3</math> und einer Geraden von <math>O_4</math> durch <math>O_2</math>;
- den Diederwinkel <math>\pi/p = 60^\circ</math>, der an der Kante <math>O_2 O_3</math> durch die Hyperebenen <math>O_0 O_2 O_3 O_4</math> und <math>O_1 O_2 O_3 O_4</math> gebildet wird;
- den Diederwinkel <math>\pi/q = 60^\circ</math>, der an der Kante <math>O_0 O_3</math> durch die Hyperebenen <math>O_0 O_1 O_3 O_4</math> und <math>O_0 O_2 O_3 O_4</math> gebildet wird; und
- den Diederwinkel <math>\pi/r = 60^\circ</math>, der an der Kante <math>O_0 O_1</math> durch die Hyperebenen <math>O_0 O_1 O_2 O_4</math> und <math>O_0 O_1 O_3 O_4</math> gebildet wird.
Die Diederwinkel an den anderen drei Kanten sind rechte Winkel.
Das charakteristische Simplex kann auf die Einheitssphäre projiziert werden. Die projizierten Punkte <math>P_0</math>, <math>P_1</math>, <math>P_2</math> und <math>P_3</math> definieren ein sphärisches Simplex, das auch als charakteristisches Simplex bezeichnet wird. Die Kanten des sphärischen Simplexes sind Großkreisbögen. Die Winkel <math>\phi</math>, <math>\chi</math> und <math>\psi</math> sind dann die Längen der Großkreisbögen <math>P_0 P_1</math>, <math>P_0 P_3</math> und <math>P_3 P_2</math>.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 137–141." />
Das charakteristische Simplex stellt den Fundamentalbereich der Symmetriegruppe <math>[3,3,3]</math> dar. Es ist das Analogon des Fundamentalbereichs eines platonischen Körpers, der durch ein rechtwinkliges euklidisches oder sphärisches Dreieck definiert wird.
Die Symmetriegruppe <math>[3,3,3]</math> wird durch Spiegelungen in den vier Hyperebenen <math>O_4 O_0 O_1 O_2</math>, <math>O_4 O_0 O_1 O_3</math>, <math>O_4 O_0 O_2 O_3</math> und <math>O_4 O_1 O_2 O_3</math> erzeugt.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 187–188." /> Durch Anwendung aller 120 Symmetrieoperationen der Gruppe wird das 5-Zell vollständig durch die charakteristischen Simplexe aufgebaut. Jedes seiner Tetraeder besteht aus 24 charakteristischen Simplexen.
Darstellung der Symmetriegruppe des 5-Zells durch die Ecken eines 600-Zells
Wie im Artikel über das 600-Zell beschrieben, lassen sich dessen Ecken durch die folgenden Koordinaten darstellen:<ref name="Coxeter_1973" details="S. 156–157." /><ref name="DuVal_1964" details="S. 53." />
- alle Permutationen von <math display="inline">( \pm 1, 0, 0, 0 )^\top</math> (8 Punkte),
- <math display="inline">\frac{1}{2} ( \pm 1, \pm 1, \pm 1, \pm 1 )^\top</math> (16 Punkte) und
- alle geraden Permutationen von <math display="inline">\frac{1}{2} ( \pm \tau, \pm 1, \pm \tau^{-1}, 0 )^\top</math> (96 Punkte).
Hierbei sind <math display="inline">\tau = (\sqrt{5} + 1) / 2</math> und <math display="inline">\tau^{-1} = (\sqrt{5} - 1) / 2</math>.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 22." /> Da die Koordinaten des 600-Zells auf der 3-Sphäre vom Radius 1 liegen, können sie als Einheitsquaternionen interpretiert werden.
Drehungen im vierdimensionalen Raum können durch zwei Einheitsquaternionen <math>p</math> und <math>q</math> beschrieben werden. Wenn ein Punkt des vierdimensionalen Raums als Quaternion <math>x</math> dargestellt wird, ist eine Drehung von <math>x</math> gegeben durch die Abbildung <math>x\mapsto p x \bar{q}</math>.<ref name="DuVal_1964" details="S. 42–43." /> Hierbei bezeichnet <math>\bar{q}</math> die Konjugation von <math>q</math>. Analog dazu lassen sich vierdimensionale Drehspiegelungen darstellen durch die Abbildung <math>x\mapsto p \bar{x} \bar{q}</math>.<ref name="DuVal_1964" details="S. 58." /> In beiden Fällen stellen <math>(p,q)</math> und <math>(-p,-q)</math> dieselbe Drehung bzw. Drehspiegelung dar.
