3-Sphäre
Die 3-dimensionale Sphäre oder kurz 3-Sphäre ist ein Objekt in der Mathematik, nämlich eine Sphäre der dritten Dimension. Sie ist neben dem euklidischen Raum <math>\R^3</math> das einfachste Beispiel einer 3-dimensionalen Mannigfaltigkeit und kann in den euklidischen Raum <math>\R^4</math> eingebettet werden.
Als Einheitssphäre trägt sie den Namen <math>\mathbb{S}^3</math>.
Definition
Unter einer 3-dimensionalen Sphäre versteht man eine topologische Mannigfaltigkeit, die homöomorph zur Einheitssphäre im <math>\R^4</math> ist. Letztere wird mit <math>\mathbb{S}^3</math> bezeichnet.
Die Einheitssphäre <math>\mathbb{S}^3</math> ist die Menge der Punkte im 4-dimensionalen euklidischen Raum <math>\R^4</math> mit Abstand eins vom Ursprung, also
- <math>\mathbb{S}^3 := \{ x\in \R^4 \colon \| x \|_2 = 1 \}</math>,
wobei <math>\|\cdot\|_2</math> die euklidische Norm ist. Sie kann als Rand der {{#if:trim|4-Einheitskugel}} <math>\operatorname{B}^4</math> aufgefasst werden und wird daher auch mit <math>\partial \operatorname{B}^4</math> bezeichnet.
Eigenschaften
Geometrische Eigenschaften
Die 3-dimensionale Hyperfläche (das 3-Volumen) einer 3-Sphäre vom Radius <math>r</math> ist
- <math>2\pi^2 r^3 \,</math>
und das 4-dimensionale Hypervolumen einer 4-Kugel (das 4-Volumen des 4-dimensionalen Gebietes innerhalb dieser 3-Sphäre) ist
- <math>\begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \pi^2 r^4.</math>
Entsprechend ist <math>\tfrac{\pi^2}{2}</math> das 4-Volumen von <math>\operatorname{B}^4</math>.
Jeder nicht-leere Durchschnitt einer 3-Sphäre mit einer 3-dimensionalen Hyperebene ist eine 2-Sphäre oder ein einzelner Punkt.
Die 3-Sphäre vom Radius <math>r</math> hat die konstante, positive Schnittkrümmung <math>\tfrac{1}{r^2}</math>.
Topologische Eigenschaften
Die 3-Sphäre hat keinen Rand, ist kompakt und einfach zusammenhängend. Ihre Homologiegruppen sind
| <math>H_i(\mathbb{S}^3)=
\begin{cases} \\ \\ \end{cases} </math> ||style="text-align:right"| <math>\Z</math>, ||style="text-align:right; width:1.5em;"| || falls <math>i\in \{0,3\}</math> | ||
| <math>\{0\}</math> | sonst. |
Jeder topologische Raum mit diesen Homologiegruppen wird 3-Homologiesphäre genannt.
Sie ist homöomorph zur Einpunkt-Kompaktifizierung des <math>\R^3</math> und ist der homogene Raum
- <math>\mathbb{S}^3 \cong \operatorname{SO}(4)/\operatorname{SO}(3)</math>.
Differenzierbare Struktur
Wie jede 3-dimensionale Mannigfaltigkeit hat die 3-Sphäre nach dem Satz von Moise eine eindeutige Differentialstruktur und eine eindeutige PL-Struktur.
Runde Metrik
Die Einbettung als Einheitssphäre im <math>\R^4</math> gibt der Sphäre die „runde Metrik“ mit Schnittkrümmung konstant 1. Insbesondere wird sie mit dieser Metrik ein symmetrischer Raum mit Isometriegruppe <math>\operatorname{SO}(4)</math>.
Jede Metrik konstanter Schnittkrümmung ist ein Vielfaches der runden Metrik.
