Universelle einhüllende Algebra

Die universelle einhüllende Algebra (auch universelle Einhüllende) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Theorie der Lie-Algebren. Sie ist eine assoziative Algebra, die zeigt, dass man die Lie-Klammer stets als Kommutator auffassen kann, auch bei Lie-Algebren, die nicht von einer assoziativen Algebra herkommen.

Definition

Es sei <math>\mathfrak g</math> eine Lie-Algebra (über einem Körper). Eine universelle einhüllende Algebra <math>\mathrm U(\mathfrak g)</math> von <math>\mathfrak g</math> besteht aus einer unitären assoziativen Algebra und einem Liealgebrenhomomorphismus <math>\mathfrak g\to\mathrm U(\mathfrak g)</math> (dabei sei die Liealgebrastruktur auf assoziativen Algebren durch den Kommutator gegeben), so dass gilt:

Ist <math>A</math> eine unitäre assoziative Algebra, so stehen die Liealgebrahomomorphismen <math>\mathfrak g\to A</math> in Bijektion mit den unitären Algebrenhomomorphismen <math>\mathrm U(\mathfrak g)\to A</math>. Diese Bijektion wird durch den Homomorphismus <math>\mathfrak g\to\mathrm U(\mathfrak g)</math> vermittelt.

Eigenschaften

• Die wichtigste Aussage über universelle einhüllende Algebren ist der Satz von Poincaré-Birkhoff-Witt (nach Henri Poincaré, Garrett Birkhoff und Ernst Witt; auch als PBW abgekürzt): Ist <math>X_1,\ldots,X_n</math> eine Basis von <math>\mathfrak g</math> und <math>i\colon\mathfrak g\to\mathrm U(\mathfrak g)</math> die kanonische Abbildung, so bilden die Monome

<math>i(X_{i_1})i(X_{i_2})\cdots i(X_{i_k})</math> mit <math>i_1\leq i_2\leq\ldots\leq i_k</math>

eine Basis von <math>\mathrm U(\mathfrak g)</math>.

• Insbesondere ist <math>i</math> injektiv, und jede Lie-Algebra ist Unteralgebra einer assoziativen Algebra.
• Moduln unter einer Lie-Algebra sind dasselbe wie Moduln unter ihrer universellen einhüllenden Algebra.

Konstruktion

Man kann die universelle Einhüllende explizit angeben als Quotienten der Tensoralgebra <math>\mathrm T\mathfrak g</math> nach dem zweiseitigen Ideal, das von Elementen der Form

<math>X\otimes Y-Y\otimes X-[X,Y]</math>

für <math>X,Y\in\mathfrak g</math> erzeugt wird. Man beachte: Im Unterschied zu den entsprechenden Konstruktionen der äußeren Algebra oder symmetrischen Algebra ist dieses Ideal nicht homogen, <math>\mathrm U(\mathfrak g)</math> trägt also keine induzierte Graduierung.

Beispiele

• Ist <math>\mathfrak g</math> abelsch, so ist die universelle einhüllende Algebra isomorph zur symmetrischen Algebra über <math>\mathfrak g</math>.