Um die Symmetriegruppe des 5-Zells durch die Ecken eines 600-Zells darzustellen, ist eine weitere Operation auf Quaternionen notwendig: mit <math>r^\dagger</math> wird die Operation bezeichnet, die in den obigen Koordinaten <math>r</math> des 600-Zells das Vorzeichen von <math>\sqrt{5}</math> ändert. Dies bewirkt, dass in den 96 Ecken, die <math>\tau</math> und <math>\tau^{-1}</math> beinhalten, <math>\pm \tau</math> und <math>\mp \tau^{-1}</math> vertauscht werden.<ref name="DuVal_1964" details="S. 55." /> Damit lassen sich die Drehungen in der Symmetriegruppe <math>[3,3,3]^+</math> darstellen durch <math>x\mapsto p x \bar{q}</math>, wobei <math>p = r^\dagger</math>, <math>\bar{q} = \bar{r}</math> und <math>r</math> eine Ecke des 600-Zells sind.<ref name="DuVal_1964" details="S. 56." />
Um die Drehspiegelungen der Gruppe <math>[3,3,3]</math> darzustellen, wird die Abbildung <math>x \mapsto p \bar{x} \bar{q}</math>. verwendet. Hierbei sind <math>p = r^\dagger s</math>, <math>\bar{q} = \overline{r s} = \bar{s} \bar{r}</math>, <math>r</math> eine Ecke des 600-Zells und <math>s</math> eine beliebige Ecke des dualen 24-Zells, beispielsweise <math display="inline">s = \frac{1}{\sqrt{2}} ( 1, 1, 0, 0 )^\top</math>.<ref name="DuVal_1964" details="S. 61." />
In der Konstruktion der Symmetriegruppe des 5-Zells wird angenommen, dass das 5-Zell durch die im Abschnitt Konstruktion über kartesische Koordinaten beschriebenen Koordinaten gegeben ist. Die Symmetriegruppe <math>[3,3,3]</math> lässt sich damit durch die Ecken <math>r</math> des 600-Zells beschreiben. Da <math>r</math> und <math>-r</math> dieselbe Drehung oder Drehspiegelung ergeben, wird die Gruppe <math>[3,3,3]</math> durch die Ecken des 600-Zells zweifach überdeckt.
Geometrische Parameter des 5-Zells
| Parameter | Wert |
|---|---|
| <math>\phi</math> | <math display="inline">\frac{1}{2}\pi - \eta \approx 52^\circ 14' 19{,}5</math> |
| <math>\chi</math> | <math display="inline">2 \eta \approx 75^\circ 31' 21{,}0</math> |
| <math>\psi</math> | <math display="inline">\frac{1}{2}\pi - \eta \approx 52^\circ 14' 19{,}5</math> |
| <math>\pi - 2\psi</math> | <math display="inline">\approx 75^\circ 31' 21{,}0</math> |
| <math>R_0 / l</math> | <math display="inline">2^{3/2} 5^{-1/2}</math> |
| <math>R_1 / l</math> | <math display="inline">3^{1/2} 5^{-1/2}</math> |
| <math>R_2 / l</math> | <math display="inline">2 \cdot 15^{-1/2}</math> |
| <math>R_3 / l</math> | <math display="inline">10^{-1/2}</math> |
| <math>S / (2l)^3</math> | <math display="inline">\frac{5}{12} \cdot 2^{1/2}</math> |
| <math>C / (2l)^4</math> | <math display="inline">\frac{1}{96} \cdot 5^{1/2}</math> |
Die nebenstehende Tabelle gibt die wichtigsten geometrischen Parameter des 5-Zells an.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 290–293." /> Dabei bezeichnen <math>\phi</math>, <math>\chi</math> und <math>\psi</math>, wie im Abschnitt Charakteristisches Simplex des 5-Zells beschrieben, die Winkel, die die Endpunkte der Kanten <math>O_0 O_1</math>, <math>O_0 O_3</math> und <math>O_2 O_3</math> mit dem Mittelpunkt des 5-Zells bilden.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 130, 137–141." /><ref name="Coxeter_1973" details="S. 290–293." /> Der Winkel <math>\phi</math> erlaubt es, aus <math>l</math>, der halben Kantenlänge des 5-Zells, seinen Umkugelradius <math>R_0</math> zu bestimmen: <math>R_0 = l / \sin \phi</math>.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 133." /> Der Winkel <math>\psi</math> erlaubt es, den Diederwinkel, also den Winkel zwischen den Hyperebenen, in denen zwei angrenzende Zellen liegen, zu bestimmen. Dieser ist gegeben durch <math>\pi - 2\psi</math>.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 133." /> Die Winkel werden basierend auf dem Winkel <math display="inline">\eta = \frac{1}{2} \arcsec 4 \approx 37^\circ 45' 40{,}5</math> berechnet.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 290–293." />
Die Längen- und Volumenparameter in der Tabelle werden in Bezug auf die halbe Kantenlänge <math>l</math> angegeben. Der Umkugelradius des 5-Zells wird mit <math>R_0</math> bezeichnet. Die Umkugel verläuft durch die Ecken des 5-Zells. Mit <math>R_1</math> wird der Radius der Kantenkugel bezeichnet. Sie berührt die Mittelpunkte der Kanten des 5-Zells. Der Parameter <math>R_2</math> bezeichnet den Radius der Flächenkugel. Diese berührt die Mittelpunkte der Flächen des 5-Zells. Schließlich bezeichnet <math>R_3</math> den Radius der Inkugel des 5-Zells, also der Kugel, die die Mittelpunkte der Zellen berührt.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 290–293." /> Die Summe der dreidimensionalen Volumen der Zellen wird mit <math>S</math> bezeichnet. Sie ist das Analogon des Oberflächeninhalts eines Polyeders. Das vierdimensionale Volumen des 5-Zells wird mit <math>C</math> bezeichnet. Es ist das Analogon des Volumens eines Polyeders.