Die 3-Sphäre als Lie-Gruppe
{{#if: SU(2)|{{#ifexist:SU(2)|
|{{#if: |{{#ifexist:{{{2}}}|
|{{#if: |{{#ifexist:{{{3}}}|
|}}|}}|}}|}}|}}|Einbindungsfehler: Die Vorlage Hauptartikel benötigt immer mindestens ein Argument.}}
Die 3-Sphäre <math>\mathbb{S}^3</math> ist eine nichtabelsche Gruppe. Sie fällt zusammen mit der Gruppe der Einheitsquaternionen
- <math>\left\{x\in\mathbb{H} \, \mid \, x\bar x = 1 \right\}</math>
mit <math>x = x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> und <math>\bar x = x_0-x_1\mathrm i-x_2\mathrm j-x_3\mathrm k</math>. Die Abbildung
- <math>x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k \mapsto \begin{pmatrix}z_1&z_2\\
-\overline{z_2}&\overline{z_1}\end{pmatrix} </math> mit <math>z_1 := x_0+\mathrm i_\Complex x_1</math> und <math>z_2 := x_2+\mathrm i_\Complex x_3</math> ist ein Isomorphismus der Quaternionen <math>\mathbb{H}</math> in den Ring <math>\Complex^{2\times 2}</math> der komplexen 2×2-Matrizen, der <math>\mathbb{S}^3</math> auf die Untergruppe der unitären Matrizen
- <math>\left\{ \begin{pmatrix}z_1&z_2\\
-\overline{z_2}&\overline{z_1}\end{pmatrix} \in \Complex^{2\times 2} \Bigg| \; |z_1|^2+|z_2|^2=1\right\} =: \operatorname{SU}(2)</math>, abbildet. Sie machen eine Lie-Gruppe aus, die den Namen <math>\operatorname{SU}(2)</math> trägt.
Diese Bijektion ist gleichzeitig ein Diffeomorphismus
- <math>\quad \mathbb{H}^{\times} \supset \mathbb{S}^3 \to \operatorname{SU}(2) \subset \left(\Complex^{2\times 2}\right)^{\times}
\quad ; \quad (z_1,z_2) \mapsto \begin{pmatrix}z_1&z_2\\ -\overline{z_2}&\overline{z_1}\end{pmatrix} </math>
Die 3-Sphäre <math>\mathbb{S}^3 = \operatorname{SU}(2)</math> ist die einfachste nichtabelsche kompakte Lie-Gruppe und insbesondere im Standardmodell der Elementarteilchenphysik von Bedeutung.
Poincaré-Vermutung
{{#if: Poincaré-Vermutung|{{#ifexist:Poincaré-Vermutung|
|{{#if: |{{#ifexist:{{{2}}}|
|{{#if: |{{#ifexist:{{{3}}}|
|}}|}}|}}|}}|}}|Einbindungsfehler: Die Vorlage Hauptartikel benötigt immer mindestens ein Argument.}}
Die 3-Sphäre ist die einzige einfach zusammenhängende, kompakte 3-Mannigfaltigkeit.
Vektorfelder auf der 3-Sphäre
Als Lie-Gruppe ist die 3-Sphäre parallelisierbar. Ein Beispiel dreier linear unabhängiger Vektorfelder auf der Einheitssphäre im <math>\R^4</math> ist
- <math>V_1(x_1,x_2,x_3,x_4)=(-x_2,x_1,-x_4,x_3), V_2(x)=(-x_3,x_4,x_1,-x_2), V_3(x)=(-x_4,-x_3,x_2,x_1)</math>.
Heegaard-Zerlegungen
Man erhält die 3-dimensionale Sphäre, indem man die Ränder zweier 3-dimensionaler Kugeln orientierungsumkehrend miteinander verklebt.
Allgemeiner hat die 3-Sphäre zu jedem <math>g\ge 0</math> eine eindeutige Heegaard-Zerlegung vom Geschlecht <math>g</math>.
Dehn-Chirurgien
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|{{#if: |{{#ifexist:{{{3}}}|
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Jede kompakte 3-Mannigfaltigkeit kann durch Chirurgien an Verschlingungen <math>K\subset \mathbb{S}^3</math> in der 3-Sphäre konstruiert werden.
Sphärische 3-Mannigfaltigkeiten
Aus dem von Thurston initiierten und von Perelman bewiesenen Geometrisierungsprogramm folgt, dass alle kompakten 3-Mannigfaltigkeiten endlicher Fundamentalgruppe sphärische 3-Mannigfaltigkeiten (oder 3-dimensionale sphärische Raumformen) sind, sich also als Quotientenraum
- <math>M=\Gamma\backslash \mathbb{S}^3</math>
für eine endliche Gruppe <math>\Gamma\subset SO(4)</math> von Isometrien der runden Metrik darstellen lassen.
Beispiele 3-dimensionaler sphärischer Raumformen sind die Linsenräume oder die Poincaré-Homologiesphäre.
Literatur
- Nikolai Saveliev: Lectures on the topology of 3-manifolds. An introduction to the Casson invariant. De Gruyter Textbook. Walter de Gruyter, Berlin 1999, ISBN 3-11-016271-7