Faktorring

In der Algebra bezeichnet man eine bestimmte Art von Ringen als Faktorring oder Quotientenring oder Restklassenring. Es handelt sich dabei um eine Verallgemeinerung der Restklassenringe ganzer Zahlen.

Definition

Ist <math>(R,+,\cdot)</math> ein Ring und <math>I</math> ein (beidseitiges) Ideal von <math>R</math>, dann bildet die Menge <math>R/I = \left\{a+I\mid a\in R\right\}</math> der Äquivalenzklassen modulo <math>I</math> mit folgenden Verknüpfungen einen Ring:

<math>(a+I) + (b+I) := (a+b)+I</math>
<math>(a+I) \cdot (b+I) := a \cdot b + I,</math>

wobei <math>(a + I)</math> definiert ist als <math>\{a + r \,|\, r \in I\}</math>.

Diesen Ring nennt man den Faktorring <math>R</math> modulo <math>I</math> oder Restklassenring oder Quotientenring. (Er hat jedoch nichts mit den Begriffen Quotientenkörper bzw. Totalquotientenring zu tun; diese sind Lokalisierungen.)

Beispiele

Die Menge <math>n\Z</math> aller ganzzahligen Vielfachen von <math>n</math> ist ein Ideal in <math>\Z</math>, und der Faktorring <math>\Z/n\Z</math> ist der Restklassenring modulo <math>n</math>.

Ist <math>f\in R[X]</math> ein Polynom über einem kommutativen unitären Ring <math>R</math>, dann ist die Menge <math>R[X]\cdot f = (f)</math> aller Polynom-Vielfachen von <math>f</math> ein Ideal im Polynomring <math>R[X]</math>, und <math>R[X]/(f) = \left\{g + (f)\mid g \in R[X]\right\}</math> ist der Faktorring <math>R[X]</math> modulo <math>f</math>.

Betrachten wir das Polynom <math>f = X^2+1</math> über dem Körper <math>\R</math> der reellen Zahlen, so ist der Faktorring <math>\R[X]/(f)</math> isomorph zum Körper der komplexen Zahlen; die Äquivalenzklasse von <math>X</math> entspricht dabei der imaginären Einheit <math>\mathrm{i}</math>.

Rechenbeispiele:

Das Polynom <math>X^2</math> liegt wegen <math>X^2 = f-1</math> in derselben Äquivalenzklasse modulo <math>f</math> wie <math>-1</math>.

Für das Produkt <math>[X+1]\cdot [X+2]</math> ermitteln wir <math>[X+1]\cdot[X+2] = [(X+1)\cdot(X+2)] = [X^2+3X+2] = [3X+1]</math>

Man erhält alle endlichen Körper als Faktorringe der Polynomringe über den Restklassenkörpern <math>\mathbb F_p=\Z/p\Z</math> mit <math>p</math> Primzahl.

Eigenschaften

Ist <math>R</math> ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist ein Ideal <math>I</math> genau dann ein Primideal, wenn <math>R/I</math> ein Integritätsring ist.
Ist <math>R</math> ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist ein Ideal <math>I</math> genau dann ein maximales Ideal, wenn <math>R/I</math> ein Körper ist.
Ist <math>K</math> ein Körper und <math>f</math> ein irreduzibles Polynom über <math>K</math>, dann ist <math>(f)</math> ein maximales Ideal in <math>K[X]</math> und deshalb ist <math>L \colon= K[X]/(f)</math> ein Körper. Dieser Körper ist ein Oberkörper von <math>K</math>, in dem <math>f</math> eine Nullstelle hat (die Restklasse von <math>X</math>). Die Körpererweiterung <math>L/K</math> ist endlich und algebraisch, ihr Grad stimmt mit dem Grad von <math>f</math> überein. Wiederholt man das Verfahren mit den über <math>L</math> nicht-linearen irreduziblen Teilern von <math>f</math>, so erhält man schließlich einen Körper, in dem <math>f</math> in Linearfaktoren zerfällt: Den Zerfällungskörper von <math>f</math>.

Idealtheorie

Sei <math> R </math> ein kommutativer Ring mit Einselement und <math> I\subseteq R </math> ein Ideal. Dann sind

die Ideale des Rings <math> R/I </math> genau die Ideale <math> J </math> von <math> R </math>, die <math> I </math> enthalten (also <math> I\subseteq J </math> )
die Primideale des Rings <math> R/I </math> genau die Primideale von <math> R </math>, die <math> I </math> enthalten
die Maximalideale des Rings <math> R/I </math> genau die Maximalideale von <math> R </math>, die <math> I </math> enthalten

Bemerkung

Der Begriff ist zu unterscheiden vom faktoriellen Ring, in dem die eindeutige Primfaktorzerlegung existiert.

Literatur

Kurt Meyberg, Algebra I, Carl Hanser Verlag (1980), ISBN 3-446-13079-9, Kapitel 3: "Ringe"