Um die Werte der Längen- und Volumenparameter für die oben angegebenen Konstruktionen des 5-Zells zu erhalten, die auf einer 3-Sphäre vom Radius <math>R_0 = 1</math> liegen, muss <math display="inline">l = 5^{1/2} 2^{-3/2}</math> verwendet werden.
Netze des 5-Zells
4-Polytope können analog zu Polyedern zu Netzen aufgefaltet werden. Hierbei wird das Polytop an einer geeigneten Menge von Flächen aufgeschnitten. Die noch über Flächen verbundenen Polyeder werden um die Ebene der jeweiligen Verbindungsfläche gedreht, so dass alle Polyeder in derselben dreidimensionalen Hyperebene zu liegen kommen. Der so entstehende Verbund von Polyedern wird Netz oder Auffaltung genannt.
Das 5-Zell hat drei inkongruente Netze.<ref name="Buekenhout_1998" details="S. 75.">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Eines der Netze ist in der nebenstehenden Abbildung zu sehen. Es besteht aus einem Tetraeder, auf dessen Flächen jeweils ein Tetraeder aufgesetzt ist. Ein weiteres Netz ist gegeben durch eine Boerdijk-Coxeter-Helix aus fünf Tetraedern.
Alle Netze der fünf platonischen Körper sind nicht-überlappend: ihre Flächen lassen sich immer in die Ebene auffalten, ohne sich gegenseitig zu überlappen.<ref name="Horiyama_2011">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Für das 5-Zell gilt dasselbe: alle seine Netze sind nicht-überlappend.<ref name="Devadoss_2023" details="S. 4.">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Einbeschriebene Polytope
In das 5-Zell lässt sich keines der anderen regulären 4-Polytope einbeschreiben. Das 5-Zell lässt sich hingegen in das 120-Zell einbeschreiben.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 305." /> Die Ecken 5-Zells bilden eine Untermenge der Ecken des Polytops, in das es einbeschrieben wird. Da das 5-Zell weniger Ecken hat als das Polytop, in das es einbeschrieben wird, können mehrere gleichzeitig einbeschrieben werden, so dass sie dessen Ecken vollständig abdecken oder sogar mehrmals überdecken. In diesem Fall entsteht ein regulär zusammengesetztes 4-Polytop, in dem sich die 5-Zelle gegenseitig kreuzen. Analoge Konstruktionen existieren für Polyeder im dreidimensionalen Raum, beispielsweise das zusammengesetzte Polyeder aus fünf sich kreuzenden Tetraedern oder das zusammengesetzte Polyeder aus zehn sich kreuzenden Tetraedern.
Um die regulär zusammengesetzten 4-Polytope zu beschreiben, hat Coxeter eine Erweiterung des Schläfli-Symbols eingeführt. Es gibt an, wie viele Polytope einer bestimmten Art in ein anderes Polytop einbeschrieben werden können und wie oft sie dessen Ecken überdecken. Außerdem gibt es an, in welchen Hyperebenen eines weiteren Polytops die Zellen des einbeschriebenen Polytops liegen und wie oft diese Hyperebenen überdeckt werden. Es existiert unter anderem folgende Einbeschreibung des 5-Zells:<ref name="Coxeter_1973" details="S. 305." />
- <math>\left\{5,3,3\right\} \, {[ 120 \left\{3,3,3\right\} ]} \, \left\{3,3,5\right\}</math>: in das 120-Zell <math>\left\{5,3,3\right\}</math> können 120 sich kreuzende 5-Zelle einbeschrieben werden; ihre Zellen liegen in den Hyperebenen eines 600-Zells <math>\left\{3,3,5\right\}</math>.
Insgesamt existieren 52 regulär zusammengesetzte 4-Polytope. Von diesen hat Coxeter 46 angegeben.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 267–272." /><ref name="Coxeter_1973" details="S. 305." /> Er schreibt elf davon Pieter Schoute und eines Auguste Urech zu.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 287." /> Peter McMullen hat weitere sechs gefunden und bewiesen, dass die Aufzählung damit vollständig ist.<ref name="McMullen_2018">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Das 5-Zell kommt bei drei regulär zusammengesetzten 4-Polytopen als Polytop, das einbeschrieben wird, vor.
Weblinks
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- Sections in 4D regular polytopes Webseite mit einer CindyJS-Applikation, mit der dreidimensionale Schnitte der sechs regulären konvexen 4-Polytope in den vier Koordinatenstellungen visualisiert werden können.
- XScreenSaver XScreenSaver enthält ein Modul, das die regulären konvexen 4-Polytope anzeigt.
Einzelnachweise
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